一、證明相似三角形常見(jiàn)的幾種類型
1、' A ' 字型
如圖所示，在 △ABC 中 ， 若 DE∥BC ，則有 △ADE∽△ABC 。
2、' A' ' 型
如圖所示，△ADE 和 △ABC 有公共角 ∠A ，若還有 一組對(duì)應(yīng)角相等，則有 △ADE ∽△ABC 。
3、' 8 ' 字型
如圖所示， 若 AB∥CD ，則有 △AEB∽△DEC 。
4、” 蝴蝶 “ 型
如圖所示，若 ∠A = ∠C （或 ∠B = ∠D ），則有 △AEB∽△CED 。
5、“ 雙垂直 ” 型
如圖所示，若 AC⊥BC ，（ ∠ACB = 90° ）CD⊥AB ，（ ∠CDB = 90° ） ，
則有三組相似三角形 ：
① △ADC∽△ACB ；② △BDC∽△BCA ；③ △ADC∽△CDB 。
雙垂直結(jié)論：
射影定理：
① 直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；
② 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
⑴ ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD → CD^2=AD·BD ；
(2) ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC →AC^2=AD·AB ;
(3) CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC →BC^2=BD·AB ;
結(jié)論1：⑵ ÷ ⑶ 得 AC^2 ： BC^2 = AD ：BD ；
結(jié)論2：面積法得 AB·CD = AC·BC →比例式 ，證明等積式(比例式)策略 。
二、證明相似三角形常見(jiàn)的幾種方法
1、直接法：
找同一三角形兩條邊和兩邊的夾角 ；
變化為等號(hào)同側(cè)的兩邊是同一三角形中的兩條邊， “三點(diǎn)定形法 ”。
2、間接法：
⑴ 3種代換 ：① 線段代換； ② 等比代換； ③ 等積代換；
⑵ 創(chuàng)造條件 ：
① 加平行線 —— 創(chuàng)造“A”字型、“8”字型 ；
② 先證其它三角形相似 —— 創(chuàng)造邊、角條件。
相似判定條件：兩邊成比夾角等、兩角對(duì)應(yīng)三邊比（相等）。
三、例題講解
例題1、已知在 △ABC 和 △ADE 中 ，∠ABC=∠ADE ，求證：AB·AE = AC·AD 。
分析：
判斷：本題屬于 “ A‘ ” 型 ，
策略：遇等積，化比例，同側(cè)三點(diǎn)找相似。
證明略 。
例題2、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于點(diǎn) D，E 為 AC 的中點(diǎn)，求證：AB·AF=AC·DF 。
分析：本題屬于 “ A‘ ” 型 和“ 雙垂直” 型的綜合。
策略：斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片，有射影，或平行，等比傳遞我看行。
證明：
∵ 在 Rt△BAC 中 ，∠BAC=90°，AD⊥BC ，
∴ Rt△BDA ∽ Rt△ADC ，
∴ AB : AC = BD : AD ,
∵ 在 Rt△ADC 中 ，E 為 AC 的中點(diǎn) ，
∴ DE = EC ，
∴ ∠EDC = ∠C ，
∵ ∠FBD = 90° + ∠C，∠FDA = 90° + ∠FDB（ 三角形外角和定理），
又∵ ∠FDB = ∠EDC （對(duì)頂角相等）
∴ ∠FBD = ∠FDA ，
∴ △FBD ∽ △FDA ，（注：∠F 是公共角，相似中的 “ A‘” 型 ）
∴ BD : AD = DF : AF ,
∴ AB : AC = DF : AF ,
∴ AB·AF=AC·DF 。
例題3、如圖所示，在平行四邊 ABCD 中 ，E 為 DC 邊上的一點(diǎn) ，連接 BE ， 交 AC 于點(diǎn) F ，延長(zhǎng) BE 交 AD 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 。
求證：BF : FG = EF : BF 。
解題思路：有射影，或平行，等比傳遞我看行。
證明：略 。
例題4、如圖所示，在 Rt△ABC 中， ∠A = 90° ，點(diǎn) D、E、F、G 為三邊上的點(diǎn)，若四邊形 DEFG 為正方形。
求證：EF^2 = BE·FC 。
策略：四共線，有等邊，必有一條可轉(zhuǎn)換 。
略證：易證 △BDE ∽ △GFC （相似判定條件：兩角對(duì)應(yīng)相等。），
則有 BE : GF = DE : FC ,
在正方形 DEFG 中，有 DE = GF = EF ,
所以可得 EF^2 = BE·FC 。
例題5、如圖所示，在 △ABC 中，AD 為 ∠BAC 的角平分線 ，求證：AB:AC=BD:CD 。（角平分線性質(zhì)定理）
策略：兩共線，上下比，兩端要作平行線。（注：兩共線是指求證中的線段 BD 和 CD 共線）
證明一：過(guò)點(diǎn) D 作 DE∥AC ，交 AB 于點(diǎn) E ，則有 △BDE ∽ △BCA （“ A ” 字型 ），
∵ △BDE ∽ △BCA ，
∴ BE : AB = DE : AC , 即 AB : AC = BE : DE ，
又∵ DE∥AC
∴ BD : CD = BE : AE (平行線分線段成比例定理），∠2 = ∠3 ，
∵ AD 為 ∠BAC 的角平分線 ，
∴ ∠1 = ∠2 ，
∴ ∠1 = ∠3 ，
∴ DE = AE ,
∴ AB:AC=BD:CD 。
證明二：過(guò)點(diǎn) C 作CF∥AB ，交 AD 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，則有 △ADB ∽ △FDC （ “ 8 ” 字型 ），
∵ △ADB ∽ △FDC ，
∴ BD : CD = AB : FC ,
又∵ AD 為 ∠BAC 的角平分線 ，
∴ ∠1 = ∠2 ，
∵ CF∥AB ，
∴ ∠1 = ∠F ，
∴ ∠2 = ∠F ,
∴ AC = CF ,
∴ BD : CD = AB : AC ,
∴ AB : AC = BD : CD 。
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