十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci），寫了一本數學書《計算之書》影響了歐洲人的思想。菲波那契在?計算之書?中提出了一個極為有趣的"兔子問題"。這就是本篇討論問題的開端。
斐波那契數列、以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數列"，指的是這樣一個數列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、619、987 ……
與黃金分割關系有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。
在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
這個數列有下列特性（1）當n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值越到后面越來越逼近黃金分割率
即f(n)/f(n-1)→0.618…（2）任何相鄰三個數，其中前兩個數之和等于第三個數，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此類推。（3）任何相鄰三個數，其中第一個數和第三個數的乘積與第二個數的平方相差1。
如圖所示每條斜線上數的和就構成斐波那契數列，又稱黃金分割數列。
斐波那契數列的f(n)/f(n-1)會趨近于黃金比例 ?= (1+√5) /2，近似值為 1.618。
黃金分割是一個古老的數學方法，首次提出是，公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯及其學派在五角星內發(fā)現的，公元前4世紀古希臘的數學家歐多克索斯第一次用幾何的方法給出黃金分割率的計算，并建立起比例理論，公元前300年歐幾里得《幾何原本》進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著.中世紀后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數學帕喬利稱之為神圣比例，并專門為此著書立說.德國天文學家開普勒稱之這一神圣分割為"中外比"，13世紀意大利數學家菲波那契，寫了《計算之書》之后，對黃金分割的認識才從靜態(tài)走向動態(tài)，自然界的變化規(guī)律已經觸手可及了。15世紀末期，法蘭西教會的傳教士路卡·巴喬里發(fā)現金字塔之所以能屹立數千年不倒，且形狀優(yōu)美，原因在于其高度與基座每邊的結構比例為"5:8"。有感于這個神秘比值的奧妙與價值，他使用了黃金比率一詞。
古往今來，這個數字一直被后人奉為科學和美學的金科玉律成為世代相傳的審美經典規(guī)律，造就了人類潛意識中根深蒂固的審美模式，對它的各種神奇的作用和魔力，數學上至今 還沒有明確的解釋，只是發(fā)現它屢屢在實際中發(fā)揮我們意想不到的作用。
不僅是藝術，在大自然、宇宙、甚至人體構造中，藝術中也存著的黃金比例。從低等的動植物到高等的人類，從數學到天文現象中，許多優(yōu)美的事物中，幾乎都暗含著這種比例結構。
在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。
黃金矩形：它的長寬比為1．618，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊于一點，過這個點，作一條直線垂直于較長邊，這時，生成的新矩形（不是那個正方形）仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重復，產生無數個黃金矩形。
這種長方形有許多奇怪的性質。從黃金長方形ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉，剩下的 CDEF 還是一個黃金長方形。用同樣的方法，可逐步去掉許多正方形而得到愈來愈小的黃金長方形，而黃金分割點F,H,I,J,K,L, … 都排在一個等角螺線上，螺線的心正好是兩虛線 AC 和 DE 的交點。
所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線。因為是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，也稱斐波那契螺旋線或黃金螺旋線。
這些發(fā)散曲線的螺旋角一般在137.5度，更為精確的數字應該是137.50776度，因為137.5=360-360*0.618，所以這個角度又被稱為黃金角度。
黃金角度 十分特別，是因為沒有任何360度的簡分數能加以表達；360度的5/8相當接近，8/13更為接近，13/21則算是最接近的了，但沒有任何一個分數能準確地表達出黃金角度跟360度的比例。
正五邊形的黃金比例特性：正五邊形內含五角星，五角星內含正五邊形，重重無盡。正五邊形的任一對角線與邊長的比為黃金比例。
五角星古人稱五芒星在許多文化中被看作是神圣而神奇的。五角星中線段的比率都符合黃金分割率，被作為美麗與完美的象征。
1、生命現象
率先使用斐波那契數列的，是法國數學家埃杜瓦爾·盧卡斯。從那時起，科學家開始注意到自然界中這樣的例子，譬如，向日葵花盤和松果的螺線、植物莖干上的幼芽分布、種子發(fā)育成形和動物犄角的生長定式。人類從胚胎、嬰兒、孩童到成年的發(fā)育規(guī)律，也遵循著黃金分割率。
羅馬在數學上，定義菲波那契數列的方法叫遞歸（Recursion），寶塔花椰菜是一個很明顯的遞歸例子。每一棵花椰菜，都是由形狀相同的小花椰菜組成的，而每一簇花椰菜又是由更小些的同形狀花椰菜組成的。
植物與黃金分割
植物葉子，千姿百態(tài)，生機盎然，盡管葉子形態(tài)隨種而異，但莖上的葉序是極有規(guī)律的。從植物莖的頂端向下看，上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°角．如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5°，以后二到三層，三到四層，四到五層……兩葉之間都成這個角度．植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。
這個137.5°角，藏有什么"密碼"呢？一周是360°，360°-137.5°=222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618．
葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618。
從分生組織長出來的新生部分，按這個固定的黃金角度相繼生長，新生部分就永不會跟任何已長成的部分朝同一方向生長。
各種植物葉子的生長規(guī)律中自然隱藏著黃金角度。
同樣在一片葉子中也有黃金分割的現象存在。主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為0.618。
例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段"休息"時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝"休息"，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與"休息"過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年"休息"。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規(guī)律，就是生物學上著名的"魯德維格定律"。
植物莖干上的幼芽分布、種子發(fā)育成形 和動物犄角的生長定式,遵循著黃金分割率。
葉片排列是沿對數螺旋上升，這也保證了葉與葉之間不會重合，下面的葉片正好在從上面葉片間漏下陽光的空隙地方，這是采光面積最大的排列方式?？梢?，沿對數螺旋按圓的黃金分割盤旋而生，是葉片排列的最優(yōu)良選擇。
葉、枝、花瓣也可以成螺旋式生長。
許多呈螺旋圖案的植物，花瓣數目往往是斐波那契數列中的數。有些人觀察到，毛茛的花有5塊花瓣，美洲血根草有8塊，柳蘭有13塊，紫菀有21塊，春白菊有34塊，美國紫菀則有55塊或89塊。在水果和蔬菜中也可以找到跟斐波那契數列有關的數字。例如，香蕉的橫切面是一個五邊形。
向日向日葵花盤和松果的螺線,遵循著黃金分割率。葵花有89個花辮，是斐波那契數列。
向日葵的花盤中有2組螺旋線，一組順時針方向盤繞，另一組則逆時針方向盤繞，并且彼此相嵌。 雖然不同的向日葵品種中，這些順逆螺旋的數目并不固定，但這每組數字都是斐波那契數列中相鄰的2個數。
鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工。
螺旋形鸚鵡螺身上的同心弧圈，每圈羅紋的直徑與相鄰羅紋直徑之比為"PHI.黃金分割。1.618."
黃金分割不是達芬奇發(fā)現，但是達芬奇將黃金分割運用在創(chuàng)作中，通過他的畫，后人可以發(fā)現，他發(fā)現了黃金分割最適合人體的比率。
維特魯威人是列奧納多達芬奇在1487年前后創(chuàng)作的世界著名素描。它是鋼筆和墨水繪制的手稿，規(guī)格為34.4 cm × 25.5 cm。根據約1500年前維特魯威在《建筑十書》中的描述，達芬奇努力繪出了完美比例的人體。這幅由鋼筆和墨水繪制的手稿，描繪了一個男人在同一位置上的"十"字型和"火"字型的姿態(tài)，并同時被分別嵌入到一個矩形和一個圓形當中。這幅畫有時也被稱作卡儂比例或男子比例。肚臍到地面的高度 = 1.618；肩膀到指尖的距離：肘關節(jié)到指尖的距離 = 1.618；臀部到地面的距離：膝蓋到地面的距離 = 1.618。
《達·芬奇密碼》的故事始于盧浮宮，終于盧浮宮。館長被謀殺，為了把他知道的重大秘密傳給后人，這位編制密碼的高手臨死前把自己的身體擺成了達·芬奇的畫作《維特魯威人》的樣子，并留下一行數字，兩行莫名其妙的詩句：
13-3-2-21-1-1-8-5
啊，嚴酷的魔王（O，Draconiandevil）
噢，瘸腿的圣徒（oh，lamesaint）
小說的男女主人公很快破譯了這個密碼，數字按升序排列后是數學史上著名的斐波那契數列，前兩個數相加等于相鄰的第三個數，而相鄰的兩個數相除約等于黃金分割的數字1.618；至于那兩句詩，將字母打亂重新排列后竟然是：列奧那多·達·芬奇（LeonardodaVinci）！蒙娜麗莎（TheMonaLisa）！
人體黃金分割是指人體經臍部，下、上部量高之比，小腿與大腿長度之比，前臂與上臂之比，以及雙肩與生殖器所組成的三角形等都符合黃金分割定律，即1：0.618的近似值。人體美學觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協調，才能稱得上一種完整的美。
穴位
人體的五大黃金穴位，都處于身體各部位的黃金分割點上，經常按摩五大黃金穴位最能養(yǎng)生。
人體最適應的溫度乃是用黃金分割率切割自身的溫度,因為人正常體溫是37.5度，它和0.618的乘積為23.175℃，在這一環(huán)境溫度中，機體的新陳代謝、生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)。在動物界，禽獸等高級溫動物的體溫介乎37--39℃，這一溫度正是水的液態(tài)范圍0100%，兩個黃金點（0.618）之一，即38%左右。
養(yǎng)生學家通過多年觀察發(fā)現，動和靜是一個0.618比例關系，大致四分動六分靜才是較佳養(yǎng)生之法。醫(yī)學專家分析后發(fā)現，飯吃六七成飽的人幾乎不生胃??；人的腦電波圖，若高低頻率比為1：0.618時，乃是身心最具快樂歡愉之感的時刻。
3，藝術與建筑
黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅。在很多藝術品以及建筑中都能找到它。埃及的金字塔，希臘雅典的巴特農神廟，印度的泰姬陵，世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔，加拿大多倫多電視塔，上海 的東方 明珠， 這些偉大杰作都有黃金分割的影子。
金字塔的幾何形狀有五個面，八個邊，總數為十三個層面。由任何一邊看入去，都可以看到三個層面。金字塔的長度為5813寸（5－8－13）。
圖為古希臘的巴特農神廟，它的高（紅色線）比底（藍色線）的比值為0.618（因為透視的緣故底邊顯得更短）。這樣的古代建筑會更顯宏偉壯觀
巴黎圣母院。正面高度和寬度的比例是8：5，它的每一扇窗戶長寬比例也是如此。
圖為東方明珠塔塔身高達468米，建筑的幾何組成上是十分單調的，完整的圓型或球形也因為在畫面中過于搶眼而常常被避諱。但建筑中多處運用了黃金分割的比例，使其協調美觀。如圖中的上球體高度（紅線）與整體高度（藍線）之比。
優(yōu)美動聽的琴音，是綜合了各種條件而得來的，貝多芬、莫扎特、巴赫、巴托克、德彪西、舒伯特等在他們的音樂里流淌著黃金分割的完美和諧。在樂章、節(jié)中、樂曲中的大小高潮大都處在樂曲的5：8的交叉點上。許多優(yōu)秀歌曲的高潮部分一般也會出現在黃金分割點上。這一點不僅在古典音樂中得到充分展示，在流行歌曲中也可以找到痕跡，許多歌曲的主歌和高潮部分，都落在這個神秘的點上。
鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程，其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成兩組，一組有兩個黑鍵，另一組有3個黑鍵，2、3、5、8、13恰好就是數學史上著名的斐波拉契數列中的前幾個數。
圖中顯示的是銀河系的斐波那契螺旋線，同樣也完美地符合"黃金螺旋"的形狀。
太陽系本身就是一條斐波那契螺線，形成以太陽為中心的渦旋。事實上，列昂納多曾有論述："與車輪不同的是，渦旋越趨中心速度越快。
地球上陸地面積與海洋面積的比值近似于黃金分割的比值；月球的平均密度是每立方厘米3.4克，地球的平均密度是每立方厘米5.5克，它們之比正好是0.618。地球的公轉周期是365天，金星的公轉周期是225天，兩星公轉之比也是0.618。根據計算得知：我們的太陽系，也正好在銀河系半徑的0.618處……0.618這個奇特的數字，終于在沖破了原來只有在幾何學中出現運用的范圍之后，又在很多領域體現出古希臘人寓意深遠的種種神秘。
北緯23，5度太陽回歸線恰好位于地球地軸的黃金分割點上，有不少自然奇觀與人文奇跡。有青藏高原，撒哈拉沙漠，美國的東部大平原，有世界上最深的海溝──馬里亞納海溝，有珠穆朗馬峰，有中國最長的長江。還有不少著名的自然風景區(qū)，如張家界、西雙版納、桂林、云南石林等。著名的能量異常區(qū)──百慕大三角區(qū)，有世界上最大的金字塔群。且此地帶是最繁茂的生物圈。
時空也是螺旋狀？星系中都可以發(fā)現黃金分割率的宇宙常數。l.618不僅與數學方面有關，還與物理、化學、生物有關，這一比率也在時空的拓撲結構中發(fā)現，決定了宇宙中特定事物的成形，最具說服力的例子是無處不在的對數螺線，影響著整個宇宙?！?/h3>研究人員稱，黃金分割率之所以無處不在，是因為它是彎曲時空的固有特性。這個論點令人信服。突出的例子有漩渦星系(M51)、卡特里娜颶風以及太陽系中行星、衛(wèi)星、小行星和行星環(huán)的分布。時代變遷，現在，不論是在時空還是在生物學的背景下，我們應該認識到相對論和量子論可以相結合，并且在數值上與一個數學常量的值相聯系。但是，我們還不知道為什么宇宙遵循這個規(guī)律。
