故事得從西元1202年說起，話說有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一個有趣的問題：假設一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔，一年內沒有發(fā)生死亡，問：一對剛出生的兔子，一年內繁殖成多少對兔子?
好了，問題看似蠻簡單的，但是貌似不是很容易解答 的，我們先來看看斐波那契是何許人也。
比薩的列奧納多，又稱斐波那契，中世紀意大利數學家，是西方第一個研究斐波那契數的人，并將現代書寫數和乘數的位值表示法系統引入歐洲。其寫于1202年的著作《計算之書》中包涵了許多希臘、埃及、阿拉伯、印度、甚至是中國數學相關內容。
那么，為什么僅僅是一個數列，就可以讓這么多數學家趨之若鶩，甚至建立一個專門來研究它的協會呢？下面，我們就來看一看這組數列有什么神效，能夠使眾人淪陷。
問題的由來
我們來看看兔子問題：假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12 個月后會有多少對兔子呢？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月后，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對。
我們把成熟的兔子和沒成熟的兔子分開，用不同的顏色來標記，試著找一找規(guī)律。
那我們用白色的圈表示成沒有成熟的兔子，這些兔子，一個月之后，會長大，我們就用黑色的圓圈來表示成熟的兔子。
如果我們夠仔細的話，我們能發(fā)現，兔子數是有規(guī)律的。第一個數和第二個數為1，之后的每一個數為之前兩個數之和。比如，七月份月份的兔子數量為五月份和六月份兔子數量之和，即13=5+8。
我們看一下，七月份的兔子中有8對黑兔子和五對白兔子，想一想，其實就是上月成熟的五對兔子生下了五對白兔子，再加上個月沒有成熟的白兔子，經過一個月的成長，變成了3對黑兔子，所以13對兔子，其實就是8對黑兔子以及5對白兔子了。
所以，這樣我們對兔子問題應該有所了解了吧，這樣一個題目，我們就解完了。
斐波那契數列的自身特性
前面，我們已經求除了斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……
我們試著將數列中的每一項，平方之后，再求累加和，看一看會有什么樣的效果？
1^2+1^2=2
1^2+1^2+2^2=6
1^2+1^2+2^2+3^2=15
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2=104
1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2=273
不知道有沒有細心的讀者發(fā)現了呢？其實，我們可以將這些數，拆開，如下圖所示：
我們發(fā)現，拆開之后的數字也是斐波那契數，神奇吧。而且這不是一個巧合，我們可以寫出前n項的平方和，依舊有這樣的性質。
為什么斐波那契數的前N項平方和可以寫成兩個斐波那契數之積呢？既然這個性質不是巧合，那么其中必定有著更深層的數學本質。這就留著我們下期再解答吧！
