新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習(xí)題
一、基礎(chǔ)知識點： １．勾股定理
內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2?b2?c2 勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 ２.勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 ①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 ②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：
AD
E
bGBC
方法一：4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?
方法二：
12
ab?(b?a)?c
22
，化簡可證．
a
bc
a
b
b
c
cb
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S?4?
2積為S?(a?b)
a
a
Aa
12
Db
ab?c?2ab?c
2
22
大正方形面
a?2
2
ab? b 所以a?b?
12ab?
12c
2
22
c方法三：
B
2
b
E
aC
S梯形?
12
(a?b)?(a?，b)S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?
，化簡得證
３.勾股定理的適用范圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形 ４.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在?ABC中，?C?90?
，則
c?
b?
，a?
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量
關(guān)系③可運用勾股定理解決一些實際問題 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長a，b，c滿足a2?b2?c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊
①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2?b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若
222222
a?b?c，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a?b?c，時，以a，b，
c
為三邊的三角形是銳角三角形；
②定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2?c2?b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
６.勾股數(shù) ①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2?b2?c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)
②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)： n2?1,2n,n2?1（n?2,n為正整數(shù)）；
2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n為正整數(shù)）m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n為正整數(shù)）７．勾股定理的應(yīng)用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論． ９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：
C
C
BD
A
CC
A
B
ADB
BD
A
10、互逆命題的概念
如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 二、經(jīng)典例題精講
題型一：直接考查勾股定理 例１.在?ABC中，?C?90?．
⑴已知AC?6，BC?8．求AB的長
⑵已知AB?17，AC?15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2?b2?c2
解：⑴AB?
10
⑵BC?
8
詳細(xì)解題步驟如下：
解：設(shè)正方形ABCD
的邊長為
4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理EF=5a, DF=25a
2
2
2
2
在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。 題型四：利用勾股定理求線段長度——
例題4 如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長. 解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是
詳細(xì)解題過程如下：
解：根據(jù)題意得Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 設(shè)CE=xcm，
則DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102， ∴BF=6cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF=CE+CF，即(8－x)=x+4 ∴64－16x+x2=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm
注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。 題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——
例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？
2
2
2
2
2
2
關(guān)鍵。
解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？)，連結(jié)MN，測量MN的長度。
①如果MN=15,則AM+AN=MN,所以AD邊與
AB邊垂直；
②如果MN=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解決實際問題——
例題6 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？
解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)
頭（B點）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。
題型六：旋轉(zhuǎn)問題：
例1、如圖，△
ABC是直角三角形，BC
是斜邊，將△
ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長。
變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=求△ABC的邊長. 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點B逆時針選擇60°，將三條線段集中到同一個三角形中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.
變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點，且∠EAF=45°， 試探究BE、CF、EF間的關(guān)系，并說明理由.
題型七：關(guān)于翻折問題
例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.
變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點C落在點C’的位置，
題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：
BC=4,求BC’的長.
2
2
2
2
2
2
例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？
題型九：關(guān)于最短性問題
例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方
形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？ 三、課后訓(xùn)練： 一、填空題
1．如圖(1)，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需
E
圖(1)
2．種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝，高為12㎝，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，問吸管要做 ㎝。
3．已知：如圖，△ABC中，∠C = 90°，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cm
4．在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高_____________________米。
5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、 2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B
點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_____________. 二、選擇題
1．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ） A、25
B、14
C、7
D、7或25
2．Rt△一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt△的周長為（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能確定 3．如果Rt△兩直角邊的比為5∶12，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（ ） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 5．等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（ ）
A
20
2
A
第4題圖
第3題圖
F
B
A、56 B、48 C、40 D、32
6．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米
售價a元，則購買這種草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
30m F 第6題圖 第7題圖
7．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（ ）
A、6cm2
A．42 B、8cm2 B．32 C、10cm2 D、12cm2 C8．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為
C．42或32 D．37或33
9. 如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是 （ ）
（A）直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形 (D)以上答案都不對
三、計算 A
1、如圖，A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？
B
A
2、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：
①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由. ②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH 始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由.
四、思維訓(xùn)練：
1、如圖所示是從長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm，寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料。工人師傅要將它做適當(dāng)?shù)那懈?，重新拼接后焊成一個面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件，請根據(jù)上述要求，設(shè)計出將這塊下腳料適當(dāng)分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案（在圖2，3中分別畫出切割時所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡）。
10cm
40cm
30cm
30cm
2、葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常饒著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線，總是沿著短路線—盤旋前進的。難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？
如果閱讀以上信息，你能設(shè)計一種方法解決下列問題嗎？
如果樹的周長為3 cm，繞一圈升高4cm，則它爬行路程是多少厘米？
如果樹的周長為8 cm，繞一圈爬行10cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達樹頂，則樹干高多少厘米？
C
3、在，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,求證：
11
BC2?1AC2?CD2。
AD
B
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