我們聽過的很多動人心魄的神話可能是始于一個(gè)真實(shí)的故事，它曾在歷史的某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上真實(shí)地發(fā)生過，但在代代相傳的傳頌中，被一點(diǎn)一點(diǎn)的蒙上傳奇的色彩，讓真相被一點(diǎn)一點(diǎn)地被拋在腦后。神話之所以總能在人們心中存留和演化，或許是因?yàn)樗鼈兌嗌俪休d著一些隱藏的真理，能夠滿足人類在心靈上的某些需求。以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬛Q的數(shù)學(xué)似乎是神話的一個(gè)對立面，但有時(shí)，一些數(shù)學(xué)真理會在缺乏理解的復(fù)述之下，以“神話”般的形式進(jìn)入到公眾意識。今天我們要說就是數(shù)學(xué)中的一則“神話”——黃金比例（黃金分割率）。
什么是黃金比例？
黃金比例是一個(gè)神奇的常數(shù)，我們通常用希臘字母φ來表示它。它出現(xiàn)在很多文學(xué)和藝術(shù)作品中，比如在小說和電影《達(dá)芬奇密碼》就提到了這個(gè)有著神秘色彩的數(shù)字。之所以說它神秘，是因?yàn)榕c數(shù)學(xué)中的許多其他概念相比，這個(gè)數(shù)字的確有著更多的“神話”：它被許多作家描述為是自然界所有美麗圖案的基礎(chǔ)，是神圣的比例；也被稱為是許多藝術(shù)作品和建筑物的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，如希臘的帕特農(nóng)神廟和埃及的金字塔。黃金比例最早出現(xiàn)在歐幾里得的著作《幾何原本》中，歐幾里得將它定義為：
那么，φ究竟等于多少呢？我們知道，a / b = φ，且 (a + b) / a = φ，因此上圖中的等式可以變成：
由于φ必須大于1， 所以我們?nèi)?nbsp;φ = 1.61803… 它是一個(gè)無理數(shù)，這并不難理解，因?yàn)楦?正是一個(gè)無理數(shù)，也就是說它是一個(gè)無法被寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。這是黃金比例的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。一維的黃金比例還可以延伸為所謂的黃金矩形，我們可以根據(jù)以下步驟畫出一個(gè)黃金矩形：2、然后取正方形的一條邊（比如底邊）的中點(diǎn)：以該中點(diǎn)為圓心，以中點(diǎn)到與對邊相連的一個(gè)頂點(diǎn)的距離為半徑畫圓；3、延長底邊，讓它與圓弧相交，得到的交點(diǎn)便是黃金矩形的一個(gè)角。
除了黃金矩形之外，黃金比例φ還有另一個(gè)可愛的幾何表達(dá)，那就是它是一個(gè)邊長為1的正五邊形的對角線的長度。（讀者可以試著用余弦定理來檢驗(yàn)喲！）
如上圖所示，由對角線和底邊形成的邊長為1、φ、φ的等腰三角形BAD，被稱為黃金三角形，它在五重對稱的研究中頻繁出現(xiàn)，例如五角星就是由五個(gè)黃金三角形構(gòu)成的：
其實(shí)，定義黃金比例的方法有很多，一個(gè)非常著名的例子是斐波那契數(shù)列：
這個(gè)序列中的下一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和，是由斐波那契提出的一種用來理解兔子種群增長的方法，它在理解人口增長方面具有重要作用。這個(gè)數(shù)列是如何與黃金比例聯(lián)系在一起的呢？最早發(fā)現(xiàn)這一驚人秘密的是開普勒（Johannes Kepler），他注意到，如果取這個(gè)序列中的兩兩相連的數(shù)字之比（后一項(xiàng)比前一項(xiàng)），得到的比值就可以形成數(shù)列：而這個(gè)數(shù)列最終會收斂到一個(gè)熟悉的數(shù)字——1.618… 這個(gè)數(shù)列的極限正是黃金比例。黃金比例的無理性，使我們可以在黃金矩形中看見能無限循環(huán)下去的斐波那契數(shù)列的比。黃金比例是一個(gè)有趣的數(shù)字，它有很多奇特的性質(zhì)，也有許多有用的應(yīng)用。這些奇特的性質(zhì)吸引了一些數(shù)學(xué)家的關(guān)注，然而對于公眾而言，它的這些屬性卻意外的被提升到了一個(gè)不恰當(dāng)?shù)奈恢谩?/span>在數(shù)學(xué)家眼中，重要的常數(shù)有很多，比如√2——它是邊長為1的正方形的對角線長度，也是一張A4紙的長寬比例。其實(shí)1、√2、√3在幾何中的出現(xiàn)頻率都遠(yuǎn)高于φ。說起重要的常數(shù)，還有兩個(gè)不得不提的數(shù)字便是π和e，無論是在數(shù)學(xué)世界還是現(xiàn)實(shí)世界，它們都有著不言而喻的重要性。在幾何學(xué)中，圓周率π是圓周長與直徑之比，它的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何學(xué)，它出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，從微積分到數(shù)論，從統(tǒng)計(jì)學(xué)到量子力學(xué)。數(shù)字e是另一個(gè)在數(shù)學(xué)中扮演著同等重要角色的常數(shù)，它是微積分的基本要素，它與任何關(guān)于增長的事物有關(guān)。在科學(xué)和工程學(xué)的許多重要公式中，都有π和e的身影，這兩個(gè)數(shù)字和宇宙密切相關(guān)。相比之下，φ的應(yīng)用場景要少得多。然而在普及數(shù)學(xué)時(shí)，φ的神秘色彩使其所享有的“榮耀”遠(yuǎn)多于這兩個(gè)宇宙的核心數(shù)字。需要強(qiáng)調(diào)的是，這并不是說φ不重要（我們將在第3部分討論黃金比例的真正神奇之處），只是說它在數(shù)學(xué)和科學(xué)中所扮演的角色與傳說中的大相徑庭。為什么φ在大眾媒體上會獲得如此顯赫的地位呢？可能就像所有神話的流傳一樣，一次次的神化原因早已遺失在歷史的長河中了。但仍可以照著一些線索探尋其中的一些故事。黃金比例以多種形式出現(xiàn)在自然界中。前面我們已經(jīng)提到，黃金比例與斐波那契數(shù)列密切相關(guān)。而斐波那契序列在自然界中是真實(shí)存在的，因?yàn)樗扰c種群的增長方式有關(guān)，也與形狀可以組合在一起的方式有關(guān)。例如，在太陽花的螺旋中我們可以看到這個(gè)序列（下圖左），它們以一種可以捕捉到最多陽光的有序方式排列在一起；再比如，從蜂箱中的雄蜂與雌蜂的數(shù)量分布中（下圖右），我們也可以觀察到這種由蜜蜂的繁殖方式所產(chǎn)生的接近φ的比率。然而，還有很多情況下，黃金比例被不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系到了一起。比如很多人說完美的人體比例、完美的臉型等都與φ有關(guān)。事實(shí)上，人體有許多可能的比率，其中大多介于1和2之間，而且這些“完美”的度量是沒有清晰定義的，如果你細(xì)想，完美的人體比例還可能接近1.6、5/3、3/2，√2、21/13等等。而這些其實(shí)都只是人類大腦感受的一些假相關(guān)而已。當(dāng)我們用從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)的假相關(guān)性來論證一個(gè)觀點(diǎn)時(shí)，這實(shí)際上可能是非常危險(xiǎn)的，比如在法律審判中，假相關(guān)有可能會導(dǎo)致錯誤的指控，甚至錯誤的定罪。上圖中所示的黃金螺旋或許是與黃金比例聯(lián)系得最為緊密的一個(gè)例子，它近似于一個(gè)螺旋。你只需無限地取越來越小的黃金矩形中的圓弧，就能得到這樣一個(gè)圖案。在很多地方，這種形狀被套用在自然和藝術(shù)之上，比如鸚鵡螺的形狀、星系的形狀、颶風(fēng)的形狀、甚至海浪的形狀：然而問題在于，黃金螺旋并不是螺旋！它是由一系列的圓弧構(gòu)成的圖案，從一個(gè)弧過度到一個(gè)弧，螺旋的曲率會出現(xiàn)跳躍，這是在任何自然現(xiàn)象中都不太可能出現(xiàn)的跳躍。在最好的情況下，黃金螺旋可以近似為一個(gè)真正的螺旋，它所近似的是對數(shù)螺旋的一個(gè)例子，這種對數(shù)螺旋在自然界中很常見，并且可以用極坐標(biāo)方程表示為：在自然界中，這樣的螺旋隨處可見，b值對應(yīng)于不同的實(shí)際情況，這對b的任何值都成立，與黃金比例無關(guān)。黃金螺旋對應(yīng)的b值為：這個(gè)數(shù)字沒有任何特別。鸚鵡螺的殼是一種對數(shù)螺線，因?yàn)檫@種自相似性能使它在不改變形狀的情況下生長，它的最常見b值是0.18，與黃金螺旋的b值相去甚遠(yuǎn)。人們認(rèn)為，黃金比例在美學(xué)上更令人賞心悅目，因此在很多藝術(shù)和建筑作品中，黃金矩形也比其他矩形更受青睞。不可否認(rèn)，一些藝術(shù)家和建筑師的確會將黃金比例融入到作品中，但這也是黃金比例概念被過度套用的領(lǐng)域。理性說來，黃金矩形令人愉悅本就是一個(gè)證據(jù)薄弱的陳述。有心理學(xué)研究表明，人們對于長方形的偏好范圍很廣，各種比例都有其受眾人群，而其中最受歡迎的是長寬比為√2比1的矩形。斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)家和科普作家Keith Devlin曾在美國數(shù)學(xué)協(xié)會的一個(gè)專欄中寫道，黃金比例與美學(xué)之間的關(guān)系之所以如此深入人心主要因?yàn)閮蓚€(gè)人，一個(gè)是意大利數(shù)學(xué)家盧卡·帕西奧利（Luca Pacioli），另一個(gè)是德國心理學(xué)家阿道夫·澤辛（Adolf Zeising）。盧卡·帕西奧利是達(dá)芬奇的朋友，他在1509年寫了一本名為《神奇的比例》的書，這本書雖然以黃金比例為題，但并沒有基于黃金比例主張任何美學(xué)理論。另外，經(jīng)常有人說達(dá)芬奇在畫作中用到了黃金比例，最著名的例子是畫作《維特魯威人》，然而這些比例與黃金比例并不相符，沒有直接證據(jù)證明達(dá)芬奇用到了這種比例，他只是在他的作品中提到了整數(shù)比。澤辛曾將黃金比例描述為“自然和藝術(shù)領(lǐng)域的美麗和完整……它是一種至高無上的精神理想，滲透到所有的結(jié)構(gòu)、形式和比例中，無論是宇宙的還是個(gè)人的、有機(jī)的還是無機(jī)的、聲學(xué)的還是光學(xué)的?！比欢?，這種說法繼而影響了許多其他人，為“黃金比例”這一現(xiàn)代神話奠定了基礎(chǔ)。還有觀點(diǎn)稱，黃金比例在音樂作曲中也很重要。然而與藝術(shù)和建筑一樣，幾乎沒有任何證據(jù)可以證明這一觀點(diǎn)。與音樂緊密相連的數(shù)字是2的12次方根，不是黃金比例。這種夸大的“神話”其實(shí)很令人不安，它會誤導(dǎo)很多人，讓人們對數(shù)學(xué)的運(yùn)作產(chǎn)生錯誤的認(rèn)識。當(dāng)那些深信這些神話的人發(fā)現(xiàn)事實(shí)并非如此時(shí)，可能會對數(shù)學(xué)解釋世界的真實(shí)能力失去信心。如果前面說的都是在給黃金比例摘到“神奇”的帽子，接下來我們要說的就是黃金比例的真正神奇之處。毫無疑問，黃金比例在數(shù)學(xué)和科學(xué)中是一個(gè)非常奇妙的數(shù)字，而真正讓它有別于其他數(shù)字的一個(gè)重要屬性是它的無理性。前面我們說道，φ是一個(gè)無理數(shù)，也就是說它無法被表示成任何分?jǐn)?shù)，然而更令人驚訝的是，那就是它是無理性最強(qiáng)的一個(gè)無理數(shù)。這意味著它不僅不能被精確地表示為分?jǐn)?shù)，甚至很難用分?jǐn)?shù)來近似。這是一個(gè)非常特殊的性質(zhì)。為什么說φ是無理性最強(qiáng)的一個(gè)數(shù)字呢？數(shù)學(xué)家在對一個(gè)無理數(shù)進(jìn)行近似時(shí)，會用到由兩個(gè)整數(shù)（m和n）組成的分?jǐn)?shù)m/n，對任意無理數(shù)z來說，不同的n值對應(yīng)不同的m值。要找到z的最佳近似，則是要找出能使z與近似分?jǐn)?shù)之差的絕對值，|z - m/n|，最趨近于0的n，換句話說，就是找到近似誤差最小的n。上圖中所比較的是π（紅）和φ（藍(lán)）的近似誤差圖，橫坐標(biāo)軸表示的是n從1到200的取值，縱坐標(biāo)是無理數(shù)與近似值之差 “Error = |z - m/n|”。可以看出，對于π來說，當(dāng)n=7和n=113時(shí)，能給出非常好的π的近似。這也正是我們所熟知的 π ≈ 22/7和355/113。與π相比，黃金比例φ的近似情況顯然沒有那么明朗。它的近似誤差曲線比其他無理數(shù)的近似誤差曲線收斂得更慢。而這背后的原因，是因?yàn)棣站哂幸粋€(gè)特殊性質(zhì)——它可以被表示為一個(gè)“連分?jǐn)?shù)”，使得φ可以被寫成這樣一種形式：它是恒等式 φ - 1 = 1/φ 的一個(gè)直接推論。φ的連分?jǐn)?shù)形式有一個(gè)關(guān)鍵的特征，那就是每一項(xiàng)都有1存在，這些分母中所包含的1會導(dǎo)致較大的誤差，從而使得整個(gè)分?jǐn)?shù)收斂緩慢。可以看到它的分母中的數(shù)字都很大，比如7、15 、292等等。這些大的數(shù)字會使連分?jǐn)?shù)的誤差小得多。然而，這種用分?jǐn)?shù)對φ進(jìn)行近似的困難程度，也使它成為了數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家在研究同步過程時(shí)的一個(gè)非常有用的數(shù)字。可以說，雖然黃金比例不同于公眾所想象的那般神奇，但當(dāng)你了解了它真實(shí)的樣子之后，或許會更加驚嘆于數(shù)學(xué)的真正魅力！本文節(jié)選并整理自數(shù)學(xué)家Chris Budd于2020年02月11日，在格雷沙姆學(xué)院（Gresham College）發(fā)表的演講《偉大的數(shù)學(xué)神話》（Great Mathematical Myths），在Budd的演講中，他還提到了著名的三門問題和四色定理等，全文鏈接可參閱：https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/great-maths-myths封面圖來源：mayeesherr. / Flickr
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