鄒發(fā)明 石世銀（重慶市第一中學(xué)校）
2014年全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)于2014年12月8日在美麗山城重慶的暖陽中落幕。作為唯一一堂現(xiàn)場展示課——我校張志華教師執(zhí)教的高二年級新課“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)過程與教學(xué)設(shè)計(jì)，引起了評委與在場的聽課教師們廣泛的好評！作為方法課，如何引導(dǎo)學(xué)生自然而然地再發(fā)現(xiàn)方法的生成過程？如何掌握方法的本質(zhì)？如何讓學(xué)生正確應(yīng)用方法解決具體問題？會(huì)不會(huì)純粹上成一堂解題教學(xué)課？等等，這些問題的解決都是與會(huì)評委和教師強(qiáng)烈期待的……。
中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事長、本次活動(dòng)學(xué)術(shù)委員會(huì)主席章建躍博士作了現(xiàn)場點(diǎn)評，對本堂課的設(shè)計(jì)和教學(xué)過程給予了很高的評價(jià)，指出本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)精彩紛呈。
精彩1：引入問題自然流暢、數(shù)學(xué)味十足：通過引入問題的式子結(jié)構(gòu)特征的形式化表達(dá)，直接觸碰到問題的本質(zhì)和核心，開門見山，數(shù)學(xué)味濃，后面圍繞著這個(gè)問題展開，自然引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
精彩2：數(shù)學(xué)歸納法原理類比恰到好處，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活：采用詳細(xì)挖掘“骨牌全部倒下去”效應(yīng)，類比解決數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的本質(zhì)及辯證關(guān)系，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的認(rèn)識(shí)自然清晰、水到渠成。
精彩3：對數(shù)學(xué)歸納法原理的“兩步一論”及本質(zhì)的闡述，吟詩一首：“整數(shù)命題問解法，奠基遞推融歸納。兩步一論化無窮，方法思想行天下。”言簡意賅。結(jié)合具體問題來談收獲和體會(huì)，有的放矢，讓學(xué)生回顧本節(jié)課的知識(shí)和方法，最后畫龍點(diǎn)睛，在瑯瑯的詩歌聲中結(jié)束本節(jié)課，余味無窮。章建躍博士精彩的點(diǎn)評引人入勝、經(jīng)久難忘！但從設(shè)計(jì)參與者的角度來看，整個(gè)設(shè)計(jì)、試教、修改過程一路走來，曲折蜿蜒，困難與疑惑重重！在此與大家共享，以促進(jìn)我們教科研能力的提升。
一、再現(xiàn)過程 精彩紛呈
1.開場白
上輩子五百次的回眸，才能換回今生的一次擦肩而過，今天我們有緣相聚于此，教師感到非常的榮幸！首先請我們以熱烈的掌聲對各位評委和嘉賓的到來表示熱烈的歡迎，同時(shí)也對同學(xué)們的積極參與和配合表示衷心的感謝！
2.問題引入
師：請看大屏幕，計(jì)算a2，a3，a4，猜想其通項(xiàng)公式。
請人回答，a2，a3，a4等于多少？并讓學(xué)生猜想an的通項(xiàng)公式an=1/n。
師：大家認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？
生：不一定（有人說正確）。
師：“不一定”？為什么？（如果說“正確”，那如何證明呢？）
生：由有限項(xiàng)歸納出的結(jié)論，即用的是不完全歸納法，所以結(jié)論不一定正確。
師：那能否用完全歸納法來予以解決呢？
生：不能！
師：顯然不能。由于正整數(shù)有無限多個(gè)，相應(yīng)的這里an有無窮多項(xiàng)，若是一一驗(yàn)證下去，那么永遠(yuǎn)也不可能做完，而生命是有限的。
師：回憶我們之前學(xué)習(xí)過的分析法、綜合法及反證法，能否解決這個(gè)問題呢？
生：（沉默）還是不能！
3.骨牌視頻
師：其實(shí)我們生活中也有類似的經(jīng)驗(yàn)，讓我們從生活中去汲取靈感。
師：請看一段視頻。
師：（追問）我剛才聽到同學(xué)們一共“啊”了三次，你們?yōu)楹斡腥绱硕嗟母锌。?/p>
剛才視頻播放的過程中，教師注意到，有同學(xué)眼睛睜得圓圓的、嘴巴張得大大的，呈一種驚訝狀。
師：你是在驚訝什么呢？
教師傾聽學(xué)生的回答。
師：這段視頻向我們展示了“多米諾骨牌效應(yīng)”，我們似乎感受到骨牌可以無休止的全部倒下去。
4.骨牌片段分析
師：我們截取其中的一個(gè)片段來分析，請同學(xué)們仔細(xì)觀察并思考：要保證骨牌全部倒下去，需要具備哪些條件呢？請同學(xué)們自由討論！
學(xué)生活動(dòng)，教師下來巡視，并和學(xué)生交流，確定回答問題的目標(biāo)人群。
師：請同學(xué)們來分享你的成果。（提問某位學(xué)生）要保證骨牌全部倒下去，需要具備哪些條件呢？
讓學(xué)生自由回答，并讓周圍學(xué)生補(bǔ)充；若是學(xué)生答不到關(guān)鍵點(diǎn)上，教師就適當(dāng)啟發(fā)?？傊?，引導(dǎo)學(xué)生到“兩個(gè)步驟”上來。
師：（結(jié)合圖片歸納出兩個(gè)條件）若是第一張骨牌動(dòng)都沒動(dòng)，骨牌會(huì)倒下去嗎？
生：不會(huì)。
師：那么要保證骨牌全部倒下去，首先必須保證：（讓學(xué)生接）。
生：第一張骨牌要倒下！
師：若是只滿足第一張骨牌要倒下，能保證骨牌全部倒下去嗎？
生：不能。
師：那么要保證骨牌全部倒下去，還要具備什么條件呢？
換句話說，如果某一張倒下，不能保證下一張也跟著倒下，骨牌能全部倒下去嗎？
生：不能。
師：那么要保證骨牌全部倒下去，還必須保證：（讓學(xué)生接）。
生：若是某一張倒下，要能保證下一張也跟著倒下！
師：這里某一張是第幾塊？
生：第二張。
師：可以是第三張嗎？
生：可以。
師：那么，一般的，“某一張”可以用字母來表示嗎？
生：可以。
師：好，如果這里“某一張”我們用字母k來表示，那么條件2如何用數(shù)學(xué)語言來描述呢？
生：如果第k張倒下，要能使得第k+1張也倒下。
師：很好，通過同學(xué)們的自主探索，積極參與，我們探究出了多米諾骨牌全部倒下去的兩個(gè)重要條件。
大屏幕上呈現(xiàn)“骨牌全部倒下去”的兩個(gè)重要條件。
師：這兩個(gè)條件能不能省略一個(gè)？
生：第一個(gè)條件保證了倒下去的可能性（倒下要有一個(gè)初始的動(dòng)力），第二個(gè)條件保證了倒下去的傳遞性（倒下能一直延續(xù)下去）。 所以這兩個(gè)條件缺一不可！
師：因此，我們得出結(jié)論：只要滿足以下兩個(gè)條件，就可以保證“骨牌全部倒下去”。
(1)第一張骨牌要倒下；
(2)如果第k張倒下，那么第k+1張也一定跟著倒下。
這就是“骨牌全部倒下去”的原理。
5.類比解決an=1/n的猜想
師：我們能否從中獲得啟發(fā)，類比“多米諾骨牌全部倒下去”的原理去證明an=1/n的猜想呢？請同學(xué)們相互討論一下。
學(xué)生口述，把猜想的證明過程與“骨牌原理”進(jìn)行類比對照，一步一步對照挖掘。
師：（請學(xué)生歸納）同學(xué)們，現(xiàn)在我們一起來歸納什么叫做數(shù)學(xué)歸納法。
（1）啟發(fā)學(xué)生，這是“對一切正整數(shù)n”的證明，引導(dǎo)學(xué)生答出是“某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題”的證明。
（2）有幾步？
兩步。
第一步是證明什么？(1)證明：當(dāng)n=1時(shí)命題成立；
第二步呢？(2)證明：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
下結(jié)論：由（1）和（2）就可以斷定命題對于任何正整數(shù)n都成立。
這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。
師：現(xiàn)在我們來對數(shù)學(xué)歸納法這種全新的方法進(jìn)行一個(gè)簡單的剖析。
（1）第一句話界定了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍是“某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題的證明”。
（2）第一步的作用是什么？
類比骨牌原理來理解，“第一張骨牌要倒下”，即給所有骨牌倒下提供了基礎(chǔ)。類似地，第一步為命題成立提供了一個(gè)基礎(chǔ)，所以稱之為“歸納奠基”。
（3）第二步的作用是什么？
還是類比骨牌原理來理解，“如果第k塊倒下，那么要能保證第k+1塊也倒下”，再加之k的任意性，即保證了骨牌倒下去的傳遞性。類似的，第二步保證了命題成立的遞推性，所以稱之為“歸納遞推”。
（4）第二步的本質(zhì)是證明一個(gè)命題：條件是“當(dāng)n=k時(shí)命題成立”，結(jié)論是“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”，又由k的任意性，就保證了命題成立的遞推性。
7.例1的證明
學(xué)生動(dòng)手證明，再請學(xué)生講解，最后教師點(diǎn)評。
師：學(xué)習(xí)的目的是為了應(yīng)用，下面請大家小試牛刀。
大屏幕上呈現(xiàn)例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d。
我們一起來回顧之前發(fā)現(xiàn)an=a1+（n-1）d的過程。
學(xué)生回顧。
顯然之前用的是不完全歸納法，結(jié)論不一定正確，但是之前我們一直都在用，所以必須進(jìn)行“搶救性”的證明。
我們一起來分析題意。
題目給出的已知條件是“{an}是一個(gè)等差數(shù)列”，要證明的結(jié)論是“an=a1+（n-1）d對一切正整數(shù)n都成立”。
利用數(shù)學(xué)歸納法證明，就是要做以下事情。
第一步，驗(yàn)證“當(dāng)n=1時(shí)，等式成立”；
第二步，證明：如果當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即ak=a1+（k-1）d，那么當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，即ak+1=a1+[（k+1）－1]d。
師：（大部分學(xué)生完成后）請同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)一下規(guī)范的解題過程（教師展示規(guī)范的解答過程）。我們要善于從解題過程中歸納和提煉出解題方法和步驟。
用數(shù)學(xué)歸納法證明問題，要完成兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論。
（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)命題成立（簡言之就是：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)）；
（2）證明：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，那么n=k+1時(shí)命題也成立（可以用八個(gè)字概括：用上假設(shè)，遞推才真）；
（3）根據(jù)（1）、（2）可知，命題對任何正整數(shù)n都成立（寫明結(jié)論，才算完整）。
同學(xué)們，只要大家能深刻領(lǐng)會(huì)這二十四個(gè)字，以后在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，就可以做到得心應(yīng)手、游刃有余。
8.反例辨析及總結(jié)
師：下面通過兩個(gè)辨析題來加深對這兩步作用的理解。
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)、歸納并運(yùn)用了一種新的方法——數(shù)學(xué)歸納法。
（1）數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容是什么？你是怎么理解的？
（2）我們是怎么發(fā)現(xiàn)和歸納出這種方法的？
（3）你認(rèn)為需要繼續(xù)與同學(xué)或教師探討的問題是……
最后，教師贈(zèng)送給大家一首小詩，來概括本節(jié)課的要點(diǎn)。
同學(xué)齊聲朗讀：整數(shù)命題問解法，奠基遞推融歸納。兩步一論化無窮，方法思想行天下。掌聲響起。高潮即結(jié)束，讓人回味無窮。
二、回顧設(shè)計(jì)，意猶未盡
在接到重慶市教育科學(xué)研究院張曉斌老師的“確定我校為此次全國唯一現(xiàn)場展示課”的任務(wù)后，我們整個(gè)教研組既興奮激動(dòng)又倍感責(zé)任重大，專門開展了一次教研活動(dòng)，發(fā)動(dòng)全組成員查閱資料、出謀劃策、商討落實(shí)，最終落實(shí)執(zhí)教“數(shù)學(xué)歸納法”這一課題，并認(rèn)真組織學(xué)習(xí)了《全國中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》。
第一次教學(xué)設(shè)計(jì)與試講由張志華老師落實(shí)。他以數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用及提煉出應(yīng)用時(shí)的“三個(gè)注意”為主線，但未能體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，未明確數(shù)學(xué)歸納法（第一課時(shí)）的重點(diǎn)及難點(diǎn)。正在教研團(tuán)隊(duì)商討修改初步設(shè)計(jì)的同時(shí)，章建躍博士光臨我校，在聽課后，結(jié)合教研組的點(diǎn)評，提出如下意見。
（1）首先，這是一節(jié)數(shù)學(xué)思想方法課，對知識(shí)內(nèi)容的理解和定位，應(yīng)該以思想方法的來龍去脈為主線。
（2）為什么要引入數(shù)學(xué)歸納法？要造成一個(gè)認(rèn)知沖突，可由數(shù)學(xué)例子入手，數(shù)學(xué)味更濃，不可能一一列舉的情況怎么辦？
（3）本質(zhì)：無限的問題，采用有限的方法來解決，推薦參考華羅庚的著作《數(shù)學(xué)歸納法》。
（4）可以借助多米諾骨牌來形象理解數(shù)學(xué)歸納法，經(jīng)典的例子最生動(dòng)。
（5）難點(diǎn)是第二步：本質(zhì)是證明我們構(gòu)造的命題：條件是什么？結(jié)論是什么？再結(jié)合第一步，無限的問題就解決了。這樣就明確了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，“三個(gè)注意”不是重點(diǎn)，數(shù)學(xué)歸納法思想的體會(huì)才是重點(diǎn)，核心是第二步。要通過例題把步驟落實(shí)，并通過實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)，第二步實(shí)際上是證明一個(gè)“遞推命題”，并讓學(xué)生討論如果沒有用到歸納假設(shè)，為什么不行？
（5）例題要更簡單，最好不選不等式。要做到“高立意，低起點(diǎn)”，還要注意設(shè)置好探究點(diǎn)，要學(xué)生跳一跳，摸得著，要通過反復(fù)試講去尋找。
總之，整體結(jié)構(gòu)應(yīng)該是：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些證明方法？面對一個(gè)與全體自然數(shù)有關(guān)的命題，已有的方法能用嗎？我們該怎樣將涉及無限的問題轉(zhuǎn)化為有限步驟的證明？要把課上出數(shù)學(xué)味來，要思考怎么引入才自然？如何體現(xiàn)方法的構(gòu)造過程，特別是如何從多米諾骨牌的例子中挖掘出數(shù)學(xué)歸納法思想來？如何實(shí)現(xiàn)生活實(shí)例與數(shù)學(xué)含義的對接？
本次討論后，教研組基本形成共識(shí)，把教學(xué)設(shè)計(jì)的思考點(diǎn)聚焦到三大環(huán)節(jié)：引入環(huán)節(jié)（由數(shù)學(xué)實(shí)例引入）；多米諾骨牌的分析和數(shù)學(xué)歸納法的給出；數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用。從多米諾骨牌中得到啟發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)例子提煉出數(shù)學(xué)歸納法是難點(diǎn)。在簡單應(yīng)用環(huán)節(jié)，主要是通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)歸納法每一個(gè)步驟的意義，并規(guī)范書寫過程。
確定了大思路后，經(jīng)過重慶市教科院張曉斌老師與我校教研組多次的設(shè)計(jì)與打磨，明確了許多細(xì)節(jié)問題，并在課堂教學(xué)語言方面也進(jìn)行了精心錘煉。但大家始終覺得離一堂優(yōu)秀的全國展示課還欠缺點(diǎn)什么。
三、專家引領(lǐng)，出彩課堂
2014年12月6日上午，章建躍博士又親自到我校聽完張志華老師展示前的最后一次試講，在聽取了我校教研組的意見后，他充分肯定了我們的前期準(zhǔn)備工作，并針對課題引入環(huán)節(jié)的問題提出建議：將一個(gè)實(shí)例加三個(gè)數(shù)學(xué)問題的引入，簡化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題直接引入（就是現(xiàn)在的引入過程）。通過引入問題的式子結(jié)構(gòu)特征的形式化表達(dá)，直接觸碰到問題的本質(zhì)和核心，開門見山，數(shù)學(xué)味濃。后面圍繞著這個(gè)問題展開，自然引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也可以為后面的互動(dòng)環(huán)節(jié)留足更多的時(shí)間。這讓全組教師豁然開朗，充分感受到大家的大刀闊斧！張志華老師在接下來的一天時(shí)間里又對教學(xué)設(shè)計(jì)做了最后一次修改，同時(shí)也對師生互動(dòng)環(huán)節(jié)、語言的前后組織銜接做了又一次調(diào)整與設(shè)計(jì)。
本次展示課的設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)實(shí)踐使我們充分感受到，一堂好課來之不易，課堂教學(xué)的研究永無止境。此次展示活動(dòng)已漸行漸遠(yuǎn)，但我們的思考仍在繼續(xù)。本課的設(shè)計(jì)還有需要提升之處。如師生互動(dòng)環(huán)節(jié)，教師與學(xué)生之間的精彩互動(dòng)瞬間不太多；教師針對學(xué)生回答的精到點(diǎn)評有待挖掘；教師語言的幽默與課堂的行云流水也需不斷強(qiáng)化；等等。我們真誠地希望得到廣大同行們的幫助與建議。
參考文獻(xiàn)：
[1]華羅庚. 數(shù)學(xué)歸納法【M】。上海，上海教育出版社，1965。
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