一．知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)
１．勾股定理
內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為 a，b，斜邊為 c，那么 a2 + b2 = c2 .
２.勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法：
３.勾股定理的適用范圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形 .
４.勾股定理的應(yīng)用
① 已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)時(shí)；
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，則有
② 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；
③ 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 .
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長(zhǎng) a，b，c 滿足 a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊 .
① 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，
它通過(guò) “數(shù)轉(zhuǎn)化為形” 來(lái)確定三角形的可能形狀，
在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和 a2 + b2 與較長(zhǎng)邊的平方 c2 作比較 :
若它們相等時(shí)，以 a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形；
若 a2 + b2 < c2，時(shí)，以 a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形；
若 a2 + b2 > c2，時(shí)，以 a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形 .
②定理中 a，b，c 及 a2 + b2 = c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，
如若三角形三邊長(zhǎng) a，b，c 滿足 a2 + c2 = b2，那么以 a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形，
但此時(shí)的斜邊是 b 而不是 c 了 .
③勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，
不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形 .
６.勾股數(shù)
① 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，
即 a2 + b2 = c2 中，a，b，c 為正整數(shù)時(shí)，稱 a，b，c 為一組勾股數(shù) ;
② 記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，例如 3 , 4 , 5；6 , 8 , 10；5 , 12 , 13 等 ;
③ 用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù)：
7.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用
二、常見(jiàn)題型歸納總結(jié)
題型一：直接考查勾股定理
【例題1】在 △ABC 中，∠C = 90°．
⑴ 已知 AC = 6，BC = 8．求 AB 的長(zhǎng) ;
⑵ 已知 AB = 17，AC = 15，求 BC 的長(zhǎng) .
分析：畫出圖形直接應(yīng)用勾股定理即可解題 .
題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程
【例題2】
⑴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，CD⊥AB 于 D，則 CD＝ ；
⑵ 已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為 3 ：4，斜邊長(zhǎng)為 15 cm，則這個(gè)三角形的面積為 ；
⑶ 已知直角三角形的周長(zhǎng)為 30 cm，斜邊長(zhǎng)為 13 cm，則這個(gè)三角形的面積為 .
分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．
有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解 .
【例題3】如圖，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠1 = ∠2，CD = 1.5 , BD = 2.5 , 求 AC 的長(zhǎng) .
分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái) .
解析：設(shè) AC = x , 易知 CD = DE = 1.5 , AC = AE = x ,
在 Rt△DEB 中，根據(jù)勾股定理可得：DE2 + BE2 = BD2 ,
即 1.5 × 1.5 + BE2 = 2.5 × 2.5 ，
解得 BE = 2 .
在 Rt△ACB 中，根據(jù)勾股定理可得：AC2 + BC2 = AB2 ,
即 x2 + 4 × 4 = （x + 2）2 ,
解得 x = 3 ,
∴ AC = 3 .
題型三：勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
【例題4】如圖有兩棵樹(shù)，一棵高 8 m，另一棵高 2 m，兩樹(shù)相距 8 m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵數(shù)的樹(shù)梢，至少飛了 m.
分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖所示 AB = 8 m，CD = 2 m，BC = 8 m，
過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥AB，垂足為 E，則 AE = 6 m，DE = 8 m .
在 Rt△AED 中，應(yīng)用勾股定理，可得 AD = 10 m ，即小鳥(niǎo)至少飛了 10 m .
題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形
【例題5】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，試判定 △ABC 是否為直角三角形 .
① a = 1.5，b = 2，c = 2.5 ;
② a = 5/4，b = 1，c = 2/3 .
題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用
【例題6】已知在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 邊上的中線 AD = 12 cm，
求證：AB = AC .
證明：
∵ AD 是 BC 邊上的中線，BC = 10 cm ,
∴ BD = DC = 5 cm ,
在 △ADB 中，AB = 13 cm , AD = 12 cm , BD = 5 cm ,
∵ 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13 ，
∴ BD2 + AD2 = AB2 ,
∴ △ADB 是直角三角形，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ，
∴ △ADB ≌ △ADC，（SAS）
∴ AB = AC .
三、鞏固訓(xùn)練
1、一架方梯長(zhǎng) 25 米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻 7 米，
（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？
（3）當(dāng)梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動(dòng)的距離相等時(shí)，這時(shí)梯子的頂端距地面有多高？
2、如圖，A、B 兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流 CD 的同側(cè)，分別到河的距離為 AC = 10 千米，BD = 30 千米，
且 CD = 30 千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向 A、B 兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米 3 萬(wàn)，
請(qǐng)你在河流 CD 上選擇水廠的位置 M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？
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