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1.2計(jì)算機(jī)中信息的表示

數(shù)據(jù)是人類能夠識(shí)別或計(jì)算機(jī)能夠處理的某種符號(hào)的集合，包括數(shù)字、文字、聲音、圖像等，經(jīng)過加工處理后用于人們制定決策或具體應(yīng)用的數(shù)據(jù)稱做信息。信息的表示有兩種形態(tài)：一種是人類可識(shí)別和理解的信息形態(tài)；一種是計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別和理解的信息形態(tài)。由于計(jì)算機(jī)硬件是由電子元器件組成的，而電子元器件大多都有兩種穩(wěn)定的工作狀態(tài)，可以很方便地用來表示“0”和“1”。因而在計(jì)算機(jī)內(nèi)部普遍采用“0”和“1”表示的二進(jìn)制，這就使得通過輸入設(shè)備輸入到計(jì)算機(jī)中的任何信息，都必須轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的表示形式，才能被計(jì)算機(jī)硬件所識(shí)別。

1.2.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

要掌握進(jìn)位計(jì)數(shù)制，必須先掌握數(shù)碼、基數(shù)、進(jìn)位計(jì)數(shù)制、位權(quán)的概念。下面以十進(jìn)制為例，來介紹上述概念。

(1)組成十進(jìn)制數(shù)的0～9這些數(shù)字符號(hào)稱為數(shù)碼。

(2)全部數(shù)碼的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)。十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為10。

(3)用“逢基數(shù)進(jìn)位”的原則進(jìn)行計(jì)數(shù)，稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制。十進(jìn)制的計(jì)數(shù)原則是“逢十進(jìn)一”。

(4)進(jìn)位后的數(shù)字，按其所在位置的前后，將代表不同的數(shù)值，表示各位有不同的“位權(quán)”。十進(jìn)制數(shù)個(gè)位的“1”，代表1，即個(gè)位的位權(quán)是1；十位的“1”，代表10，即十位的位權(quán)是10；百位的“1”，代表100，即百位的位權(quán)是100，依次類推，位權(quán)與基數(shù)的關(guān)系是：位權(quán)的值等于基數(shù)的若干次冪。

例如：十進(jìn)制數(shù)346.7可以展開成下面的多項(xiàng)式：346.7=3×10²+4×10¹+6×10⁰+7×10^-1，式中10²、10¹、10⁰、10^-1即為該位的位權(quán)，每一位上的數(shù)碼與該位權(quán)的乘積，就是該位的數(shù)值。任何一種數(shù)制表示的數(shù)都可以寫成按位權(quán)展開的多項(xiàng)式之和，一般形式為：N=d_n-1b^n-1+d_n-2b^n-2+d_n-3b^n-3+…+d_-mb^-m

式中：n----整數(shù)的總位數(shù)

　　　m---小數(shù)的總位數(shù)　　

      d_{下標(biāo)}---該位的數(shù)碼

      b----基數(shù)

      b^{上標(biāo)}---位權(quán)

1.2.2常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制及書寫規(guī)則

1、計(jì)算機(jī)中常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制有：二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制，其數(shù)碼如下：

二進(jìn)制：0、1

八進(jìn)制：0、1、2、3、4、5、6、7

十進(jìn)制：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

十六進(jìn)制：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

2、書寫規(guī)則有兩種：在數(shù)字后面加英文標(biāo)識(shí)，或在括號(hào)外面加數(shù)字下標(biāo)。

(1)在數(shù)字后面加英文標(biāo)識(shí)

B（Binary）：表示二進(jìn)制數(shù)。如，二進(jìn)制數(shù)500可寫成500B。

O（Octonary）：表示八進(jìn)制數(shù)。如，八進(jìn)制數(shù)500可寫成500O。

D（Decimal）：表示十進(jìn)制數(shù)。如，十進(jìn)制數(shù)500可寫成500D。一般約定D可省去不寫，即無(wú)后綴的數(shù)字為十進(jìn)制數(shù)。

H（Hexadecimal）：表示十六進(jìn)制數(shù)。如，十六進(jìn)制數(shù)500可寫成500H。

(2)在括號(hào)外面加數(shù)字下標(biāo)

（1001）₂：表示二進(jìn)制數(shù)1001。

（3423）₈：表示八進(jìn)制數(shù)3423。

（5679）₁₀：表示十進(jìn)制數(shù)5679。

（3FE5）₁₆：表示十六進(jìn)制數(shù)3FE5。

3、進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

（1）非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)

轉(zhuǎn)換方法：將要轉(zhuǎn)換的非十進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)字與它的位權(quán)相乘，其積相加，和數(shù)就是十進(jìn)制數(shù)。

例：（101101.11）₂=1×2⁵+0×2⁴+1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰+1×2^-1+1×2^-2=32+0+8+4+0+1+0.5+0.25=（45.75）₁₀

（123.4）₈=1×8²+2×8¹+3×8⁰+4×8^-1=64+16+3+0.5=（83.5）₁₀

（5F.A）₁₆=5×16¹+15×16⁰+10×16^-1=80+15+0.0625=（95.0625）₁₀

（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)

轉(zhuǎn)換方法：將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制數(shù)時(shí)，可將此數(shù)分成整數(shù)與小數(shù)兩部分分別轉(zhuǎn)換，然后再拼接起來即可。

整數(shù)部分轉(zhuǎn)換：將十進(jìn)制整數(shù)連續(xù)除以非十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，并將所得余數(shù)保留下來，直到商為0，然后用“倒數(shù)”的方式（第一次相除所得余數(shù)為最低位，最后一次相除所得余數(shù)為最高位），將各次相除所得余數(shù)組合起來即為所要求的結(jié)果。此法稱為“除以基數(shù)倒取余法”。

小數(shù)部分轉(zhuǎn)換：將十進(jìn)制小數(shù)連續(xù)乘以非十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，并將每次相乘后所得的整數(shù)保留下來，直到小數(shù)部分為0或已滿足精確度要求為止，然后將每次相乘所得的整數(shù)部分按先后順序（第一次相乘所得整數(shù)部分為最高值，最后一次相乘所得的整數(shù)部分為最低值）組合起來。

例：將（25.6875）₁₀轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

整數(shù)部分轉(zhuǎn)換如下：

2              25           余數(shù)

2            12            1         二進(jìn)制整數(shù)低位             

2           6            0

2         3            0

2       1            1

      0            1         二進(jìn)制整數(shù)高位

整數(shù)部分為（11001）₂

小數(shù)部分轉(zhuǎn)換如下：        

0.6875

        ×）    2

    1.3750…………..1         二進(jìn)制小數(shù)高位

0.3750

×）    2

0.7500…………..0

0.7500

×)     2

1.5000……………1

0.5000

×)     2

         1.0000……………1        二進(jìn)制小數(shù)低位

小數(shù)部分為：（0.1011）₂

將整數(shù)部分與小數(shù)部分組合起來，即：（25.6875）₁₀=（11001.1011）₂

說明：

a.十進(jìn)制純小數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，若遇到轉(zhuǎn)換過程無(wú)窮盡時(shí)，應(yīng)根據(jù)精度的要求確定保留幾位小數(shù)，以得到一個(gè)近似值。

b.十進(jìn)制與八進(jìn)制、十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換方法和十進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法相同，這里不再舉例。

（3）二、八、十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換

a.二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，由于一位八進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)三位二進(jìn)制數(shù)，因此轉(zhuǎn)換方法如下：

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為界，分別向左、向右每三位分為一組，不足三位時(shí)用0補(bǔ)足（整數(shù)在高位補(bǔ)0，小數(shù)在低位補(bǔ)0），然后將每組三位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)。

例：將（1011010.1）₂轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)

001 011 010.100

 1  3   2   4   （1011010.1）₂=(132.4)₈

八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：按原數(shù)位的順序，將每位八進(jìn)制數(shù)等值轉(zhuǎn)換成三位二進(jìn)制數(shù)。

 例：將八進(jìn)制數(shù)（756.3）₈轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

     7     5     6  .    3

111   101    110    011     （756.3）₈=（111101110.011）₂

b.二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換：由于一位十六進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)四位二進(jìn)制數(shù)，因而轉(zhuǎn)換方法如下：

二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為界，分別向左、向右每四位分為一組，不足四位時(shí)用0補(bǔ)足（整數(shù)在高位補(bǔ)0，小數(shù)在低位補(bǔ)0），然后將每組的四位二進(jìn)制數(shù)等值轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。

  例：將二進(jìn)制數(shù)（1100111001.001011）₂轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。

0011  0011 1001.0010 1100

3     3    9   2   C             （1100111001.001011）₂=（339.2C）₁₆

十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：按原數(shù)位的順序，將每位十六進(jìn)制數(shù)等值轉(zhuǎn)換成四位二進(jìn)制數(shù)。

例：將（AB3.57）₁₆轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)

A    B     3  .   5   7

1010 1011  0011  0101  0111

（AB3.57）₁₆=（101010110011.01010111）₂