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從古希臘的“自然界是按數(shù)學(xué)規(guī)律設(shè)計的”， 到馬克思的“一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運用數(shù)學(xué)時，才能達(dá)到真正完善的地步”，再到現(xiàn)代的“高技術(shù)就是數(shù)學(xué)技術(shù)”，人類社會的發(fā)展生動表明：人們正是在探究和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中深化對現(xiàn)實世界的認(rèn)識。

正如工業(yè)革命時代燃燒煤炭以啟動引擎，在今天信息時代我們?nèi)紵闹饕剂蟿t是數(shù)學(xué)！

人們從櫻花、薔薇花、郁金香花等花中抽象出“花”這個名詞，從櫻花葉、薔薇葉、郁金香葉等葉中抽象出“葉”這個名詞。進而又將花、葉、莖以及狗、貓等一切都包括于所謂“這個”的代名詞之中，即“這個”就是花、葉、莖以及狗、貓等一切的代表。與此類似，人們從1根木棒、1個橘子、1張紙等中抽象出數(shù)字“1”， 從2根木棒、2個橘子、2張紙等中抽象出數(shù)字“2”……進而又用文字a，b，c，…來代表所有的數(shù)。

就數(shù)系的擴充而言，首先從數(shù)量中抽象出數(shù)，抽象出數(shù)和常量的運算方法，抽象出函數(shù)和變量的運算方法；然后進一步用符號、概念和法則來表達(dá)以及合理解釋運算方法；最終合理地建立和解釋數(shù)系。

數(shù)學(xué)家說明了實數(shù)可以用有理數(shù)來描述，有理數(shù)可以用整數(shù)來描述，整數(shù)可以用自然數(shù)來描述，自然數(shù)可以用集合來描述，從而回答了“數(shù)是什么”這個問題。

自然數(shù)是人類最早認(rèn)識的數(shù)系，但建立自然數(shù)公理系統(tǒng)卻是19世紀(jì)末的事情。1889年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（Giuseppe peano，1858—1932）給出了如下的自然數(shù)公理：

我們可以從皮亞諾公理系統(tǒng)出發(fā)，定義并進一步采用嚴(yán)格的邏輯演繹方法證明我們熟悉的自然數(shù)的一系列運算法則。

實數(shù)理論的最終建立依賴于極限理論的發(fā)展與完善。在義務(wù)教育教科書里，我們是把有理數(shù)定義為分?jǐn)?shù)，而所有的分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)，所以我們可以把有理數(shù)定義為：有理數(shù)是有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)。進而得到無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。無理數(shù)的這種定義比較直觀，但對于證明和給出一般性的結(jié)果卻不方便（例如，在這種定義下，我們就無法證明：

為了解決這一矛盾，康托給出了用基本序列方法定義實數(shù)的方法：稱一個滿足柯西準(zhǔn)則的數(shù)列為基本序列，一個有理數(shù)可以用一個收斂的由有理數(shù)組成的數(shù)列的極限表示（比如，這個數(shù)列的所有項都是這個有理數(shù)）；一個無理數(shù)也可以用一個收斂的由有理數(shù)組成的數(shù)列的極限表示

因此，一個實數(shù)可以對應(yīng)于一個基本序列。于是可以把實數(shù)定義為：基本序列的極限為實數(shù)。如果兩個基本序列的極限相等，康托稱其為等價類。這樣，一個實數(shù)與一個由基本序列組成的等價類一一對應(yīng)。

為了實數(shù)理論的完備，需要證明“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)”，這樣就需要證明實數(shù)的連續(xù)性，而用基本序列的方法來證明是困難的，因為基本序列在本質(zhì)上仍然刻畫的是獨立的點。德國數(shù)學(xué)家戴德金（R.Dedekind，1831—1916）提出利用集合分類的方法來定義實數(shù)——戴德金分割，解決了這一矛盾。

實數(shù)a與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在笛卡爾坐標(biāo)系中，實數(shù)對(a,b)與平面上的點一一對應(yīng)。

可以用一對實數(shù)(a,b)定義一個新數(shù)。我們定義其加減乘除運算如下：

(a,b)±(c,d)＝(a±c,b±d)

(a,b)×(c,d)＝(a×c－b×d,a×d＋b×c)

由加法法則可得

(a,b)＝(a,0)＋(0,b)

在笛卡爾坐標(biāo)系中，(a,0)是x軸上的點，對應(yīng)普通實數(shù)，(0,b)是y軸上的點，對應(yīng)“擴張”部分。

由乘法法則可得

(0,1)×(0,1)＝(－1,0)

我們把(0,1)用i表示，稱為虛數(shù)單位。即

(a,0)等于實數(shù)a，我們把(0,b)稱為純虛數(shù)，寫作ib。因此，(a,b)可以表示為

(a,b)＝(a,0)＋(0,b)＝a＋ib

稱之為復(fù)數(shù)。

在空間坐標(biāo)系中，三元數(shù)組(a,b,c)與空間的點一一對應(yīng)，自然我們會思考：是否可以進一步擴展數(shù)的概念，把三元數(shù)組(a,b,c)定義成一個新數(shù)呢？19世紀(jì)的愛爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家威廉·哈密爾頓對這個問題展開了研究，提出了“四元數(shù)”的概念。

如果說自然數(shù)是來源于對數(shù)量的刻畫，有理數(shù)是來源于對比例的刻畫，無理數(shù)是來源于對長度的刻畫，那么，復(fù)數(shù)則是人為的，在現(xiàn)實生活中找不到實際背景。但復(fù)數(shù)卻是人類制造的一個描摹自然界規(guī)律的銳利武器：物理學(xué)中規(guī)范場，在實數(shù)情形下沒有意義，楊振寧和米爾斯將復(fù)數(shù)引入，規(guī)范場便成為物理學(xué)的重要基礎(chǔ)理論；陳省身研究復(fù)流形，開創(chuàng)了大范圍微分幾何。

在自然數(shù)范圍內(nèi)，方程x＋5＝0無解。為了解這一類方程，需要把自然數(shù)擴展到整數(shù)。

在整數(shù)范圍內(nèi)，方程2x＋3＝0無解。為了解這一類方程，需要把整數(shù)擴展到有理數(shù)。

為了解這一類方程，需要把有理數(shù)擴展到實數(shù)。

為了解這一類方程，需要把實數(shù)擴展到復(fù)數(shù)。

到此，你也許會認(rèn)為：在數(shù)系擴充過程中，每進入一個新的數(shù)系后，總可以找到一類無法解出的方程。但是，當(dāng)引入復(fù)數(shù)后，這個情況終止了。因為有如下的代數(shù)基本定理：

任意多項式方程

正三角形在以重心為中心按逆時針旋轉(zhuǎn)120°或240°后，都能與初始的圖形重合。如圖1，將正三角形的頂點編號，分別記作1、2、3。正三角形以重心為中心按逆時針旋轉(zhuǎn)120°，相當(dāng)于是將頂點1移至頂點2、頂點2移至頂點3、頂點3移至頂點1的過程。

圖1

如何旋轉(zhuǎn)正三角形是由其3個頂點的移動決定的，因此，上述旋轉(zhuǎn)可以表示為

如圖2，圍繞頂點1垂直于對邊23的垂線旋轉(zhuǎn)180°，也能與初始的圖形重合。此時，頂點1的位置不變，頂點2和頂點3的位置互換。

圖2

此旋轉(zhuǎn)可以表示為

正三角形的對稱性分為“圍繞重心的旋轉(zhuǎn)”和“圍繞高線的旋轉(zhuǎn)”，共有如下6種情況：

第1排分別對應(yīng)圍繞重心旋轉(zhuǎn)0°、120°、240°，第2排分別對應(yīng)圍繞高線旋轉(zhuǎn)180°。如果對正三角形連續(xù)實施2次旋轉(zhuǎn)，可以記作如下形式：

上述等式表示：正三角形圍繞重心旋轉(zhuǎn)120°后再圍繞過頂點1的高線旋轉(zhuǎn)180°，最后等于圍繞過頂點2的高線旋轉(zhuǎn)180°。可以驗證這種乘法滿足封閉律、結(jié)合律、幺元律、逆元律，也就是說，正三角形的對稱變換組成一個“三次對稱群”。

將圍繞重心旋轉(zhuǎn)120°記作

將圍繞過頂點1的高線旋轉(zhuǎn)180°記作

這樣，正三角形的對稱群的6個元素可以表示為：

人類從古巴比倫時期起就一直在研究方程的求根公式。雖然發(fā)現(xiàn)了解三次方程的卡爾達(dá)諾公式和解四次方程的費拉里公式，不過經(jīng)過之后幾個世紀(jì)的努力也未能發(fā)現(xiàn)五次方程的求根公式。在摸索如何才能發(fā)現(xiàn)五次方程求根公式的過程中，出生于18世紀(jì)法國大革命期間的數(shù)學(xué)家拉格朗日開始重新思考為什么二次、三次、四次方程存在求根公式，并嘗試用對稱性的概念來說明方程求根公式的意義。后來，出生于挪威的數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了不存在五次方程的求根公式，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)了對于任何次數(shù)的方程能否用冪根解該方程的判定方法。

可以將二次方程的首項系數(shù)化為1，因此，二次方程可以表示為

對兩個根的輪換來說，組成一個“二次對稱群”，用符號S2表示。

是兩個根的組合，而且在根的輪換中維持不變，同時都可以用方程的系數(shù)a、b表示：

由此可以得出二次方程的求根公式。

三次方程可以表示為

從而可得

對三個根的輪換來說，組成一個“三次對稱群”，這個群與正三角形的旋轉(zhuǎn)對稱群相同，用符號S3表示。

設(shè)

其中

由此可得

是三個根的組合，而且在根的輪換中維持不變，同時都可以用方程的系數(shù)a、b、c表示：

其中，

二次方程和三次方程之所以可用根式解，其原因在于對稱群 S2、S3。二次方程相對比較簡單，無法凸顯對稱性的作用。三次方程可用根式解的根本原因是三次對稱群S3可以分解成兩個“循環(huán)群”：

進而可以在三次對稱群S3 中找到三次方程的根的不變組合

而這些組合都只使用了平方和立方，所以只要開平方或開立方就能解出三次方程。

對于四次方程，四次對稱群S4可以分解成四個“循環(huán)群”：

進而可以在四次對稱群S4中找到四次方程的根的不變組合，從而就可得出四次方程的求根公式。

對于五次方程，五次對稱群S5可以分解成兩個“循環(huán)群”：

而正二十面體旋轉(zhuǎn)對稱群不能再分解。這樣，在五次對稱群S5中就找不到五次方程的根的不變組合。所以五次方程就不能用根式求解。

在研究方程的根式解中產(chǎn)生的群論，今天已經(jīng)被物理學(xué)家、工程師、語言學(xué)家甚至人類生態(tài)學(xué)家廣泛用來研究幾乎所有的對稱性問題。愛因斯坦根據(jù)物理定律必須具有對稱性的原理，創(chuàng)立了狹義相對論和廣義相對論。在化學(xué)和物質(zhì)科學(xué)領(lǐng)域，科學(xué)家運用群的概念區(qū)分分子和結(jié)晶的結(jié)構(gòu)。在基本粒子理論中，群的語言是理解基本粒子及其力量必不可少的工具。

《幾何原本》給出了5條公設(shè)：

顯然第5公設(shè)與其他公設(shè)不同，它的行文較長，遠(yuǎn)不是那種不證自明的真理。有證據(jù)表明，歐幾里得本人在《幾何原本》第1卷的演繹證明中一直盡力避免應(yīng)用這一平行公設(shè)，在前28個命題的證明過程中，他對其他公設(shè)都運用自如，而唯獨一直沒有使用第5公設(shè)。第5公設(shè)與平行公理等價：過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線。幾個世紀(jì)以來，人們對第5公設(shè)的質(zhì)疑不絕于耳，主要有如下三種態(tài)度：

實際上，人們早就知道存在不符合歐幾里得公理的幾何圖形，即球面上的幾何。公元1世紀(jì)的數(shù)學(xué)家梅涅勞斯在其著作《球面學(xué)》第一卷中就討論了球面上的直線和三角形分別對應(yīng)何物。在平面內(nèi)，直線段是兩點之間最短的距離，這是直線的根本性質(zhì)。在球面上，兩點之間的最短距離剛好是“大圓”的一部分。大圓是指通過球中心的平面與球面相交而得到的圓。航空公司就是利用這一特性來確定飛行航線的。比如，從美國到歐洲的國際航班的飛行線路并不是我們在地圖上看到的直線，而是一段向北的大圓弧。大圓是球面直線，它擁有所有直線的特性。如圖3，由三個大圓所圍成的圖形是球面三角形，球面三角形的內(nèi)角和大于180°。

圖3

在球面幾何中平行公理不成立。因為通過球中心的兩個不同的平面必定相交，這兩個平面與球面相交所得的大圓也必定相交，即兩條不同的直線無法平行。

如果歐幾里得第5公設(shè)是錯誤的，則有如下兩種情況：

從情況二出發(fā)，1829年俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基建立了雙曲幾何；從情況一出發(fā)，1854年黎曼建立了橢圓幾何。歐氏幾何、雙曲幾何、橢圓幾何的區(qū)別如圖4所示。

圖4

黎曼把非歐幾何的概念推向了更為廣泛的天地——他把這類幾何引入三維、四維，甚至維度更高的空間曲面中。在這個過程中，黎曼拓展出了一個關(guān)鍵概念——曲率。曲率標(biāo)識了曲線或曲面的彎曲比率。黎曼提出了任意多維空間中的曲率的精確數(shù)學(xué)定義。通過這一定義，黎曼讓最早由笛卡爾提出的“幾何與代數(shù)的結(jié)合”變得更為緊密。在黎曼的研究中，包含任意多個變量的方程式都能在幾何學(xué)中找到自己的對應(yīng)，而高級幾何中的新概念也成了方程式的一部分。

在一個小的、人的尺寸比例范圍內(nèi)——包含地球表面的一部分或全部的規(guī)?！ｎD物理學(xué)提供了一個完全符合觀察得到（和度量得到）的證據(jù)的理論框架，而歐氏幾何、雙曲幾何、橢圓幾何在這種情況下都適用。在一個較大的尺寸比例范圍內(nèi)——從太陽系到銀河以及更遠(yuǎn)的情況——愛因斯坦的相對論提供了一個比牛頓框架更接近觀察到的數(shù)據(jù)。在這個尺寸比例規(guī)模內(nèi)，非歐幾何更為恰當(dāng)。使用哪種非歐幾何，要看人們對于宇宙理論的選擇。如果我們假設(shè)宇宙現(xiàn)在的擴張有一天會停止并開始收縮，那么黎曼幾何就是最恰當(dāng)?shù)?；如果我們認(rèn)為宇宙會無窮地擴張，那么雙曲幾何則更合適。雖然非歐幾何一開始純粹是抽象、公理化的理論發(fā)展，在真實世界里看起來沒有什么用，但半個世紀(jì)之后卻被證明比歐氏幾何更適合用來研究大規(guī)模比例的宇宙。

數(shù)學(xué)的發(fā)展表明：數(shù)學(xué)世界和物理世界之間有著神秘的、意想不到的相互影響。伽利略和其他意大利經(jīng)驗主義者發(fā)現(xiàn)了下落物體的運動規(guī)律，開普勒確定了行星的運動規(guī)律，牛頓把他們的研究統(tǒng)一在了一起，并提出了用數(shù)學(xué)語言描述的普適的引力定律。在這個過程中，牛頓順勢發(fā)展出了一門全新的數(shù)學(xué)分支——微積分，讓他能簡潔、條理清晰地表達(dá)引力和運動規(guī)律的所有屬性。不過，牛頓沒有回答一個重要的問題：引力是如何真正起作用的？

愛因斯坦狹義相對論的核心支柱理論認(rèn)為，任何物體、能量或信息的運動速度都不可能超過光速。這似乎與牛頓的萬有引力定律產(chǎn)生了直接沖突。愛因斯坦下決心找一種全新的引力理論，這種力量不僅要保留牛頓理論非同凡響的成功之處，而且還要解釋引力是如何起作用的，同時還要和狹義相對論兼容。愛因斯坦經(jīng)過不懈努力終于在1915年創(chuàng)立了廣義相對論。

愛因斯坦的革命性見解的核心思想是，引力只不過是時間和空間的“織物”中的扭曲。根據(jù)愛因斯坦的觀點，行星沿著空間扭曲中的弧形路徑做曲線運動，而這種弧形路徑就代表著太陽的引力。換句話說，當(dāng)物質(zhì)不存在，或缺乏其他能量形式時，時空（三維空間與一維時間的統(tǒng)一）將是“平坦的”。在解決了引力是“如何起作用的”這個問題的同時，愛因斯坦還為“引力傳播速度有多快”這個問題提供了框架性解決方案。實際上，關(guān)鍵是要測定這種扭曲在時空中能以多快的速度傳播。愛因斯坦的研究表明，在廣義相對論中，引力的傳播速度與光速完全相同，這就消除了牛頓理論與狹義相對論之間的矛盾。

物理學(xué)家一直想通過引力的量子理論，在最大（整個宇宙）和最小（亞原子）的鴻溝之間架起一座橋梁，即將廣義相對論和量子力學(xué)協(xié)調(diào)統(tǒng)一。目前看來，弦論似乎最有可能完成這一使命。弦論的基本思想是：基本的亞原子微粒，如電子和夸克，并不是一種沒有結(jié)構(gòu)的點狀實體，而是表現(xiàn)為相同的弦在振蕩時的不同樣式。

數(shù)學(xué)中的紐結(jié)理論創(chuàng)建的主要起因是19世紀(jì)發(fā)展起來的一種錯誤的原子結(jié)構(gòu)模型。這個模型在提出20年后就被證明是錯誤的，但紐結(jié)理論卻在不斷發(fā)展。而且出人意料的是，弦論和紐結(jié)理論形成了一種完美的共生關(guān)系：一方面，弦論從紐結(jié)理論的研究中受益；另一方面，弦論又促進了紐結(jié)理論的新發(fā)展。而且弦論學(xué)家發(fā)現(xiàn)，要在更廣闊的范圍內(nèi)解釋物質(zhì)的最基本構(gòu)成，紐結(jié)理論至少可以提供一部分答案。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中我們可以清楚地看到：數(shù)學(xué)各分支在人類試圖解釋現(xiàn)實世界的過程中產(chǎn)生，隨后進入數(shù)學(xué)的抽象王國，并在其中得到發(fā)展，最終又出人意料地回到現(xiàn)實世界，成為人們認(rèn)識現(xiàn)實世界的武器。這剛好對應(yīng)抽象、推理、建模三種數(shù)學(xué)思想。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生自覺用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界。