數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想方法
張優(yōu)輝
摘要: 全日制中學(xué)教學(xué)大綱指出，要重視能力的培養(yǎng)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、類比等重要的思想方法。在各種邏輯推理方法中，類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法。這是因?yàn)樗梢钥缭礁鱾€(gè)種類進(jìn)行不同類事物的類比，可以比較本質(zhì)的特征，也可以比較非本質(zhì)的特征，因而具有較強(qiáng)的探索和預(yù)測(cè)作用。根據(jù)學(xué)生的抽象邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型向理論型急劇轉(zhuǎn)化的心理特點(diǎn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比方法，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力
《普通中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）中在選修1－2和2－2中明確要求“能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單推理”，“類比是合情推理常用的思想方法”。近幾年的高考也大量出現(xiàn)類比題，引起了大家的關(guān)注和研究。類比可以開拓學(xué)生的視野，提高創(chuàng)新思維，通過類比的課堂教學(xué)也把課堂交給了學(xué)生。
素質(zhì)教育的目的是提高學(xué)生的思維能力和科學(xué)文化素質(zhì)。所以，我們應(yīng)摒棄“題型＋方法”的教學(xué)方式，自覺滲透類比推理的教學(xué)思想方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，提高他們的素養(yǎng)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力。
關(guān)鍵詞: 類比 推理 方法
一、類比的價(jià)值和意義
1.1．類比可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
通過類比可以探索出很多新的知識(shí)、方法，尋求出與眾不同的解題思路，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。由于類比是從特殊到特殊的一種猜測(cè)、推理，從一個(gè)已知的領(lǐng)域去探索另一個(gè)領(lǐng)域，而這正符合學(xué)生的好奇、去了解陌生世界的心理。這樣可以極大地激發(fā)出學(xué)生的興趣，讓學(xué)生去主動(dòng)地探索、研究新的知識(shí)。
1.2．通過類比得出新知
數(shù)學(xué)教材中，很多新的知識(shí)在很大程度上是在先前的知識(shí)上發(fā)展而來的，在方法、思想等方面都有著一定的聯(lián)系。一旦學(xué)習(xí)的主體發(fā)現(xiàn)了這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性，那么就可以利用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有效地學(xué)習(xí)新知識(shí)，同時(shí)也可以將先后的知識(shí)組成一個(gè)完整的體系。
1.3．通過類比提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力
高中數(shù)學(xué)課程提出應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)陌生的問題時(shí)，當(dāng)有了類比的意識(shí)，他會(huì)聯(lián)想一個(gè)在形式或方法上較為熟悉的問題來進(jìn)行類比。發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，架起橋梁，溝通知識(shí)與知識(shí)、方法與方法之間的關(guān)聯(lián)，激活學(xué)生的思維，從而去提高學(xué)生的思維能力。
1.4．類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要手段
類比就是一種大膽的合理的推理，它是創(chuàng)新的一種手段。因?yàn)橛辛祟惐?，在研究一個(gè)問題時(shí)，學(xué)生將跳出一定的框架，不受現(xiàn)有知識(shí)的約束，根據(jù)其中的思想方法、表現(xiàn)形式等去利用其他的知識(shí)、方法來大膽提出設(shè)想、來找到具有創(chuàng)新性的解題方法。
二、數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比形式分類：
2.1 同構(gòu)類比。
這是類比中的一種極端形式。同構(gòu)的意義是一個(gè)集合M和N之間的一一對(duì)應(yīng)f是一個(gè)對(duì)于代數(shù)運(yùn)算O和 來講的M和N之間的同構(gòu)對(duì)應(yīng)，假如在f之下，a∈M，b∈M，
如果在M、N之間，對(duì)代數(shù)運(yùn)算O和 ，M和N同構(gòu)，記為M@N。例如，坐標(biāo)平面上有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）所組成的集合X與平面上向Z的集合Y的對(duì)應(yīng)f：（x，y）→x+yi，那么X@Y。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，最常見的同構(gòu)類比就是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與圖像，代數(shù)與解析幾何等。
由兩點(diǎn)間的距離公式得幾何意義為點(diǎn)P（X，O）到點(diǎn)A（1，2）與點(diǎn)B（2，3）距離之和的最小值，利用同構(gòu)類比轉(zhuǎn)化如圖，根據(jù)幾何定理，|PA|+|PB|的最小值為A關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)A′（1，2）與點(diǎn)B的距離，
2.2 非同構(gòu)類比。
即從對(duì)象的某些屬性相同推出它們的其它屬性相同，這是高中數(shù)學(xué)中大量采用類比形式，常常又可分為：
2.21．相對(duì)概念的類比。
數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“類比就是一種相似。”把兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們相似的地方，從而推出這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的其它一些屬性也有類似的地方，這在教學(xué)中關(guān)于概念、性質(zhì)的教學(xué)是最常用的方法。
例如：高中立體幾何中“二面角的定義”，從模型引入二面角后可以從平面幾何角的概念，類比概括二面角的定義，見下表：
通過角的概念，由“平面«空間”、“點(diǎn)«線”、“線«面”進(jìn)行類比得出二面角的定義，既可減少二面角的教學(xué)難度，又可以使類比思維方法潛移默化地滲透于教學(xué)之中。
2.22．新舊知識(shí)的類比。
這是教材中安排得最多的類比內(nèi)容，在講授新知識(shí)的同時(shí)，經(jīng)常聯(lián)系舊知識(shí)，創(chuàng)造條件進(jìn)行類比，擴(kuò)展學(xué)生的思路，養(yǎng)成學(xué)生進(jìn)行類比推理的習(xí)慣。我們知道，平面幾何的基本元素是點(diǎn)和直線，而立體幾何的基本元素是點(diǎn)、直線和平面，如果我們建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)到空間中的點(diǎn)或直線，平面內(nèi)的直線對(duì)應(yīng)到空間中的直線或平面，那么把平面幾何某些定理中的點(diǎn)換作直線，或把線換作平面，就可以幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”一類相似的立體幾何定理。
通過這樣新舊知識(shí)的聯(lián)系來進(jìn)行類比，既有利于理解、掌握新知識(shí)，還能使舊知識(shí)得到鞏固，同時(shí)拓寬視野。
2.23、同類事物的類比。
所謂的同類事物是指這類對(duì)象具有相同的條件、結(jié)論、問題的形式、數(shù)學(xué)方法等。同類事物的類比能使學(xué)生從感性材料出發(fā)，認(rèn)識(shí)事物的數(shù)學(xué)特征，形成積極要求探索的心理狀態(tài)，引導(dǎo)探索一般結(jié)論，掌握從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，達(dá)到尋根探源的目的。
例如，講授重要不等式時(shí)，在推證：若 a＞0， b＞0， c＞0， d＞0，則a2+b2≥2ab
和a3+b3+c3≥3abc之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，使之認(rèn)清其相似特征：即不等式右邊的項(xiàng)的因數(shù)就是左邊各項(xiàng)的底數(shù)，不等式右邊項(xiàng)的系數(shù)，就是左邊的項(xiàng)數(shù)，這樣引起了學(xué)生思考，形成了要求繼續(xù)下探的心理狀態(tài)，于是設(shè)問：當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，呢？學(xué)生很快類比聯(lián)想得不等式a4+b4+c4+d4≥4abcd，順此繼續(xù)聯(lián)想類比，得出當(dāng)a1，a2，…an均大于0時(shí)，不等式a1n+a2n+…+ann≥na1a2……an也要成立。當(dāng)然類比只是一種猜測(cè)，還要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C才能成立。
關(guān)于類比，還要注意可能產(chǎn)生的負(fù)遷移，也就是要克服一些錯(cuò)誤的類比，如易混概念的類比，易混性質(zhì)的類比，從而準(zhǔn)確地掌握概念和性質(zhì)的本質(zhì)，有區(qū)別地認(rèn)識(shí)具有某種相似性的概念。
例2．若|4i+log0.5x|≥5，其中i2=-1，x∈R，求x的取值范圍。
錯(cuò)解：原不等式可化為4i+log0.5x≥5或4i+log0.5x≤-5……
這里受實(shí)數(shù)x， |x|≥a（a＞0）Ûx≥-a或x≤-a的影響而產(chǎn)生的負(fù)遷移。事實(shí)上，應(yīng)該先把問題實(shí)數(shù)化，
2.24、Zn=1ÞZ=1，（5）ax2+bx+C=0有實(shí)根Û△≥0。教學(xué)中，通過這些易混概念性質(zhì)的類比，既可糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，還可以使學(xué)生掌握類比的可行性、準(zhǔn)確性、局限性，從而科學(xué)地掌握運(yùn)用類比思維方法。
康德說過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這種方法往往能指引我們前進(jìn)。”因此只要學(xué)生學(xué)會(huì)了類比這個(gè)重要的思想方法，不僅能幫助他們理解和掌握新知識(shí)，而且還能提高他們的解題能力，促進(jìn)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。
三、類比的手段
3.1．通過類比“舊知”，構(gòu)建知識(shí)體系
按照《課標(biāo)》的要求教材是按照知識(shí)發(fā)展的順序來安排。知識(shí)和知識(shí)之間螺旋上升，構(gòu)成了完整的體系，知識(shí)之間也存在著思想方法等聯(lián)系，教學(xué)就是要利用這種聯(lián)系讓學(xué)生利用舊知來探索新知。
在講授等比數(shù)列時(shí)，先回憶等差數(shù)列中的相關(guān)知識(shí)：
定義：an＋1－an=d（d為常數(shù)），
通項(xiàng)公式：an=a1＋（n－1）d，
性質(zhì)：an=ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ；
若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，則ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ。
通過小組合作，回憶舊知的證明推導(dǎo)方法，來類比得到新知，得到結(jié)論，給出證明。
這種類比的方法可以廣泛地運(yùn)用，譬如，平面向量到空間向量的類比，平面解析幾何到立體幾何的類比等等。當(dāng)然不僅是知識(shí)體系的類比，也可以包括一些常見的結(jié)論，如平面向量中“若 且λ＋μ＝１，則P、A、B三點(diǎn)共線”，類比空間向量“若 且x＋y＋z＝１，則P、A、B、C四點(diǎn)共面”。
3.2．通過類比“方法”，領(lǐng)會(huì)其中思想
教師教學(xué)生，不僅是簡單地講解知識(shí)，不能僅滿足于讓學(xué)生模仿性地解題。更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思考的方法，分析問題的能力、遷移解題的能力。
定積分中求曲邊梯形的面積,步驟為“無限分割－以直代曲－求和－取極限”,核心為“以直代曲”。在同學(xué)們探討得出方法，理解思想方法之后，我給出思考題：“證明半球的體積為πR3”。同學(xué)們通過討論想出了分割的多種方法，①底面與圓面平行的若干圓柱；②底面與圓面垂直的若干小半圓柱；③圓錐。在討論中不斷克服困難，以高昂的斗志深化、鞏固了思想方法。
3.3．通過類比“形式”，發(fā)展創(chuàng)新思維
在解題的過程中應(yīng)要求學(xué)生不拘一格，以發(fā)散的思維來觀察分析問題形式。問題情境發(fā)生了根本性的變化，兩個(gè)對(duì)象在表面上毫無共同之處，但通過觀察、創(chuàng)造條件，使兩者存在共同點(diǎn)，這種類比不是一種簡單的模仿，而是一種創(chuàng)造性。
譬如：（1）已知函數(shù)f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求證：當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，|ax＋b|≤。
分析：由3a2＋4b2=12的形式聯(lián)想類比到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式 ＋ =1，
故設(shè)a=2cosθ，b=sinθ，
有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得證。
（2）解方程 ．
分析：觀察每個(gè)式子中都有一未知數(shù)為一次項(xiàng)，整理得
，觀察形式類比聯(lián)想到正切的二倍角公式，
設(shè)x=tanθ，θ∈（－ ，），則y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。
故有tanθ=tan8θ，
所以8θ=θ＋kπ，θ= ∈（－ ，），
即x=tan，y= tan ，z= tan ，k=0，±1，±2，±3。
四、培養(yǎng)學(xué)生類比意識(shí)的教學(xué)途徑
4.1．教師自身要有完善的知識(shí)體系和深厚的專業(yè)基本功
要想能順利地引導(dǎo)、組織學(xué)生去運(yùn)用類比的思想去發(fā)現(xiàn)新知和創(chuàng)新解題，教師作為組織者一定要具有完善的知識(shí)體系和深厚的專業(yè)基本功，否則怎能發(fā)現(xiàn)不同板塊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，怎能有效組織好類比教學(xué)，展示數(shù)學(xué)的內(nèi)在和諧美，展示數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性。因此在平時(shí)的鉆研中教師必須站在一定的高度去把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)、去研究透知識(shí)表象背后的思想方法，不能思維定勢(shì)地去思考問題，對(duì)問題能有自己獨(dú)到的見解，通過自身的努力夯實(shí)專業(yè)基本功。
4.2．經(jīng)常創(chuàng)設(shè)類比問題情境
要想培養(yǎng)學(xué)生的類比能力，教學(xué)中的類比問題情境顯得尤為重要。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要恰如其分地創(chuàng)設(shè)類比聯(lián)想的問題情境，暴露數(shù)學(xué)的思維過程，把每一個(gè)環(huán)節(jié)展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生觀察和類比?，F(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中，每章都有引人入勝的章頭圖，同時(shí)在很多小節(jié)中也有生活的實(shí)例，學(xué)生
4.3．實(shí)行變式教學(xué)
應(yīng)該說變式教學(xué)是中國教學(xué)中成功的環(huán)節(jié)，通過變式的教學(xué)讓學(xué)生分析、提煉出不同表象后面相同本質(zhì)的東西，通過長時(shí)間的潛移默化的影響培養(yǎng)學(xué)生分析問題的意識(shí)和能力，從而為進(jìn)一步的主動(dòng)類比提供可能。只有這樣學(xué)生才會(huì)在遇到新的問題時(shí)站在一定的高度去認(rèn)識(shí)、把握，才能有新的想法。
4.4．教學(xué)過程中注重知識(shí)的生成
通過教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已有的知識(shí)水平對(duì)類比能否順利實(shí)施開展起決定性作用，只有有了相關(guān)知識(shí)作為保障，才有“跳一跳摸得著”的可能。所以在平時(shí)的教學(xué)中要更多在學(xué)生的主體活動(dòng)中生成知識(shí)，教師作為一個(gè)組織者和引導(dǎo)者。讓學(xué)生在自主的活動(dòng)中感悟到其中的思想方法和內(nèi)在聯(lián)系，只有這樣學(xué)生才能在遇到新問題時(shí)浮現(xiàn)出已有的思想方法和不同知識(shí)形式來進(jìn)行類比。否則如果是教師的一味灌輸只能帶來僵硬的思維方式。
4.5．開展小組合作交流
考慮到中學(xué)生的思維的不成熟性、不完善性，類比教學(xué)有時(shí)對(duì)學(xué)生的要求可能相對(duì)較高，憑一己自力可能難以在短時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系去達(dá)成目標(biāo)。所以在課堂教學(xué)中可適時(shí)采用小組合作探究式，俗話說“三個(gè)臭皮匠頂上一個(gè)諸葛亮”。通過合理搭配小組的構(gòu)成，營造輕松的研討氛圍，讓平時(shí)思維不活躍的學(xué)生有勇于表現(xiàn)自己、展示自己的機(jī)會(huì)，通過小組的合作去提出問題、解決問題、構(gòu)建知識(shí)。在通過展示成果的方式讓學(xué)生的主體活動(dòng)充斥著課堂，去批判地接受新知的生成。
五、類比教學(xué)中的注意點(diǎn)
5.1． 知識(shí)、方法的可類比性
教師在組織學(xué)生以類比的方式來學(xué)習(xí)探究新知的時(shí)候一定要注意所給材料和要探究知識(shí)之間一定要存在著形式、方法或思想等方面的聯(lián)系，不能讓學(xué)生的類比活動(dòng)毫無頭緒，變成無方向的一種所謂的探究，而不是真正意義上的類比。譬如學(xué)生可以用類比的思想利用等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)來推導(dǎo)等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，但你不能要求學(xué)生利用等差數(shù)列的求和方法來類比探究等比數(shù)列的求和方法。
5.2． 類比中的科學(xué)性
類比雖然是一種大膽的猜想，但類比不能僅滿足于猜想，停留在猜想到的東西，還要進(jìn)行科學(xué)性的驗(yàn)證。筆者在一次復(fù)習(xí)教學(xué)中安排了以下看似相關(guān)的兩道題，
（1）在橢圓x2＋8y2=8上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l：x－y＋4=0的距離最小。
分析：把點(diǎn)與直線的距離轉(zhuǎn)移為兩平行線之間的距離。
設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線為y=x＋m，聯(lián)立得9x2＋16mx＋8m2－8=0，
通過△=0結(jié)合圖象得m=3，從而得到最短距離和切點(diǎn)坐標(biāo)（即為P點(diǎn)）。
（2）求橢圓x2＋4y2= 4上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，5）的最大距離。
學(xué)生用類比的思想，想到以（0，5）為圓心作圓，設(shè)方程為x2＋（y－5）2=r2，利用圓和橢圓的相切聯(lián)立求出r2= ，即最大距離為 。
可以看出學(xué)生類比其中相切的思想方法，求出了最大距離，感覺一氣呵成。但細(xì)細(xì)一想，若求最短距離，利用同樣的方法仍然只能求出r2= ，出現(xiàn)了問題。
分析原因，由于在圓錐曲線中x和y有了范圍，所以相切只要求聯(lián)立后的方程只有一解，一個(gè)符合范圍的解，而不一定△=0，所以此處的類比由于范圍的原因而不具有可類比性，出現(xiàn)了問題。
只有我們意識(shí)到類比的教育教學(xué)價(jià)值，通過類比的教學(xué)方法去展示數(shù)學(xué)的知識(shí)，才能讓學(xué)生拓展視野，以極大的熱情去研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)世界的和諧統(tǒng)一，才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)化
六 數(shù)學(xué)思維中類比能力培養(yǎng)
6.1.類比推理及其特性
類比的方法是以兩個(gè)對(duì)象之間的類似為基礎(chǔ)的。G·波利亞說：“兩個(gè)系統(tǒng)可作類比，如果它們各自的部分之間，在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致的話。”
例1：平面上的一個(gè)三角形可與空間的一個(gè)四面體類比。如：Rt△ABC中斜邊上高為h，則(1/a2)＋(1/b2)=1/h2，而在四面體S－ABC中，SA、SB、SC兩兩互相垂直，SA=a，SB=b，SC=c，頂點(diǎn)S到底面ABC的距離為h，則有(1/a2)＋(1/b2)＋(1/c2)=1/h2。直角三角形與直角“三棱錐”類比、直角邊與側(cè)棱類比、斜邊與底面類比、斜邊上的高與頂點(diǎn)到底面距離類比，于是，結(jié)論就可以類比。
可見，運(yùn)用類比方法的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間的“相似”。
類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理。應(yīng)用類比推理可以在兩個(gè)不同知識(shí)領(lǐng)域之間實(shí)行知識(shí)的過渡，因此，人們常常把類比方法譽(yù)為理智的橋梁，是信息轉(zhuǎn)移的橋梁。經(jīng)常有這樣的情況：長時(shí)間沉思于某一問題而未得解決，然而在某一時(shí)刻，在其沉思圈子之外有一個(gè)信息倒起了很大的啟發(fā)作用，觸發(fā)信息的過渡，使問題得以解決。這往往得益于類比。正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)。”[2]特別是研究立體幾何時(shí)，往往會(huì)得益于平面幾何中的類比問題。
類比的特征是：兩個(gè)對(duì)象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點(diǎn)上或某一抽象層次上是相似的，它的結(jié)論不是簡單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性設(shè)想。
因此，我們?cè)诮虒W(xué)過程中，要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行直覺思維能力的訓(xùn)練，著重訓(xùn)練學(xué)生的類比歸納猜想能力。
6.2.數(shù)學(xué)活動(dòng)中的類比
G·波利亞說：“類比是一個(gè)偉大的引路人”。[1]類比在科學(xué)創(chuàng)造的發(fā)明與發(fā)現(xiàn)中有著十分廣泛的應(yīng)用。毫不例外，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)中的類比著眼于兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之間在空間形式與數(shù)量關(guān)系的相似。
從表面上看：似乎超出大綱。其實(shí)，只要運(yùn)用類比推理，問題就不難解決；將其與y=sin(X－1)進(jìn)行類比就可發(fā)現(xiàn)：H(X－1)的圖象，也可由H(X)的圖象平移得到。
在解題過程中，尋找解題的突破口，優(yōu)化解題方法，往往都離不開類比聯(lián)想。
例2，已知H(X)=
0當(dāng)X≤0時(shí)，
1當(dāng)X>0時(shí)，畫函數(shù)y=H(X－1)的圖象。
(84年全國高考題)
例3，已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=I,b1＋b2＋…＋b10=145。
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)；
第(Ⅱ)題轉(zhuǎn)化后涉及證明如下不等式：對(duì)于通項(xiàng)是假分?jǐn)?shù)，可以與課本《代數(shù)》(下冊(cè))P12
可見，解題活動(dòng)中的種種念頭的產(chǎn)生是依賴于解題者類比聯(lián)想能力，但解題者要正確對(duì)待解題過程中失敗的念頭，從中查找原因，進(jìn)行新的類比，使之接近正確的方向。
為此，G·波利亞說：“類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”。[1]不論在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)，或者任何別的學(xué)科中的發(fā)現(xiàn)，恐怕都不能沒有這些思考過程，特別是不能沒有類比。所以，我們?cè)跀?shù)學(xué)過程中應(yīng)自覺滲透類比教學(xué)思想方法，提高學(xué)生的研究數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)性性能力。
6.3.培養(yǎng)學(xué)生類比能力的措施
鑒于類比在科學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明及數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要作用，那么如何培養(yǎng)學(xué)生的類比能力呢?
6.31.創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)類比興趣
“興趣”是最好的老師。濃厚的興趣和強(qiáng)烈的求知欲望是學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境是激發(fā)學(xué)生興趣的有效方法。
在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)多介紹一些大科學(xué)家的類比實(shí)例，介紹類比在科學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)中的重大作用，形成良好的氛圍。如計(jì)算機(jī)的誕生、飛機(jī)制造的歷史、伽利略的拋物實(shí)驗(yàn)、楊振寧的“場(chǎng)論”等等一系列重大發(fā)明發(fā)現(xiàn)。繼而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在平時(shí)解題活動(dòng)中也有一系列的類比，這樣激勵(lì)學(xué)生大膽類比，猜想發(fā)現(xiàn)，最后論證。
6.32改革教學(xué)方法，增強(qiáng)類比意識(shí)
“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程”[3]是一種“具體化”和“同化”的過程。教師應(yīng)將自己的“再創(chuàng)造”為學(xué)生展現(xiàn)出“活生生”的思維活動(dòng)，從而幫助每一個(gè)學(xué)生最終相對(duì)獨(dú)立地去完成數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)活動(dòng)。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該通過自己的教學(xué)使學(xué)生受到強(qiáng)烈的感染，從而激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)意識(shí)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)在樂趣。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞和追求，因?yàn)閷?duì)于美的鑒賞正是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的有效手段。
例5：“空間兩平面平行的性質(zhì)定理”的教學(xué)時(shí)，師生共同回顧平面平行的定義及初中平面幾何中線線平行的性質(zhì)：
激勵(lì)學(xué)生運(yùn)用類比聯(lián)想，大膽猜想，得出兩平面平行的性質(zhì)。學(xué)生展開激烈的辯論，課堂氣氛異?；钴S，學(xué)生踴躍發(fā)言，情緒高漲，興趣盎然，結(jié)果提出十六種方案。這時(shí)教者指出，類比的結(jié)果是否正確，要經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)。于是學(xué)生各自證明這些結(jié)論或舉反例加以說明，最后僅有九種正確結(jié)論，如下諸圖：
這種民主的教學(xué)方式，不僅使學(xué)生品嘗到類比成功的歡愉，而且也使其受到美的韻味的薰陶，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的鑒賞和探索精神，增強(qiáng)學(xué)生的類比意識(shí)，使其學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。
6.33運(yùn)用成功機(jī)制，提高類比能力
科學(xué)的類比可以使我們的結(jié)論更加接近真理，類比猜想可以豐富人們直覺思維中的“知識(shí)組塊”，訓(xùn)練人們的直覺類比能力。所以加強(qiáng)類比的教學(xué)不僅能培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和創(chuàng)造思維的能力，而且更重要的是能提高學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)造力。
固然，歐拉從有限到無限的類比使他獲得了極大的成功，然而這并不意味著類比總是可靠的。類比既具有引導(dǎo)我們走向成功的一面，也有能把人們引入歧途的一面。因此，我們必須以科學(xué)的態(tài)度對(duì)待類比，既要大膽地使用類比，又要嚴(yán)格證明。
例6：實(shí)數(shù)列{an}(n∈N)若(a21＋a22＋…＋a2n－1)·(a22＋a23＋…＋a2n)=(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，求證：{an}為等比數(shù)列(96年江蘇省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
分析：類比能力較強(qiáng)的學(xué)生，聯(lián)想到柯西不等式的形成過程；于是將條件與二次函數(shù)f(X)=(a1X－a2)2＋(a2X－a3)2
?。?/span>(a3X－a4)2＋…＋(an－1X－an)2進(jìn)行類比。展開合并后，運(yùn)用判別式△≤0的方法，使問題得以解決。
類比成功的原因是他們由已知條件與柯西不等式的形式相似，大膽地將其進(jìn)行類比，采用了柯西不等式的證明方法。
結(jié)束語：
數(shù)學(xué)是一門與思維聯(lián)系密切的科學(xué)。人們之所以把數(shù)學(xué)看成思維的體操,就是因?yàn)橥ㄟ^數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以鍛煉人的思維能力, 而數(shù)學(xué)思維能力在人的思維能力中占有著十分重要的地位和作用。數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在就于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
對(duì)比與類比是數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中常用的兩種邏輯思維方法。它不象數(shù)學(xué)知識(shí)如概念、定理、公式等明顯地寫地教科書上,它是無形的東西,往往被忽視。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,若能注意介紹類比的方法, 并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用, 不僅有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理和數(shù)學(xué)解題方法的深入理解,亦可促進(jìn)學(xué)生在論證和解題中發(fā)現(xiàn)一些新的方法,有助于學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力。
巨大的科學(xué)發(fā)明需要有較強(qiáng)的類比能力，而較強(qiáng)的類比能力正基于猜想與證明的有機(jī)結(jié)合。對(duì)類比的各種狀態(tài)要給予嚴(yán)格論證，還要捕捉各種類比念頭，抓住兩系統(tǒng)間的相似之處，利用類比這座雄偉的橋梁，將信息不斷地過渡，并不斷地證明，使其科學(xué)化，從而使學(xué)生的創(chuàng)造力不斷地在類比成功中得到升華。
主要參考文獻(xiàn)：
[1].波利亞著：數(shù)學(xué)與猜想·科學(xué)出版社·1984
[2].劉云章等：數(shù)學(xué)解題思維策略·湖南教育出版社·1992
[3].徐利治、鄭毓信、朱梧木賈等：數(shù)學(xué)方法論教程·江蘇教育出版社·1992
[4]呂傳漢. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法[M] . 北京:高等教育出版社.
[5] 王仲春. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M] . 北京:高等教育出版社.
[6] 龐之坦. 常用數(shù)學(xué)解題思維方法[M] . 重慶:重慶大學(xué)出版社.
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