一、“猜想—驗證—結論”教學方式中存在的問題
新課程推廣以來，我們的數學課堂發(fā)生了翻天覆地的變化。教師們認識到了提高學生的數學學習能力遠比單一掌握數學知識來得重要。學生的數學學習能力提高了則能融會貫通，為學生的終身學習服務；反之，僅僅掌握數學知識，充其量只能是“死讀書”，思維得不到真正的發(fā)展?；谶@樣的認識，教師們開始在教學中進行新的嘗試，改過去“灌輸式”的教學為“啟發(fā)式”的教學，提倡讓學生在“猜想—驗證—結論”中發(fā)展數學學習能力。但是，教師們在運用“猜想—驗證—結論”這種教學方式的教學實踐中，往往會存在以下諸多問題。
?。ㄒ唬┕詮?，形式主義
我們常?？吹剑簽榱俗岊I導能聽到具有“新課程”特色的好課，學校教師會在一起認真集體備課，討論如何運用新課程所提倡的教學方式來進行教學，但是，領導一走，往往又會回到傳統(tǒng)教學的老樣子，碰到具有一定挑戰(zhàn)性的教學內容時，教師往往不敢嘗試，過于受課時和傳統(tǒng)思想的束縛，又把學生帶進了題海訓練營，一味地強調練習。由此可見，我們的教師還有著比較強的功利思想，沒有真正做到抓住一切機會提高學生的“探究性學習”能力，培養(yǎng)學生的數學思維。
同時，我們對新課程理念的實踐還僅表現在形式上。一到上公開課，教師首先開始挑選教學內容，選擇那些要能組織小組活動的，要能讓學生進行動手操作的，要能運用“猜想—驗證—結論”這一思維模式的教學內容，好像只有這樣，我們的課堂才體現了新課程理念。反之，一旦規(guī)定公開課上計算課、概念課等，教師便唉聲嘆氣。這也說明部分教師還沒有挖掘所有教學內容中蘊涵的數學思維方法，僅僅從表面來體現新課程。
?。ǘ┚心嘤诔淌?，未能深究
五年級的數學課堂，正在學習“商不變規(guī)律”，也就是“被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變”。執(zhí)教的是位非常年輕的優(yōu)秀教師。應該說，這位教師對于新課程理念的掌握和實踐都比較到位。在她的課堂中，經常可以看到學生動手實踐，自主探究；經?？梢月牭浇處焼l(fā)學生思考、自主驗證，引導學生得出結論。
這不，這位教師開課，學校大部分數學教師都來聽了。教師正指著“504÷18=28”提問學生：如果被除數504和除數18同時縮小10倍，商會怎樣呢？這下學生來勁了，因為這位教師在課堂上經常鼓勵學生大膽猜想，所以學生的膽子也比較大，也敢于猜想。第一個學生說“商也會縮小10倍，變成2.8”，教師搖了搖頭；第二位學生說“商會擴大10倍，變成280”，教師又搖了搖頭；第三位學生說“商會縮小20倍，變成1.4”，教師皺了皺眉頭；第四位學生說“商會擴大20倍，變成560”，教師的眉頭緊縮了……連續(xù)六位同學都沒答對，有學生開始動手計算了，教師趕緊指正說要獨立猜想，不能計算，于是學生開始不知道怎么辦了。教師連忙運用教學機智，“笑”著說：“你們怎么不敢猜商會不變還是28呢？”這下聰明的同學趕緊附和，“是的是的，我就是這樣想的”。于是教師鼓勵學生今后要大膽猜想，接著說這只是同學們的猜想，讓學生進行計算再驗證其他算式，最后幫助學生得出結論：“被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變”。
類似這樣的教學場景在學校教學實踐中可能并不少見。由于受年齡特點和經驗的約束，學生的能力未達到足夠水平，所以他們猜不出來。這時教師腦子中一味想著“猜想”這一環(huán)節(jié)，讓學生一個接一個猜，未做任何引導和提示?？墒钱斶B續(xù)幾個學生都猜不出來時，教師索性“幫”著學生猜，把自己的思想強加于學生，把教師的結論硬當作學生的“猜想”。
是不是學生猜不出來也得猜呢？是不是猜想就是不需要教師點撥完全放任學生天馬行空地猜呢？“猜想—驗證—結論”是不是一套固定模式，三個過程缺一不可呢？同時“計算結果”這一步驟能稱之為驗證嗎？究竟什么才是驗證呢？根據一個算式就能得出一個科學的結論嗎？如果結論的得到這么容易，還能稱之為科學的具有挑戰(zhàn)性的數學思維方法嗎？另外我們經?？吹綄W生在得出結論的過程中，想當然地就把猜想重復一遍，根本沒有經過任何思考。
從這些情況中我們可以看到，我們教師在實踐過程中過于強調“猜想、驗證、結論”這三個詞語，而沒有深入研究這三個詞語的內涵，以至于學生在運用這一過程時僅僅停留在表面，這是值得我們反思的。
?。ㄈ┤鄙偎伎迹昂聻E證”
一年級學生初學加法。書上畫了一副圖：池塘里有3只小鴨子，岸上有2只小鴨子。教師讓學生說說從圖上了解了哪些信息。一個學生說“池塘里有3只小鴨子，又來了2只小鴨子”；另一個學生說“原來池塘里有5只小鴨子，走了2只小鴨子”。由于學生還沒有學過減法，這是一節(jié)加法的課，于是教師肯定了第一個學生的想法，這下班級里很多學生不同意了。教師靈機一動：剛才的結論只是同學們的猜想，還要同學們驗證，怎樣驗證呢？就是雙方各說理由。這下熱鬧了，全班開始了小小辯論會，一節(jié)課結束，所謂的結論還沒有出來。
二年級的一節(jié)計算課，教學三位數加三位數，例題是“309＋478”。教師先讓學生猜結果會是多少，“746，982，349……”各種結果滿天飛，學生猜得不亦樂乎。教師并未對估算的方法進行提煉，而是告訴學生這是他們的猜想，要他們進行驗證，比一比誰的結果最接近正確答案。那怎么驗證呢？就是運用豎式計算。當學生通過豎式計算出正確答案787后，教師又告訴學生這個787就是學生們得出的結論……
究竟池塘里的小鴨子是游來還是游走的？教師靈機一動，引導學生運用辯論這一方法進行驗證。表面很熱鬧，但這是驗證嗎？需要驗證嗎？這里的熱鬧能為學生的數學學習服務嗎？“309＋478”的結果是多少？學生猜想了，也出現了各種答案，但猜想是不是就是“濫猜”？這樣的猜想能提高學生的數學猜想水平嗎？
在我們的課堂教學中，教師們大膽鼓勵學生猜想，但是有沒有選擇合適的內容引導學生猜想呢？是不是所有的教學內容都適合引導學生猜想驗證呢？答案是否定的。這需要我們教師進行思考，有選擇地挑選合適的教學內容，有針對性地引導學生猜想驗證，該用時則用，不該用時千萬不用，否則學生對于“猜想—驗證—結論”這一方法的掌握會僅僅停留在表面，對其實質沒有深入了解。這樣長久下去，對學生數學學習的負面影響是很大的。
?。ㄋ模o視學情，隨意實施
四年級“找規(guī)律”這一單元，尋找間隔排列中的規(guī)律。教師提問：“10個學生按照一個男生、一個女生、一個男生……這樣的規(guī)律排成一行，里面有多少個男生，多少個女生?！睂W生立刻答出來是“5個男生5個女生”，有的學生說想想就知道了，有的學生說畫個圖就能解決……全班沒有一個學生說不理解。但教師告訴學生雖然每個人都認為是“5個男生5個女生”，但這只是他們的猜想，要驗證。于是叫了10個學生按照要求排了一列，最后得出了結論。
對于這種全班學生都很容易知道答案的學習內容，還有必要向學生強調：這不是答案而是他們的猜想，需要進行驗證嗎？這里的驗證無視了學生的興趣和需求，浪費了課堂教學時間，降低了課堂教學效率。在我們的教學中，經常會見到這樣的情形。如：學生知道了結論，還讓他們驗證；學生需要通過初步的計算才能進行合理的猜想，可教師偏不允許計算；過于簡單的內容，讓學生猜想，過于復雜的內容，也讓學生猜想……這樣的教學過程不尊重學生的興趣和需求，最后只能是教師讓干什么學生就干什么，學生像機器一樣，沒有自己的選擇，也體會不到數學學習的快樂。我們在運用“猜想—驗證—結論”這一思維方式時一定要考慮學生的學情和自主性，同時還要針對學生在學習過程中出現的問題靈活調控和生成。
二、有效實施“猜想—驗證—結論”教學方式的策略
（一）明晰“猜想”、“驗證”、“結論”的內涵
是不是“想象”就等于猜想呢？心理學表明，“猜想”是“想象”的一種，是一種比較科學的研究方法?！靶▲喿邮怯芜^來還是游走？”這依賴于孩子的看圖想象能力，不是猜想過程?！?09＋478的和是多少？”這是培養(yǎng)孩子的估算能力，也不能歸為猜想?！?0個學生間隔排列，分別有多少男生和女生？”學生已經清楚了答案，這是結論，也不是猜想。那究竟什么時候需要猜想，怎樣的過程才被稱為猜想過程呢？“被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商會怎樣？”“是不是所有的乘法算式中，交換兩個乘數的位置，積不變？”……這些時候都需要學生合理地猜想，學生開動腦子，大膽提出假設，這就是一個猜想過程。不是所有的數學學習都需要學生進行猜想的。
那科學的“驗證”過程又是怎樣的呢？用豎式計算一個算式、學生對答案非?？隙诉€要回頭演示驗證過程、僅僅用嘴巴進行辯論……這些都不能稱為一個完整的、科學的“驗證”過程。相反，在推導運算律時，引導學生列出一個個算式，尋找反例；在解決證明題時，學生根據已有知識不斷推導證明……這些嚴謹的過程才是驗證。只有需要驗證時才讓學生花大力氣進行驗證，驗證是為得出結論服務的，與結論緊密結合的。如果僅僅停留于表面形式，任何場合都照樣子畫葫蘆，那充其量只能稱為“偽驗證”、“形式驗證”，起不到真正的作用。另外要讓學生意識到驗證的“殘酷本質”：驗證有可能證明猜想是對的，也有可能反駁猜想。
結論的得出必須是科學的。結論也必須是具有一定挑戰(zhàn)性的。僅僅得到一個算式的結果不能稱之為一個結論。同時要引導學生在得出結論的過程中反思整個過程，結論不一定就是之前的猜想，也可能與猜想對立。否則，如果結論一味與猜想吻合，就會給學生帶來負遷移：猜想總歸是正確的，又何必浪費時間驗證呢？
?。ǘ┰凇安孪搿钡倪^程中，要指導學生合理猜想
前面已經提到過了，猜想不是天馬行空地亂想。數學的猜想必須是有一定的科學依據，有一定的針對性的。否則亂想一次，就用大力氣進行驗證，再亂想一次，再驗證……不斷重復，這中間會帶來多少時間和精力的浪費？
合理的猜想必須是有依據的，要引導學生在猜想之前，先經過仔細思考，合理推導，大膽又不失慎重地提出自己的合理猜想，然后再進行驗證。如上面的課例中，教師讓學生猜想“被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商會怎樣”這一教學過程中，不應僅僅讓學生站起來一個回答一個，不斷重復；相反，教師要追問學生為什么會得到這樣的猜想，有什么依據，他是怎樣思考的，然后引導其他同學進行討論。在這一過程中，教師也可以不斷點撥、指導，幫助學生調整思路。那么，在這樣的過程中，一些沒有根據的“猜想”便會不攻自破，學生也會在這樣的過程中逐漸意識到猜想不是胡思亂想，一定要建立在深思熟慮的基礎上，要進行有根據的想象。
當然，在這一過程中教師要保護孩子的積極性，要鼓勵學生大膽些，勇敢地表達自己的想法，同時在過程中對學生進行指導，提高學生的猜想水平。
（三）在“驗證”的過程中，要幫助學生打開思路
我們可以一起來看兩個教學“加法交換律”的片段：
片段一：學生提出“交換兩個加數位置，和不變”這一猜想后，教師就讓學生在草稿本上舉例，5分鐘后，提問學生有沒有反例，學生都說沒有后引導學生得出了結論。
片段二：學生提出“交換兩個加數位置，和不變”這一猜想后，教師就讓學生在草稿本上舉例。教師巡視一圈后，說：“我發(fā)現很多同學都舉的是兩位數加兩位數的例子，那別的情況也符合嗎？”立刻那些安靜的孩子又興奮起來，開始舉“三位數加三位數、兩位數加一位數……”這樣的例子。教師又巡視后，說：“那有些特殊數相加也符合嗎？如整百數、整十數等。”學生興奮了，不僅開始舉例整百數、整十數等，也開始舉有關“0”、“1”的例子了。8分鐘后，教師引導學生思考兩個問題：“為什么要舉各種類型的例子？”“為什么要這么多同學一起舉例，教師一個人在大黑板上舉例不行嗎？”
在以上兩個對比片段中，我們看到片段二的驗證過程花的時間更長。在這一過程中，教師幫助學生打開思路，不僅僅停留在“兩位數加兩位數”上，還思考了不同位數相加，以及“0”、“1”等這樣的特殊情況。最后通過引導學生思考“為什么要舉這么多例子”，讓學生明白了驗證的過程必須是科學的，不是僅僅停留于形式，舉幾個例子就能得出結論了，而是應該把各種不同的情況都考慮到，尤其是一些特殊數字。通過這樣的過程，學生就會明了驗證是一個科學的、嚴謹的過程，必須在把各種情況都考慮過后才能慎重地得出結論。另外教師還引導學生思考“為什么要這么多同學一起舉例”，這其實就是幫助學生明晰一兩個例子不能說明是一個科學的驗證過程，幾個例子中找不到反例不能就草率得出結論，而是要盡可能考慮多種情況的、大量的例子。這樣的一個過程就是幫助學生養(yǎng)成嚴謹的科學態(tài)度，為他們的終身學習服務。
（四）在“結論”的過程中，要提升學生的總結能力
首先，在學生得出結論的過程中，教師要引導學生回顧整個猜想驗證的過程，明晰猜想的合理性，感受驗證過程對得出結論的支撐作用。只有通過這樣的過程，學生才會發(fā)現結論的得出要建立在前面辛苦的工作基礎上，結論是有一定的科學依據的，不是隨意得出的。
其次，在學生得出結論時，不能讓學生想當然地認為結論就是猜想的重復，不能產生猜想永遠是對的這樣的想法。教師要引導、提升學生的總結能力，不僅要提供結論正確的內容，也要適當讓學生感受結論錯誤的內容，這樣，學生在進行結論時，就會感受到驗證過程的必要，就會體會到結論的來之不易。這樣在概括結論時，他就會依據驗證過程進行提煉，不斷提高自己的總結概括能力。
另外，由于數學結論大都比較抽象，要學生用自己的話敘述比較困難，所以在這一過程中，往往教師引導會過多。如“乘法分配律”的得出，由于學生用話語敘述較困難，所以教師對學生的要求就只停留在會用字母表達，至于文字表達則由教師代勞。其實數學教學不僅僅是學生掌握知識，了解其內涵，也要培養(yǎng)學生的數學表達能力，這對于學生今后的學習以及科研成果的展示很有幫助。所以面對學生不會表達的情況，我們教師要有耐心，一定要敢于讓學生嘗試，可以讓他們在草稿本上寫一寫，然后教師進行指導，把同學的不同表達進行對比，幫助學生提煉表達的方法。只要堅持這樣做，相信學生的數學概括能力會越來越強，也會在得出結論的過程中越來越發(fā)現數學的內涵和真諦。
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