Excel分析工具庫系列教程之20
傅立葉分析
重慶三峽學院關文忠
傅里葉分析Fourier analysis 是分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數(shù)的傅里葉變換及其性質(zhì)。Excel中的傅立葉分析是求解離散型快速傅立葉變換和逆變換。
快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform,FFT），是離散傅里葉變換的快速算法，也可用于計算離散傅里葉變換的逆變換?？焖俑道锶~變換有廣泛的應用，如數(shù)字信號處理、計算大整數(shù)乘法、求解偏微分方程等等。在經(jīng)濟管理中可用于判斷時間序列周期性。
對于時間序列，可以展開成傅立葉級數(shù)，進行頻譜分析。對于時間序列xt其傅立葉級數(shù)展開式為展開成傅立葉級數(shù)：
（1）輸入數(shù)據(jù)并中心化：時間、時間序號t、觀測值xt、中心化(減x平均值）、求頻率fi(=i/N).
（2）由傅立葉分析工具求中心化數(shù)據(jù)序列的傅立葉變換。
（3）IMREAL和IMAGINARY提取實部和虛部，按公式5計算頻率強度（或由IMCONJUGATE求得共軛復數(shù)，再由IMPRODUCT求得兩共軛復數(shù)乘積，得頻率強度。
（4）以頻率為橫坐標、頻率強度為縱坐標，繪制頻率強度圖。
（5）分析周期性。由頻率強度最大的所對應的頻率倒數(shù)即得周期。
例：某時間序列如圖 20?1.
圖 20?1 時間序列觀測值及其圖形
由圖可見，序列顯現(xiàn)周期性變化，在整個時期范圍內(nèi)，周期為4.下面利用傅立葉分析工具進行頻譜分析。
（1）在B18單元格輸入“=AVERAGE(B2:B17)”求得觀測值的平均值；在C2單元格輸入“=B2/B$18”，將觀測值中心化（均值為0,并仍保持原序列的方差），并復制到C3:C17
圖 20?2傅立葉變換及頻率強度計算過程
（2）從“數(shù)據(jù)”選項卡選擇“數(shù)據(jù)分析”｜選擇“傅利葉分析”彈出對話框并設置如圖20?3：
圖 20?3 傅利葉分析對話框
（2）單擊“確定”生成傅立葉變換序列（圖20?2 D列）。
（3）在E2單元格輸入“=IMCONJUGATE(D2)”求得傅利葉變換值的共軛復數(shù)，并復制到E3:E17；在F3至F17輸入1至15,列出周期序列；在G3單元格輸入“=F3/16”求得頻率，并復制到G4:G17；在H3單元格輸入“=IMPRODUCT(D3:E3)*8”（即根據(jù)公式5）求得頻率強度，并復制到H4:H17。（見圖3）
（4）以G3:H17為源數(shù)據(jù)，插入散點圖，得圖20?4所示頻率強度頻譜圖。
圖 20?4頻率強度頻譜圖
由圖可見，圖形完全對稱，通常只取左半部分。頻率強度最大的所對應的頻率為0.25,其倒數(shù)為4,即周期為4.
