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Laplace變換是將時域信號變換到“復(fù)頻域”，與Fourier變換的“頻域”有所區(qū)別。
FT[f(t)]=從負無窮到正無窮對[f(t)exp(-jwt)]積分
LT[f(t)]=從零到正無窮對[f(t)exp(-st)]積分
(由于實際應(yīng)用，通常只做單邊Laplace變換，即積分從零開始)
具體地，在Fourier積分變換中，所乘因子為exp(-jwt)，此處，-jwt顯然是為一純虛數(shù)；
而在laplace變換中，所乘因子為exp(-st)，其中s為一復(fù)數(shù)：s=D+jw,jw是為虛部，相當(dāng)于Fourier變換中的jwt，而D則是實部，作為衰減因子，這樣就能將許多無法作Fourier變換的函數(shù)（比如exp(at),a>0）做域變換。

Laplace變換主要用于電路分析，作為解微分方程的強有力工具（將微積分運算轉(zhuǎn)化為乘除運算）。但隨著CAD的興起，這一作用已不怎么受重視了，但關(guān)于其收斂域的分析（零極點圖）依然常用。
Fourier變換則隨著FFT算法（快速傅立葉變換）的發(fā)展已經(jīng)成為最重要的數(shù)學(xué)工具應(yīng)用于數(shù)字信號處理領(lǐng)域。

而Z變換，簡單地說，就是離散信號(也可以叫做序列)的Laplace變換，可由抽樣信號的Laplace變換導(dǎo)出，表示式如下：
ZT[f(n)]=從n為負無窮到正無窮對[f(n)Z^(-n)]求和
其所變換的域稱之為“Z域”。傅里葉變換屬于諧波分析。

* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

* 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;

* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT)).

基本性質(zhì)

線性性質(zhì)

兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數(shù)，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里葉變換算符\mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符；

頻移性質(zhì)

若函數(shù)f \left( x\right )存在傅里葉變換，則對任意實數(shù) ω0，函數(shù)f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里葉變換，且有\(zhòng)mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅里葉變換的作用算子，平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e 為自然對數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位\sqrt；

微分關(guān)系

若函數(shù)f \left( x\right )當(dāng)|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的傅里葉變換存在，則有\(zhòng)mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 ? iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，則\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子( ? iω)k。

卷積特性

若函數(shù)f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數(shù)f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質(zhì)的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數(shù)乘積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的卷積。

Parseval定理

若函數(shù)f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里葉變換。

傅里葉變換的不同變種

連續(xù)傅里葉變換

主條目：連續(xù)傅立葉變換

一般情況下,若“傅立葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。“連續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù)f(t) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。

f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.

上式其實表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數(shù)f(t)表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時間域的函數(shù)f(t)的積分形式。一般可稱函數(shù)f(t)為原函數(shù),而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對(transform pair)。

一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分數(shù)傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。

當(dāng)f(t)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))時,其余弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為余弦轉(zhuǎn)換(cosine transform) 或正弦轉(zhuǎn)換(sine transform).

另一個值得注意的性質(zhì)是,當(dāng)f(t) 為純實函數(shù)時,F(?ω) = F(ω)*成立.

傅里葉級數(shù)

主條目：傅里葉級數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,

其中Fn 為復(fù)振幅。對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：

f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

其中an和bn是實頻率分量的振幅。

離散時間傅里葉變換

主條目：離散時間傅里葉變換

離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆。

離散傅里葉變換

主條目：離散傅里葉變換

為了在科學(xué)計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn 定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下, 使用離散傅里葉變換，將函數(shù) xn 表示為下面的求和形式：

x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1

其中Xk是傅里葉振幅。直接使用這個公式計算的計算復(fù)雜度為\mathcal(n^2)，而快速傅里葉變換（FFT）可以將復(fù)雜度改進為\mathcal(n \log n)。計算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方法。

在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述

以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于調(diào)和分析的范疇。在調(diào)和分析中, 一個變換從一個群變換到它的對偶群(dual group)。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見龐特里雅金對偶性（英文版）中的介紹。

時頻分析變換

主條目：時頻分析變換

小波變換，chirplet轉(zhuǎn)換和分數(shù)傅里葉轉(zhuǎn)換試圖得到時間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數(shù)學(xué)上受不確定性原理的限制。

傅里葉變換家族

下表列出了傅里葉變換家族的成員. 容易發(fā)現(xiàn),函數(shù)在時(頻)域的離散對應(yīng)于其像函數(shù)在頻(時)域的周期性.反之連續(xù)則意味著在對應(yīng)域的信號的非周期性.

變換時間頻率

連續(xù)傅里葉變換連續(xù), 非周期性連續(xù), 非周期性

傅里葉級數(shù) 連續(xù), 周期性離散, 非周期性

離散時間傅里葉變換離散, 非周期性連續(xù), 周期性

離散傅里葉變換離散, 周期性離散, 周期性

傅里葉變換的基本思想首先由法國學(xué)者傅里葉系統(tǒng)提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。
傅立葉變換屬于調(diào)和分析的內(nèi)容。"分析"二字，可以解釋為深入的研究。從字面上來看，"分析"二字，實際就是"條分縷析"而已。它通過對函數(shù)的"條分縷析"來達到對復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。從哲學(xué)上看，"分析主義"和"還原主義"，就是要通過對事物內(nèi)部適當(dāng)?shù)姆治鲞_到增進對其本質(zhì)理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子，而原子不過數(shù)百種而已，相對物質(zhì)世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認識事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì),使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇:
1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;
2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;
4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;
5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT)).
正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

拉普拉斯變換
拉普拉斯變換（英文：Laplace Transform)，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。

如果定義：

f(t),是一個關(guān)于t,的函數(shù)，使得當(dāng)t<0,時候，f(t)=0,；

s, 是一個復(fù)變量；

mathcal 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯變換結(jié)果。

則f(t),的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

拉普拉斯逆變換，是已知F(s),，求解f(t),的過程。用符號 mathcal ^ ,表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對于所有的t>0,；

f(t)

= mathcal ^ left

=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds

c,是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個實常數(shù)且大于所有F(s),的個別點的實部值。
為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性（見信號流程圖、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運動過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實變量t的一個函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s＝σ＋j&owega;的一個函數(shù)，其中σ和&owega; 均為實變數(shù),j2＝-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

如果對于實部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數(shù)。對給定的實變量函數(shù) f(t)，只有當(dāng)σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數(shù),記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函數(shù),記為ft＝L-1[F(s)]。

函數(shù)變換對和運算變換性質(zhì) 利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對，以及f(t)在實數(shù)域內(nèi)的運算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運算間的對應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對和運算變換性質(zhì)。

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