| 走進數(shù)學猜想 | ||||||||||||||||||
| 『 作者：計旭勤 | | ||||||||||||||||||
| 摘 要：本文針對當前數(shù)學課堂過分注重演繹、推理，過分強調(diào)形式、邏輯的弊端，提出什么是猜想。探討了猜想在教學活動中的應用。在教教學模式和學法指導等方面，分析了教猜想、學猜想的條件和要求。 關鍵詞：猜想、數(shù)學猜想 著名的數(shù)學教育家波利亞呼吁數(shù)學教學既要教證明，又要教猜想。這對數(shù)學教育有很重要的指導價值。為了適應當今社會發(fā)展的需要，數(shù)學教育要發(fā)展學生的創(chuàng)新能力，教學中就必須要有猜想教學的地位，這一點務必引起我們的重視。 在新課程標準華東師大版數(shù)學實驗教材介紹中，提到了教材的一個特點――探索性。要求教師組織學生對數(shù)學現(xiàn)象開展觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學活動，引導學生進行猜想、歸納，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，主動獲取新知，使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。本人認為其中重要的一個環(huán)節(jié)就是數(shù)學猜想。 一、正確認識猜想是數(shù)學猜想的關鍵一步 1、弄清概念：什么是猜想？ 猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識做出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維方法。人們認識事物是一個復雜的過程，往往需要經(jīng)歷若干階段才逐漸從現(xiàn)象認識到事物的本質(zhì)。開始只能根據(jù)已有的部分事實及結(jié)果，運用某種判斷推理的思維方法，對某類事實和規(guī)律提出一種推測性的看法。這種推測性的看法就是猜想。因此，數(shù)學猜想就是指依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知識，對未知量及其關系所出的一種似真推斷。 2、猜想的特點 猜想具有真實性、探索性、靈活性和創(chuàng)造性等基本特點。猜想是人們依據(jù)事實、憑借直覺所做出的合情推測，是一種創(chuàng)造性的思維活動。在數(shù)學中，任何一個定理，只要不是其他數(shù)學定理的直接推論，就可以經(jīng)過猜想而建立起來。猜想有一定的事實根據(jù)，不受現(xiàn)存事實的束縛。猜想包含著以事實作為基礎的可貴的想象成分。一個猜想越大膽，它所包含的想象成分就越多。 3、猜想與論證推理的區(qū)別與聯(lián)系 數(shù)學猜想就是數(shù)學中的合情推理，波利亞反復指出：數(shù)學中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個方面，它們之間并不矛盾，在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過程中是起交互作用的。在嚴格的推理之中，首要的事情是區(qū)別證明與推測，區(qū)別正確的論證與不正確的嘗試；而在合情推理中，要區(qū)別理由較多的推測與理由較少的推測。所以說，數(shù)學猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。 4、猜想的分類和實現(xiàn)途徑 浙江師大任樟輝先生把猜想分為如下五種形式：①類比性猜想；②歸納性猜想；③探索性猜想；④仿造性猜想；⑤審美性猜想。 至于猜想的實現(xiàn)途徑，它們可能是探索試驗、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想、審美以及它們之間的組合等。數(shù)學猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學知識和經(jīng)驗為支柱。實施猜想前，請記住“在證明一個數(shù)學問題之前，你先得猜想這個問題的內(nèi)容；在你完全做出詳細證明之前，你先得猜想證明的思路”。 二、猜想在數(shù)學教學中的應用 在中學數(shù)學教學中我們也可以引導學生大膽地猜想，使學生在學好知識的同時，發(fā)展能力，教學中鼓勵學生猜想有著很重要的意義： 1、有利于激發(fā)學生的學習興趣和增強學習動力 興趣是學習的最好老師，一個學生當他對某個學科感興趣時，他就會積極思考，想方設法地去解決本學科所遇到的所有問題，所以調(diào)動學生的學習積極性是每一位教師必須做到的。如在教授韋達定理時，教師不是直接把定理的內(nèi)容告訴學生，而是讓學生每人寫出一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程，只要學生說出這個方程的兩個根，教師就會馬上“猜出”這個方程，學生個個稱奇，迫不及待地問老師有什么“訣竅”，這時教師就可以作必要的講解：“因為二次項系數(shù)為1，所以老師只要猜出一次項系數(shù)和常數(shù)項，就可以得出方程，而這兩個數(shù)的得出依靠的是你們提供的兩個根。這說明一元二次方程根與系數(shù)之間存在關系”，然后教師引導學生觀察、猜出這些關系，并舉例進行驗證，學生很快就能得出規(guī)律。接著再指導學生“猜出”二次項系數(shù)不為1時的根與系數(shù)的關系。從而順理成章地得出定理。 這樣既克服了枯燥地把知識介紹給學生，而且也可以讓學生覺得數(shù)學學習是一件很有趣的事，長期這樣訓練，學生就在不自覺中喜歡學習數(shù)學，學習的動力就會提高。 2、有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學知識 數(shù)學的特點是嚴謹、邏輯性強，學生在學習時往往只注重了知識的表層，或者去死記知識，這樣在運用知識時就會出現(xiàn)“我知道這個內(nèi)容，但就是不會用它來解題”這樣的問題，所以在教學中，教師必須想方設法地讓學生理解所學知識，并掌握這些知識。而在講解數(shù)學知識時，不是直接告訴學生，而是讓學生逐步地猜想這些知識，不失為是一個事半功倍的好辦法。 比如在講冪的乘方時，先讓學生做以下練習。 試一試 根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)冪的乘法填空。 有部分學生在做完后，就馬上發(fā)現(xiàn)了一種規(guī)律：只要將兩個指數(shù)相乘，而底數(shù)不變。教師馬上提問： 數(shù)學課本中的很多定理和方法，并不是由純邏輯的演繹推理得到的。絕大多數(shù)是由為數(shù)不多的特例，通過觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講授這些結(jié)論時，不要先把結(jié)論拋給學生，可同學生一起參與歸納猜想。反之，如果教師直接將這些結(jié)論拋給學生，學生就會感到很突然，而通過歸納猜想得出結(jié)論就顯的很自然。當然這樣的猜想，還要引導學生驗證。 又比如在講解圓與圓的位置關系時，教師可以給大家演示兩個圓由遠到近的移動過程，讓學生觀察它們位置的變化，由此猜想出它們大概有幾種位置，然后讓大家討論各自猜想的依據(jù)，他們很快就會得出：位置是由交點個數(shù)決定的，沒有交點時是相離、一個交點時是相切、二個交點時是相交。然后教師繼續(xù)啟發(fā)：交點相同時有沒有不同之處，怎么樣區(qū)分？學生很快就會得出：不同點主要是除交點外，大圓和小圓分開還是包含。那么相離又可以分為外離和內(nèi)含、相切可以分為外切和內(nèi)切。雖然敘述的語言并不十分準確，但圓與圓的五種位置關系給出的非常清楚，學生理解的也更為透徹。 一位數(shù)學教育家曾經(jīng)說過：“數(shù)學教學的過程就是濃縮的數(shù)學發(fā)展史的過程，所以教給學生發(fā)現(xiàn)的過程，這樣才符合教學規(guī)律，才更有利于學生的發(fā)展”。 3、有利于更快捷地尋找解題思路 例如：已知： 分析：按通常的解法，要代入即可求值。但是由于數(shù)字太大，計算就非常繁瑣，因此，我們試著把數(shù)字變小，尋找其規(guī)律： 當 當 …………………………………………… 由此可以猜出： ∴ 當然這樣的猜想，也還要引導學生驗證。 顯然，猜想在本題中起了很重要的作用。這樣的例子還很多，如因式分解中的十字相乘法，也是用猜想解題的一個很明顯的例證。因此，我們在教學中應經(jīng)常鼓勵學生去大膽地猜想結(jié)論、猜想規(guī)律、大膽地猜想解法，然后再去驗證。使學生在不斷地猜想和驗證過程中，掌握和豐富數(shù)學知識。 4、有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識 真正的學習存在于發(fā)現(xiàn)或解決問題的過程，通過對問題的觀察、猜想、論證的應用，可以達到發(fā)展智力和提高解決問題能力的目的。 例如：觀察下列圖形并填空。
分析：我們也試著把個數(shù) 當 當 當 由此可得出： 在課堂上，教師就是這樣指導學生得出此結(jié)論。但有個別學生結(jié)合這個結(jié)論，得出另一種看法： 觀察圖形，一個梯形中，上底+下底=3，則n個梯形中，上底+下底=3n，所以周長為3n+2。 三、讓數(shù)學猜想走進課堂 探索培養(yǎng)學生猜想能力的數(shù)學教學模式。數(shù)學教學必須注重知識的發(fā)生過程，但真正能做到展示知識的生動發(fā)生過程的，惟有讓學生參與猜想。要真正體現(xiàn)學生的主體性，就必須使學生的認知過程是一個再創(chuàng)造的過程，教學中必須滲透“猜想＋證明”的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的科學思維。數(shù)學教師必須發(fā)揮自己的聰明才智，總結(jié)當前好的教學模式，探索出符合培養(yǎng)猜想能力的教學模式。如張思明先生探索的“導學探索、自主解決”教學模式，就體現(xiàn)出猜想的勃勃生機。 為了教學生猜想，新知教學時，要設計猜想的情景，不把新知直接告訴學生。要經(jīng)常設計一些找規(guī)律的題給學生做。 如按規(guī)律填數(shù)：11，21，41，71，111， ，221。 由幾個有共同特點的計算式子找一般的結(jié)論： 學生提出猜想后，要組織評析與驗證，鼓勵交流猜想的思維過程，鼓勵標新立異提出不同的猜想。 營造寬松的、良好的猜想氛圍。教師不必去限制學生思維的疆域，鼓勵學生積極思考，不迷信已有結(jié)論，不滿足現(xiàn)成解答，大膽猜想，不斷開拓。教師應隨時點燃學生猜想的導火線，甚至教師本身直接成為學生猜想的導火線。猜想合理的進行鼓勵，猜想偏向的進行引導，不猜想的進行鞭策，讓猜想“訪問”每一位學生，使學生的被動的猜想行為轉(zhuǎn)變成自覺的猜想行為，師生共同構(gòu)建數(shù)學猜想共同體。 四、幾點思考 數(shù)學猜想并不是要取消“邏輯證明、演繹推理”，而是針對當前數(shù)學課堂中“重形式淡過程、重知識淡能力、重證明淡猜想”的教學弊端，竭力要讓猜想占有適當?shù)奈恢谩?/span> 當然，猜想也有局限性，特別是低年級學生，容易不加思考地亂猜，這就需要教師正確地引導，逐步培養(yǎng)他們在大膽猜想的同時，養(yǎng)成驗證的習慣?？傊?，猜想是數(shù)學思想的一個重要組成部分，也是數(shù)學教學應積極提倡的一種教學手段之一，值得我們研究、探討和運用。 正因為歷史上有諸如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等猜想的提出，數(shù)學科學才發(fā)展為今天壯觀的現(xiàn)代數(shù)學。沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)！ |
