寫在最前，這是摘自《神奇的矩陣第二季》愛(ài)上積分變換那一節(jié)。
傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。
老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。
傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。
當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在他此后生命的六年中，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運(yùn)的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。
拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。
但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對(duì)的。
話是這么說(shuō)沒(méi)錯(cuò)，可是二者總要存在差異，甚至在跳變沿處，傅里葉逼近會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象，我們?yōu)槭裁催€要進(jìn)行傅里葉展開(kāi)或傅里葉變換呢？
首先，我們從物理系統(tǒng)的特征信號(hào)角度來(lái)解釋。
我們知道，大自然中很多現(xiàn)象可以抽象成一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)研究，無(wú)論你用微分方程還是傳遞函數(shù)或者狀態(tài)空間描述。
線性時(shí)不變系統(tǒng)可以這樣理解：
輸入輸出信號(hào)滿足線性關(guān)系，而且系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變換。對(duì)于大自然界的很多系統(tǒng)，一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。
也就是說(shuō)正弦信號(hào)是系統(tǒng)的特征向量！當(dāng)然，指數(shù)信號(hào)也是系統(tǒng)的特征向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴(kuò)散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的，或者既有波動(dòng)又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù)形式），因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù)。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什么波形，那輸出就不一定是什么樣子了。所以，除了指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)以外的其他波形都不是特征信號(hào)。
怎么理解我所說(shuō)的特征向量和特征信號(hào)這個(gè)名字呢？其實(shí)這來(lái)源于線性代數(shù)：我們知道矩陣A作用一個(gè)特征向量x可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言這樣描述：，那么系統(tǒng)作用一個(gè)特征信號(hào)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是。形式結(jié)構(gòu)相同，只是一個(gè)是有限長(zhǎng)度的向量，另一個(gè)是無(wú)限長(zhǎng)度的信號(hào)而已。既然是特征向量，我們就想能不能用特征向量來(lái)表示自然界的信號(hào)和一個(gè)物理系統(tǒng)呢？這樣做的好處就是知道輸入，我們就能很簡(jiǎn)單那的寫出輸出。我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際的例子，擊弦樂(lè)器——鋼琴。琴鍵被小錘敲擊后，產(chǎn)生聲音，見(jiàn)下圖。
你可以認(rèn)為聲音是琴鍵隨時(shí)間變化的，也可以看成是各種波的疊加。用數(shù)學(xué)的表達(dá)式就是這個(gè)樣子的：
凡有變化的波(交流、頻率)才能傳遞信號(hào)，一個(gè)一直不變的直流信號(hào)是無(wú)法傳遞信息的。這種“交流”是指廣義的，普遍的，無(wú)論是自然界里蝙蝠探路，人們互相交談，還是衛(wèi)星接收信號(hào)，都屬于交流的范疇。
為了傳遞信號(hào)，產(chǎn)生交流，我們需要以“波”作為信號(hào)的載體。最簡(jiǎn)單的波，就以一定頻率傳播。蝙蝠發(fā)出了超聲波，人們說(shuō)話，聲帶振動(dòng)帶動(dòng)了空氣疏密波（聲波），衛(wèi)星識(shí)別電磁波。這樣，我們就有了頻率的概念。更進(jìn)一步，除了手機(jī)GHz的波這些經(jīng)典電磁波，在量子世界里，原子的躍遷也是以一定的頻率發(fā)生的。我們甚至可以說(shuō)，自然選擇了以這些單頻的模式為基礎(chǔ)。對(duì)于一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō)，信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律就是時(shí)域特性，信號(hào)是由哪些單一頻率的信號(hào)合成的就是頻域特性。
這里引入了時(shí)域頻域的概念。我們就有必要解釋一下為什么時(shí)間和頻率來(lái)描述這個(gè)世界是等價(jià)的？
什么是時(shí)域？從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。
什么是頻域？頻域(frequency domain)是描述信號(hào)在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系。用線性代數(shù)的語(yǔ)言就是裝著正弦函數(shù)的空間。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對(duì)頻域的描述，因?yàn)闀r(shí)域中的任何波形都可用正弦波合成。
好抽象，不懂。那讓我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始吧。在你的理解中，一段音樂(lè)是什么呢？
這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng)。但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō)，音樂(lè)更直觀的理解是這樣的：
最上面的圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下面的圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生，只是從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已。
其實(shí)，在生活中，我們無(wú)時(shí)無(wú)刻不在進(jìn)行著傅立葉變換。（什么？我沒(méi)有聽(tīng)錯(cuò)吧？?。?duì)的，請(qǐng)相信你的耳朵，你完全沒(méi)有聽(tīng)錯(cuò)。我們來(lái)看人類聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)的處理過(guò)程：
當(dāng)我們聽(tīng)到一個(gè)聲音，大腦的實(shí)際反應(yīng)是什么？事實(shí)上耳朵感覺(jué)到一個(gè)時(shí)變的空氣壓力，這種變化也許是一個(gè)類似于口哨聲的單音。當(dāng)我們聽(tīng)到一個(gè)口哨聲時(shí)，我們所關(guān)心的并不是氣壓隨時(shí)間的振動(dòng)（它非常非?？欤。?，而是聲音的三個(gè)特征：基音、聲強(qiáng)以及音長(zhǎng)?；艨梢岳斫鉃轭l率的同義詞，聲強(qiáng)不是別的，它就是幅度。我們的耳朵—大腦系統(tǒng)能有效地將信號(hào)表示成三個(gè)簡(jiǎn)單的特征參數(shù)：基音、聲強(qiáng)以及音長(zhǎng)，并不理會(huì)氣壓的快速變化過(guò)程（一個(gè)重復(fù)的變化過(guò)程）。這樣耳朵—大腦系統(tǒng)就提取了信號(hào)的本質(zhì)信息。
傅立葉變換的分析過(guò)程與此類似，只不過(guò)我們從數(shù)學(xué)意義把它更加精確化和專業(yè)話罷了。
從數(shù)學(xué)上理解，頻域的概念就是由正弦信號(hào)構(gòu)成的空間?；蛘哒f(shuō)這個(gè)空間里裝著正弦信號(hào)。聽(tīng)起來(lái)好抽象，讓我們回憶一個(gè)例子：我們知道對(duì)已一個(gè)函數(shù)，我們可以將它分解成下面的形式：
分解的方法有很多。
我們這樣理解上面的函數(shù)分解：是函數(shù)空間中的一組基，是在這組基下的坐標(biāo)。對(duì)于泰勒展開(kāi)，我們選取了多項(xiàng)式作為基，于是由多項(xiàng)式構(gòu)成的空間就叫多項(xiàng)式空間。對(duì)于傅里葉變換，我們只是選取了三角函數(shù)作為基，于是由三角函數(shù)構(gòu)成的空間就叫頻率空間或者叫頻域。以此類推。
用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數(shù)來(lái)表示的原因在于：正弦信號(hào)恰好是很多線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征向量。于是就有了傅里葉變換。對(duì)于更一般的線性時(shí)不變系統(tǒng)，復(fù)指數(shù)信號(hào)(表示耗散或衰減)是系統(tǒng)的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時(shí)是離散系統(tǒng)的“特征向量”。這里沒(méi)有區(qū)分特征函數(shù)和特征向量的概念，主要想表達(dá)二者的思想是相同的，只不過(guò)一個(gè)是有限維向量，一個(gè)是無(wú)限維函數(shù)。
傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換其實(shí)就是我們之前討論的特征值與特征向量的問(wèn)題。分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。這樣，用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)。
同時(shí)，這也解釋了為什么我們一碰到信號(hào)就想方設(shè)法的把它表示成正弦量或者復(fù)指數(shù)量的形式；解釋了為什么方波或者三角波如此“簡(jiǎn)單”，我們非要展開(kāi)的如此“麻煩”；解釋了為什么對(duì)于一個(gè)沒(méi)有什么規(guī)律的“非周期”信號(hào)，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開(kāi)。就因?yàn)檎伊?或復(fù)指數(shù))是特征向量。
考慮到實(shí)際過(guò)程都只關(guān)心t>0時(shí)刻的現(xiàn)象，所以一般用的拉氏變換都是單邊的，也就是教材中講的拉普拉斯變換。微分運(yùn)算的變換，除了以外還有其它項(xiàng)，就是因?yàn)樗龅氖菃芜叺淖儞Q，需要考慮初值。
時(shí)域分析與頻域分析是對(duì)信號(hào)的兩個(gè)觀察面。時(shí)域分析是以時(shí)間軸為坐標(biāo)表示動(dòng)態(tài)信號(hào)的關(guān)系；頻域分析是把信號(hào)變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來(lái)。一般來(lái)說(shuō)，時(shí)域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡(jiǎn)練，剖析問(wèn)題更為深刻和方便。目前，信號(hào)分析的趨勢(shì)是從時(shí)域向頻域發(fā)展。然而，它們是互相聯(lián)系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳中說(shuō)的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。
鑒于你對(duì)積分變換已經(jīng)心灰意冷，為了讓你對(duì)積分變換產(chǎn)生一點(diǎn)好感。我們來(lái)看一張圖：
海綿寶寶的傅里葉變換就是派大星
這個(gè)圖在討論濾波器的時(shí)候很有用，學(xué)習(xí)通訊或者電子專業(yè)的學(xué)生對(duì)這個(gè)圖再熟悉不過(guò)了，如果你感興趣可以聯(lián)系我交流一下。
之前說(shuō)了那么多，可能你不相信一個(gè)信號(hào)可以用正弦信號(hào)的線性組合重現(xiàn)，或者說(shuō)你不相信一個(gè)函數(shù)可以展開(kāi)。接下來(lái)，我們深入的討論一下這個(gè)問(wèn)題。
什么是分解呢？分解的意思就像我們用不同的涂料來(lái)調(diào)色，一個(gè)色調(diào)可以分解成不同基色調(diào)的組合。一束白光可以分解成不同顏色的光的疊加。如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。用線性代數(shù)的角度來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，就是基的數(shù)量要足夠，數(shù)學(xué)一點(diǎn)的用語(yǔ)是完備性。如果你接觸過(guò)小波變換，你就更能體會(huì)到這點(diǎn)。
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。
（2012年1月，四位來(lái)自麻省理工學(xué)院的研究人員提出了一種更快執(zhí)行傅里葉變換的新算法。這四位研究者(從左至右)分別是Piotr Indyk、Dina Katabi、Eric Price、Haitham Hassanieh。傅里葉變換是數(shù)字醫(yī)學(xué)成像、Wi-Fi路由器和4G無(wú)線通信網(wǎng)絡(luò)等眾多技術(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)。）
經(jīng)過(guò)上面各種圖形的狂轟濫炸，相信你對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)是展開(kāi)(分解)的概念已經(jīng)在你的腦海中留下一些痕跡了吧。前面的疊加過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)隨著頻率越來(lái)越高，幅值卻越來(lái)越小。這是為什么呢？很多書上只是給出數(shù)學(xué)上的解釋。下面，給出一個(gè)幾何上的解釋：
對(duì)于一個(gè)函數(shù)，將其分解成傅里葉級(jí)數(shù)的時(shí)候，對(duì)于高頻分量，可以看出函數(shù)近似成一條直線。于是，積分求和就變成很小的值了。這也是為什么工程中只取前幾階信號(hào)而不考慮無(wú)窮項(xiàng)的原因。
前面花了大量的時(shí)間來(lái)說(shuō)明一個(gè)方波信號(hào)可以由正弦信號(hào)組成，也就是一個(gè)時(shí)域信號(hào)可以用頻域信號(hào)表示。如果你接受了這件事，就好辦了，我們將他推廣：
“任意連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成”
這就是傅里葉當(dāng)年的結(jié)論。
盡管最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征?！比我狻钡暮瘮?shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！
本節(jié)的核心就是一種信號(hào)可以用另一種信號(hào)作為基函數(shù)線性表示。而由于現(xiàn)實(shí)世界中正弦信號(hào)是系統(tǒng)的特征向量，所以我們就用傅里葉變換，將研究的信號(hào)在頻域展開(kāi)?？偠灾还苁歉道锶~級(jí)數(shù)，還是傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換，本質(zhì)上都是線性代數(shù)里面講的求特征值和特征向量。然后將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題用特征值和特征向量表示。以后如果有人問(wèn)你為什么要進(jìn)行傅里葉變換，你就可以半炫耀半學(xué)術(shù)的告訴他：
“因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征向量，因此傅里葉變換就是進(jìn)行特征分解”
當(dāng)然還有其他展開(kāi)，比如小波，道理是一樣的。如果感興趣，強(qiáng)烈推薦《小波與傅里葉分析基礎(chǔ)》這本書。
其實(shí)寫到這里本來(lái)就可以了。但是數(shù)學(xué)家覺(jué)得，這種向特征基函數(shù)投影的思想太奇妙了，于是就將其發(fā)展延伸，構(gòu)造出了其他形式的積分變換。下面就從數(shù)學(xué)的角度解釋一下積分變換的意義。
這種解決問(wèn)題的思路和我們介紹的對(duì)角化時(shí)的思路是一致的。類似的還有對(duì)數(shù)變換、解析幾何的坐標(biāo)變換、高等代數(shù)中的線性變換；在積分中的變量代換和積分運(yùn)算化簡(jiǎn)；在微分方程中所作的自變量或未知函數(shù)的變換；復(fù)變函數(shù)的保角變換。當(dāng)然變換要可以逆。也就是下面介紹的核函數(shù)要可逆。
從數(shù)學(xué)的角度理解積分變換就是通過(guò)積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)。也可以理解成是算內(nèi)積，然后就變成一個(gè)函數(shù)向另一個(gè)函數(shù)的投影：
當(dāng)然，選取什么樣的核主要看你面對(duì)的問(wèn)題有什么特征。不同問(wèn)題的特征不同，就會(huì)對(duì)應(yīng)特定的核函數(shù)。把核函數(shù)作為基函數(shù)。將現(xiàn)在的坐標(biāo)投影到核空間里面去，問(wèn)題就會(huì)得到簡(jiǎn)化。之所以叫核，是因?yàn)檫@是最核心的地方。為什么其他變換你都沒(méi)怎么聽(tīng)說(shuō)過(guò)而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯變換呢？因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)才是描述這個(gè)世界的特征函數(shù)！
寫到這里，我覺(jué)得早晚會(huì)有人指出我的一個(gè)問(wèn)題：沒(méi)有區(qū)分傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。筆者覺(jué)得這兩個(gè)概念根本沒(méi)必要區(qū)分，我的理由如下：傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的根本區(qū)別是被操作的函數(shù)是否為周期函數(shù)：當(dāng)被操作函數(shù)的周期趨向于無(wú)窮大，傅里葉級(jí)數(shù)“密集”成傅里葉變換；當(dāng)被操作函數(shù)的周期從無(wú)窮大變成有限值時(shí)，傅里葉變換退化成傅里葉級(jí)數(shù)。所以，其實(shí)傅里葉級(jí)數(shù)只是傅里葉變換的一種特殊情況，或者說(shuō)傅里葉變換是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣。因此，筆者不希望用高深繁多的概念來(lái)把你搞暈，就沒(méi)有強(qiáng)調(diào)二者的區(qū)別。
當(dāng)然，這個(gè)問(wèn)題還體現(xiàn)了時(shí)頻域之間的對(duì)稱(對(duì)偶)關(guān)系，而且對(duì)拉普拉斯變換也適用，請(qǐng)看下表：
舉個(gè)例子：
比如你在時(shí)域周期延拓，那么頻域就是離散的線譜；你在時(shí)域離散(采樣)，那么頻域就是周期的。還記得海綿寶寶和派大星那個(gè)圖么？時(shí)域的窗函數(shù)在頻域就是sinc函數(shù)；頻域的窗函數(shù)(理想低通濾波器)在時(shí)域就是sinc函數(shù)。因此，由于非因果性，理想低通濾波器是不存在的。當(dāng)然，有些公式并不嚴(yán)謹(jǐn)，只是為了形式上的好看，希望你諒解。詳細(xì)而準(zhǔn)確的推導(dǎo)請(qǐng)參考積分變換或者信號(hào)與系統(tǒng)類的書籍。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：
傅里葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；
傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；
正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲??；
著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；
離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).
正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。
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