——2010年愛因斯坦講座公眾數(shù)學(xué)演講
Terrence Tao（陶哲軒）/演講；
歐陽順湘/譯注
圖：陶哲軒在2010年愛因斯坦講座上演講 （http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010，Reed Hutchinson）
陶哲軒，加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）數(shù)學(xué)教授。他于1975年生于澳大利亞阿德萊德（Adelaide），父母均是來自中國的移民。他主要研究調(diào)和分析、偏微分方程、隨機(jī)矩陣和解析數(shù)論等。他獲得過許多榮譽(yù)和獎勵，如1988年獲數(shù)學(xué)奧賽金牌（最年輕的奧賽金牌選手），2006年獲菲爾茲獎，2012年獲克拉福德獎，2014年獲首屆數(shù)學(xué)突破獎。
本譯文基于2010年陶哲軒在UCLA的演講《宇宙距離之梯 》（The Cosmic Distance Ladder）視頻（時長約一小時十分鐘），并參考了相應(yīng)演講幻燈片的4.2版以及2013年他在美國數(shù)學(xué)博物館的同名演講視頻（時長約一個半小時）。此外，譯者還作了部分注釋并添加了一些圖片以方便部分讀者能更好地理解此演講。
陶哲軒在UCLA的這次演講也是美國數(shù)學(xué)會主辦的愛因斯坦公眾演講之一（http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010）。演講現(xiàn)場有近900名聽眾，可見當(dāng)時盛況。該講座（http://www.ams.org/meetings/lectures/meet-einstein-lect）是美國數(shù)學(xué)會為紀(jì)念愛因斯坦的奇跡年100周年而創(chuàng)設(shè)，從2005年開始，每年一度。1905年，愛因斯坦在《物理年鑒》（Annalen der Physik）上發(fā)表三篇重要文章，發(fā)現(xiàn)了光電效應(yīng)，布朗運(yùn)動理論，狹義相對論以及著名的質(zhì)能方程$E=mc^2$，因而1905年被稱為愛因斯坦的奇跡年（annus mirabilis，拉丁語）。愛因斯坦講座此前的演講者中有阿提亞爵士（Sir Michael Atiyah）、曼德勃羅（Beno?t B. Mandelbrot）、彭羅斯爵士（Sir Roger Penrose）等著名數(shù)學(xué)家。戴森（Freeman Dyson）著名的演講稿《鳥和青蛙》也曾是為2008年度愛因斯坦講座準(zhǔn)備的，只是當(dāng)年的演講因故被取消。
據(jù)陶哲軒的博客文章介紹，自2006年起，除了上述愛因斯坦講座，他多次演講過該主題，例如：2006年在澳大利亞數(shù)學(xué)所，2007年在UCLA的Pi Mu Epsilon協(xié)會，2009年澳大利亞Clay-Mahler lectures，2010年在斯坦福大學(xué)。
此外，雖然陶哲軒沒有在博客上提及，他實際上在近年來仍以此主題做過一些公眾演講。如2013年8月7日和19日就分別在美國數(shù)學(xué)博物館（National Museum of Mathematics，2012年建立，位于紐約市，https://in.momath.org/civicrm/event/info?reset=1&id=84）和新西蘭的奧克蘭大學(xué)（The University of Auckland，http://www.science.auckland.ac.nz/en/about/events/events-2013/2013/08/19/The-cosmic-distance-ladder.html）演講過該題目。
陶哲軒在2010年完成愛因斯坦講座公眾演講后撰寫的博客中，說多年打磨（可謂“五年磨一劍”）同一個演講很有教育意義，也很值。他放在博客上的演講演示文稿就有多個版本（最新可獲得的版本為4.2版），比較之前的版本，從內(nèi)容到形式，都有很大的變化。讀者甚至可以注意到，2013年的演講還糾正了4.2版中的一個計算上的小誤寫（參后文）。
人們對天象、天體的觀測興趣有著長久的傳統(tǒng)。中國古代即有“奔月”傳說，也有“辯日”的故事，還曾“問天”。宇宙距離之梯就是一個熱門話題，能找到不少資料。維基百科上也有題為“Cosmic Distance Ladder”的條目（相應(yīng)中文條目題為“宇宙距離尺度”），讀者可以參考。但陶哲軒的此演講通俗易懂，內(nèi)容簡潔又弘大，包含了很多有趣的思想，不同一般。
在此演講中，陶哲軒介紹了天文學(xué)家是如何聰明地利用數(shù)學(xué)知識和觀察，間接地進(jìn)行天體距離測量的。宇宙距離的測量，猶如攀登樓梯，每一階距離的測量，都是下一階距離的測量的基礎(chǔ)。此階梯開始于古希臘：他們利用簡單的三角形知識，測量了地球、太陽和月球的大小以及相對位置。但直到約1700年之后，因為哥白尼、第谷和開普勒等的努力，才確立了日心說，測量了地球到各行星的距離。至近現(xiàn)代，則通過發(fā)現(xiàn)距離與恒星的顏色、亮度、周期以及退行速度等的關(guān)系，以及建立大爆炸理論等，測量了到臨近恒星、銀河系、河外星系乃至整個可觀測到的宇宙的距離。
梁啟超論述史學(xué)時，稱史學(xué)作為一門學(xué)科出現(xiàn)很晚的原因在于史學(xué)需要材料的累積，并舉例說，天文學(xué)因為需要的材料很少，所以容易很早就出現(xiàn)。通過陶哲軒的此演講，確實可以感到，在距離階梯的最初階段，古希臘人僅僅使用簡單的三角學(xué)知識以及一些觀察，似乎很輕易地就測量出了地球半徑、地月距離、日地距離等；越到后面，所需材料，包括數(shù)據(jù)和技術(shù)，就越多，也就越不簡單了。
然而，古希臘人能夠取得這些成就不是偶然的。他們不但有對天象的詳細(xì)觀察，也有了長久的在地球上進(jìn)行測量的基礎(chǔ)。古希臘米利都的泰勒斯（Thales of Miletus，約公元前624年－前546年）就知道利用金字塔的陰影計算其高度。另一個著名的例子是公元前6世紀(jì)（約公元前530年）挖成的尤帕林納斯（Eupalinos）隧道。尤帕林納斯是希臘工程師，他受命在薩摩斯島向當(dāng)時該島的首都（今日畢達(dá)哥利翁，Pythagoreion）修一條長秘密引水水道，以避免被敵軍發(fā)現(xiàn)而遭切斷。水道途中要經(jīng)過卡斯楚山（Kastro），需要開挖隧道。為了加快速度，考慮從山的兩側(cè)同時開工。問題是如何確定開挖地點(diǎn)和方向以保證兩方隧道能相逢，且隧道總長度盡量短。這里就需要用到三角學(xué)知識。最終經(jīng)過約10年時間的建設(shè)，挖出了一條長1036米的隧道，使用了上千年。
圖：尤帕林納斯隧道
在這里，值得補(bǔ)充下三角形知識的應(yīng)用對數(shù)學(xué)教育的啟示。伽利略曾說，自然這一巨著由數(shù)學(xué)語言書寫而成，其中的主角是三角形、圓以及其他幾何形狀。波利亞在《科學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》（Mathematical Methods in Science，1963年）一書中，在介紹了三角形知識在天體測量中的應(yīng)用之后，討論到，如果沒有三角形知識，我們就要將時針撥回到遠(yuǎn)古的黑暗時代；應(yīng)該通過介紹三角形在測量中的作用，使學(xué)生就如對棒球、電視和鄰家女孩等感興趣一樣對三角形知識的學(xué)習(xí)感興趣。
從數(shù)學(xué)在天體測量的應(yīng)用中可以深切地認(rèn)識到，數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)程中所發(fā)揮的重要作用。反過來，無須說，天文學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。1942年，愛因斯坦在紀(jì)念牛頓誕辰300周年的文章中寫道：“那些為天才繼續(xù)發(fā)展所不可缺少的工具，主要來自于對星空的觀察。”
可以想象，天文學(xué)與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，是作為數(shù)學(xué)家的陶哲軒對宇宙距離之梯有興趣的一個主要原因。2013年陶哲軒在美國數(shù)學(xué)博物館的同名演講中，曾做過解釋。他說自己并不從事天體測量的研究，不過他小時候曾是天文興趣小組的成員，了解到一些天文知識，但只是直到后來，才知道背后的數(shù)學(xué)。
陶哲軒是一位勤奮、多產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)博客作者。他的個人博客（http://terrytao.wordpress.com/）是眾多數(shù)學(xué)愛好者乃至數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)教室。例如，此次演講主持人，時為美國數(shù)學(xué)會副主席的Frank Morgan，在介紹陶哲軒時說，按照他的觀點(diǎn)，陶哲軒的博客是因特網(wǎng)上最好的網(wǎng)站，他現(xiàn)在每天都去看。譯者也是在多年前通過陶哲軒的博客注意到此演講，然而一直沒見（等）到此演講以文章形式出現(xiàn)。譯者現(xiàn)勉力根據(jù)視頻整理成文，與讀者共享，并且向讀者推薦此演講。相信不少讀者在聽或“看”完此演講后，會與我一樣有不少收獲。
圖：2010年愛因斯坦講座時陶哲軒（中）、陶哲軒的兒子與Frank Morgan合影（http://www.ams.org/meetings/lectures/einstein-2010，Reed Hutchinson）
為方便讀者，相關(guān)網(wǎng)絡(luò)資源列在下面：
陶哲軒有關(guān)該演講的三篇博客：
http://terrytao.wordpress.com/2010/10/10/the-cosmic-distance-ladder-ver-4-1/;
http://terrytao.wordpress.com/2009/09/03/the-cosmic-distance-ladder-2/;
http://terrytao.wordpress.com/2007/05/31/the-cosmic-distance-ladder/.
2010年在愛因斯坦講座上的演講：
2013年在美國數(shù)學(xué)博物館上的演講：http://www.youtube.com/watch?v=kY1gfrhNUIg （Youtube）.
演講所用演示文稿（4.2版本，2010年）： http://terrytao.files.wordpress.com/2010/10/cosmic-distance-ladder2.pptx。
我很榮幸作這次愛因斯坦講座，這不僅是因為此系列講座之前的幾位杰出演講者，也是因為愛因斯坦本人。愛因斯坦是一位偉大的傳奇科學(xué)家，做了許多偉大的工作。但即便偉大如愛因斯坦，他也不是在虛空上工作。他所做的事情也是基于許許多多前人的工作。他是宏大的科學(xué)故事中的一份子。
今天我們要介紹的是眾多科學(xué)故事中的一個——宇宙距離之梯。這實際上是我最喜歡的故事。它和數(shù)學(xué)、物理以及歷史上的天文學(xué)有關(guān)。這個故事很長，已有兩千多年的歷史，并且仍在發(fā)展，遠(yuǎn)未結(jié)束。大家或許在學(xué)校、從教材中或通過網(wǎng)絡(luò)，已經(jīng)了解過了這個故事中的某些部分，但你們可能很少有機(jī)會系統(tǒng)地看到整個故事。
我今天想要傳達(dá)的就是，科學(xué)不是孤立的事實的集合，而是一個大故事中的一部分。我今天要講的就是一個很好的例子。
宇宙距離之梯是天體測量的基礎(chǔ)。什么是天體測量呢？天體測量是天文學(xué)的一個主要研究子科目，是研究天體（如太陽、月球、行星和恒星等）的位置與運(yùn)動的科學(xué)。我們想知道天體在哪里，又將要去哪里。
天體測量學(xué)中的典型問題有：
地球到月球有多遠(yuǎn)？
地球到太陽有多遠(yuǎn)？
太陽到其他行星有多遠(yuǎn)？
太陽到臨近恒星有多遠(yuǎn)？
太陽到遠(yuǎn)方恒星有多遠(yuǎn)?
圖：太陽系（NASA/JPL）
今天，要回答這些問題非常容易，我們只要去查查維基百科就可以了（觀眾笑聲）。維基百科從天文學(xué)家那里獲得這些知識，天文學(xué)家又是從哪里得到答案的呢？
天體測量中的距離太過遙遠(yuǎn)，不可能拿著尺子或其他什么東西去直接測量。然而，天文學(xué)家找到了許多聰明的方法來間接測量。例如，我們沒法直接測量到兩星系的距離$D_1$和$D_2$，但我們能夠知道他們的比。通過測量星系的紅移算出星體的退行速度，然后根據(jù)后面將介紹的哈伯定律，就可得到星系距離之比： $$ \left. \begin{aligned} v_1=HD_1&\\ v_2=HD_2&\\ \frac{v_1}{v_2}=3.4\pm 0.1 \end{aligned} \right\}\Longrightarrow \frac{D_1}{D_2}=3.4\pm 0.1. $$
圖：遙遠(yuǎn)星系離我們遠(yuǎn)去的速度（$V$，即后文提到的退行速度）與它們離開我們的距離（$D$）成正比（$V=HD$，$H$為哈伯常數(shù)），因此測得的速度比為距離之比
我們有許多方法來測量距離之比，借助一個距離來表示另一個距離。這些方法常常更多地依賴于數(shù)學(xué)方法，而非技術(shù)手段。很多時候，所用到的數(shù)學(xué)很簡單，當(dāng)然，有時候也要用到很高深的數(shù)學(xué)。
圖：宇宙距離之梯（圖片來自Bennett等著的The Essential Cosmic Perspective，原書對該圖片的注釋：宇宙距離的測量依賴于一條相互關(guān)聯(lián)著的技術(shù)之鏈。此鏈以雷達(dá)范圍開始，可以確定太陽系內(nèi)的距離，繼而有視差法和標(biāo)準(zhǔn)燭光技術(shù)。這些技術(shù)可以用于校準(zhǔn)哈伯定律，反過來哈伯定律又能幫助我們估計到整個可觀測宇宙中的星系的距離）
間接方法的特點(diǎn)就是利用到不那么遠(yuǎn)的天體的較小距離去控制到遙遠(yuǎn)的天體的大距離，而小距離則用更小的距離來控制，依此方法，不斷縮小距離，直至最終達(dá)到可以直接測量的距離。由此，我們得到梯狀結(jié)構(gòu)的距離，梯狀結(jié)構(gòu)的比例。把它們放到一起，就可以得到宇宙距離。這就是我們測量整個宇宙的方法。
講座中我們要做的就是攀爬這個宇宙距離之梯。按照歷史的發(fā)展，我先從地球這一最基本的階梯開始，直至月球、太陽和行星等等。我們將看到每一階的距離是如何測量的，它又是如何基于前面那一階的距離的測量的。
現(xiàn)在我們已經(jīng)知道地球近似球形，赤半徑為6378千米（3963英里），極半徑為6356千米（3949英里）。赤半徑要比極半徑稍寬。這些數(shù)值已被包括現(xiàn)代衛(wèi)星在內(nèi)的各種方法驗證到極大的精度。只要想想我們有精確到每平方英寸的地圖就可以了。但是，假如我們沒有如宇航、航空和航海等現(xiàn)代先進(jìn)技術(shù)，甚至也沒有望遠(yuǎn)鏡和六分儀這樣的工具，我們還能計算出地球的半徑嗎？甚或更基本地，我們還能判斷出地球是圓球嗎？
答案是肯定的。我們不但能推斷出地球是圓球，還能獲得它的大小。這是由兩千多年前的古希臘人得出的。我們所需要的僅是一點(diǎn)點(diǎn)幾何知識。
圖：亞里士多德（維基百科）
歷史上第一位論證地球是圓球的人是兩千三百多年前的亞里士多德（Aristotle，公元前384－公元前322）。他通過對月球的觀察，令人信服地間接說明了地球是圓球狀的。
我們將要討論的方法幾乎都是間接的。間接方法意味著我們不是直接考察要研究的對象。所以要研究地球，我們就不能僅僅盯著地面，否則所見到的都是平的，而是要借助于另外的對象。在考慮地球形狀這種情形，亞里士多德用的是月球。
亞里士多德是怎樣做的呢？他用到月食（lunar eclipses）。在本演講中，我們將反復(fù)用到各種“食（eclipses）”。各種“食”對天文學(xué)家極其有用。
亞里士多德知道月食是當(dāng)月球和太陽位于地球的兩邊，即當(dāng)月球在黃道平面上恰好（相對應(yīng)地球）位于背對著太陽的方向時才發(fā)生。他推斷這是因為月球落入了地球的陰影（地影）中。同時，觀察月食，會發(fā)現(xiàn)，無論在什么位置，什么方向，也無論是哪一部分的月食，所見到的地球在月球上的影子總是圓弧。這意味著，地球的每一個陰影都必定是圓。為此，圓球是地球唯一可能的形狀。這是地球是圓球的正確解釋。例如，假設(shè)地球是一個平坦的圓盤，所見到的月食就不是我們所見到的樣子。亞里士多德的解釋是證明地球是圓球的最簡單的證明之一。
圖：月食相圖（Randy Brewer）
我們之前說古希臘人沒有任何技術(shù)并不完全準(zhǔn)確——他們可以旅行，例如從埃及稍作遠(yuǎn)行到希臘。亞里士多德知道，有的星座在埃及能看到，但旅行到希臘后卻看不到了。實際上埃及到希臘并不很遠(yuǎn)。他認(rèn)為從埃及到希臘這樣相對短的距離間，仍有這樣的現(xiàn)象，正是源于地球的彎曲性質(zhì)，使所能見到的星座有所變化。同時，因為不遠(yuǎn)的距離即能察覺到彎曲，地球的半徑必是有限的。然而，可惜的是，雖然他的論述是正確的，但卻不能由此來準(zhǔn)確測量地球半徑。
圖：埃拉托斯特尼（維基百科）
大約一百年之后，另一位希臘人，埃拉托斯特尼（Eratosthenes，公元前276－公元前194）【注】計算了地球的半徑。他得出地球的半徑為40 000stadia。stadia是希臘當(dāng)時使用的長度單位。按我們現(xiàn)在用的單位，他得出地球的半徑相當(dāng)于6800公里或4200英里。這是非常好的估計，精度在8%之內(nèi)。他并沒有什么技術(shù)工具，卻得到了精度在8%之內(nèi)的答案，確實是很不容易，而且是非常令人驚訝的。今日最折磨我們的就是精確性了（觀眾笑聲）。【注】
【注】埃拉托斯特尼是生活在亞歷山大的數(shù)學(xué)家，是數(shù)論中“篩法”的發(fā)明者，也被認(rèn)為是“地理學(xué)之父”。他還曾任著名的亞歷山大圖書館館長。他在許多領(lǐng)域雖然不是最偉大者，但都有重要貢獻(xiàn)，因此號稱“$\beta$”。有關(guān)他的一些介紹、他測量地球半徑的方法，以及亞歷山大時期的古希臘數(shù)學(xué)的介紹，可以參考譯者的《亞歷山大城的希帕蒂婭》，《數(shù)學(xué)文化》，第3卷第1期，2012年。10-11世紀(jì)期間的穆斯林?jǐn)?shù)學(xué)家比魯尼也對地球半徑做過精確測量，可參考譯者的《谷歌數(shù)學(xué)涂鴉欣賞（中）》，《數(shù)學(xué)文化》, 第4卷第2期，2013年。
【注】歷史學(xué)家對埃拉托斯特尼使用的長度單位stadia表示多長的距離存在爭論，因而也導(dǎo)致人們對埃拉托斯特尼所得地球半徑的精確度的爭論。大多數(shù)人認(rèn)為1 stadia約為185米，埃拉托斯特尼測得的地球半徑的誤差約為16.3%，也有人認(rèn)為1 stadia為157.5米，這樣導(dǎo)致埃拉托斯特尼測得的地球半徑的誤差為1.6%。不管如何，埃拉托斯特尼的方法是正確的，現(xiàn)代利用更加精確的數(shù)據(jù)，用同樣的方法可以得到誤差只有0.16%的估計。哥白尼遠(yuǎn)航時，曾學(xué)習(xí)過埃拉托斯特尼對地球半徑的估計。但他不相信埃拉托斯特尼能得到如此精確的估計，否則他不會將他所發(fā)現(xiàn)的新世界——美洲——誤認(rèn)為是亞洲。
就如前人的方法，埃拉托斯特尼的論證也是間接的。但這次他做的是仰望太陽。當(dāng)然不能直接盯著太陽看，那就太笨了（觀眾笑聲），而是要間接地借助太陽。
埃拉托斯特尼是怎樣做的呢？也許你們之前讀過相關(guān)的故事，但我們還是重復(fù)下。
埃拉托斯特尼了解到在埃及一座名叫賽尼（Syene，今阿斯旺）的城市里有一口井。這口井有一個有趣的特點(diǎn)。雖然這口井很深，但在每年日照最長的那一天，即夏至日（6月21日）這一天的正午時分，井中的水會垂直反射井上方的太陽光。大多數(shù)井并沒有這樣的性質(zhì)，但塞尼的井是這樣。我們現(xiàn)在知道，其中的根本原因是因為賽尼很幸運(yùn)，幾乎恰好位于北回歸線上。地球上有兩處地方有這樣的特點(diǎn)，另一處是在南半球的回歸線上。
埃拉托斯特尼知道這件事，但他并不住在賽尼，而是住在亞歷山大。賽尼也在埃及，但位于賽尼的北邊。于是他決定在亞歷山大做同樣的實驗。但等到6月21日這一天，他發(fā)現(xiàn)太陽光并不從井底反射，而是有一定的偏角。他知道這是因為地球是圓球狀，有彎曲。大多數(shù)人可能會認(rèn)為這沒有什么用而放棄了，但埃拉托斯特尼沒有。
埃拉托斯特尼是數(shù)學(xué)家，他有日晷（gnomon），這是一種量棍（measuring stick）。埃拉托斯特尼用它測量，得到太陽光與垂直線的偏角是$7^\circ $。
作為數(shù)學(xué)家，如果知道了偏角，同時又能知道從亞歷山大到塞尼有多遠(yuǎn)，就足以計算出地球的半徑了。埃拉托斯特尼碰巧知道塞尼位于亞歷山大之南5 000 stadia （740千米）。他是如何知道這一點(diǎn)的呢？我們不確定他是如何獲得這個距離的。一種說法是，他是根據(jù)來往塞尼與亞歷山大之間的商人在路上要花多長時間、每天能走多遠(yuǎn)來計算的。另一種傳說是，他付錢給他的學(xué)生去步行測量（觀眾笑聲），這也是可能的，可以相信的。不管怎樣，他算出塞尼與亞歷山大之間的距離為5000 stadia。
這樣就可以得到一個三角形，一條邊長為地球的半徑$r$，另一條邊長為5000 stadia，它們的夾角是$7^\circ$。僅僅利用這兩條信息和一點(diǎn)數(shù)學(xué)，就可以計算出地球的半徑為40 000 stadia： $$ 2\pi r \times \frac{7^\circ}{360^\circ}=5000\ \text{stadia} \Longrightarrow \ r=40\ 000\ \text{stadia} . $$
我們這里要提的一件事情就是，我們假設(shè)了圖中的這些線（即到地球的太陽光線）是平行的。換句話說，我們假設(shè)太陽離地球相當(dāng)遠(yuǎn)，稍后這一點(diǎn)將得到證明。
圖：埃拉托斯特尼測量地球半徑（圖片截自陶哲軒演講幻燈片，原圖中的北回歸線示意圖來自Swinburne University的宇宙天文百科）
我們現(xiàn)在看第二階，即月球。這里的基本問題有：
月球是什么形狀？
月球有多大？
月球有多遠(yuǎn)？
古希臘人也回答了這些問題，沒用到什么技術(shù)，只是用到了一些幾何知識和一些觀察。
首先，我們來談?wù)勗虑虻男螤?。月球看起來是圓的，但它很可能是圓而平坦的，如同一個圓盤一樣掛在天空中。我們現(xiàn)在知道它是一個球體，為什么是一個球體呢？
圖：2005年5－6月的月相（維基百科）
亞里士多德僅僅根據(jù)熟悉的月相現(xiàn)象，判斷出月球是一個球體。月相，如弦月（half moon, 分上、下弦月）、盈凸月（gibbous moon）等月相，是因為太陽照在月球的一邊，而月球的另一邊是黑暗的。亞里士多德于是觀察月球晝夜線（terminator），即月球上被照亮部分和陰影部分的邊界。他發(fā)現(xiàn)月球晝夜線總是橢圓弧狀，只是在上、下弦月 的時候似乎是直的。如同論證地球是球體一樣，若要有這樣性質(zhì)，月球的唯一可能的形狀是球體。因為月球的一半被太陽照亮，按照我們現(xiàn)在的觀點(diǎn)，月球上的大半圓即是晝夜線，呈橢圓。如果月球是一個圓盤，那么月球要么是暗的，要么是亮的，不可能產(chǎn)生月相，也不會有晝夜線。晝夜線源自月球是球體而不是盤狀。
圖：阿里斯塔克斯半身像（Nasa）
月球離我們多遠(yuǎn)呢？亞里士多德沒有算出來。后來的另一位希臘人，阿里斯塔克斯（Aristarchus，公元前310年－前230年）借助地球半徑，歷史上首先計算了地球到月球有多遠(yuǎn)。他的測量是間接的。他計算出月球到地球的距離大約為地球半徑的60倍。這也是相當(dāng)令人驚訝地準(zhǔn)確。因為月球繞地運(yùn)行的軌道近似橢圓，所以月球與地球的距離實際上是變化的，有時近有時遠(yuǎn)。月地實際距離介于57到63倍地球半徑之間。平均而言，阿里斯塔克斯的估計是極為準(zhǔn)確的。
阿里斯塔克斯還幾乎正確地計算出了月球的半徑。他說月球的半徑為地球半徑的三分之一。這很接近真實值：月球半徑的實際值為地球半徑的0.273倍?？紤]到希臘人當(dāng)時的技術(shù)，這樣的估值不算差。
我們已經(jīng)在上一輪中計算過了地球的半徑，因此我們可以將這兩個信息結(jié)合起來，得出月球的大小及其位置：
月球半徑=0.273 倍地球半徑=1700 千米=1 100 英里。
月地距離=60倍地球半徑= 384 000 千米=239 000 英里。
阿里斯塔克斯是如何計算的呢？他的方法仍是間接的。他測量地球到月球的距離的方法依賴于太陽。我們要再一次用到月食。
我們已經(jīng)說過，月食之所以發(fā)生是由于月球穿過地球的陰影。這個陰影有多寬呢？我們需要再次假設(shè)太陽離地球相當(dāng)遠(yuǎn)，這一點(diǎn)過一會就會介紹。如此一來，地球的直徑，即地球半徑的兩倍，基本上是陰影的寬了。
希臘人觀察到過許許多多次月食，他們知道月食延續(xù)的最長時間大約為三個小時，沒有月食發(fā)生的時間超過三個小時。這意味著月球需要三個小時來穿過兩倍地球半徑的距離。另一方面，月球繞地球一周需要一個月的時間。這里的一個月是一朔望月，即28天【注】。因此，月球需要花一個月的時間繞地一周，需要三個小時穿過兩倍地球半徑的距離。這些信息足夠充分了?；旧现挥玫胶唵蔚闹袑W(xué)數(shù)學(xué)，我們就可以使用地球的半徑來表示地球到月球的距離。
【注】演講中所說的“月”用的英文單詞是“l(fā)unar month”，在天文學(xué)中，這表示朔望月，指月球連續(xù)兩次合朔的時間間隔，也是月相重合的周期，平均大約為29.5天。月球繞地球公轉(zhuǎn)一周約27.3天。
設(shè)$V$為月球繞地運(yùn)動速度，$D$為月地距離，$r$為地球半徑，則有： $$ V=\frac{2r}{3\text{小時}}=\frac{2\pi D}{1\text{個月}} \Longrightarrow D=60r. $$ 也就是說，月地距離為地球半徑的60倍。
圖：計算月地距離（圖片來自演講幻燈片，原圖來自維基百科，圖中藍(lán)線表示地球軌道，綠線表示月球軌道）
月球有多大呢？有許多方法來計算。一種方法是等待月落。月落大約需要兩分鐘。從我們的觀點(diǎn)來看，月球的視覺運(yùn)動用兩分鐘行進(jìn)兩個月球半徑的距離。另一方面，月球繞地球一周的視運(yùn)動需要用時24小時。這些信息足以使我們根據(jù)地球到月球的距離來確定月球的半徑。設(shè)月落速度為$V$，月球半徑為$R$，月地距離為$D$，地球半徑為$r$，則有 $$ \frac{2R}{2\text{分鐘}}=V=\frac{2\pi D}{24小時} \Longrightarrow R=\frac{D}{180}=\frac{r}{3}. $$
圖：月落（2008年9月15日科羅拉多落基山脈的月落，Alek Kolmarnitsky）
根據(jù)之前的計算，已知$D=60r$。結(jié)合$R=\frac{D}{180}$，可得到$R=\frac{r}{3}$。所以，我們最終可以用地球的半徑表示月球的半徑：月球半徑為地球半徑的三分之一。
這是很令人贊嘆的成就。實際上并不容易，阿里斯塔克斯做了一系列的假設(shè)，我們在這里做了很大的簡化。不過我們要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)時是多么地沒什么技術(shù)。那時不但沒有望遠(yuǎn)鏡等技術(shù)工具，阿里斯塔克斯甚至都不知道$\pi$的精確值。第一位得到精確的$\pi$值的是阿基米德（Archimedes，公元前287－公元前212年）， 這還需等待好幾個年代！因此阿里斯塔克斯用了些三角形知識，而不是用正弦、余弦這些三角學(xué)知識?？梢姡?dāng)時幾乎是零技術(shù)，但阿里斯塔克斯仍能得到好的答案。
