一. 教學(xué)內(nèi)容：
高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法
二. 教學(xué)目的
掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用
三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用
四. 知識分析
【知識梳理】
數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察—－歸納—－猜想—－證明”的思維模式，就顯得特別重要。
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n = n 0時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設(shè)n = k（）時命題成立，證明當(dāng)
時命題也成立。
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。
數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。
【要點(diǎn)解析】
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步，即n＝k＋1時為什么成立，n＝k＋1時成立是利用假設(shè)n＝k時成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n＝k＋1時成立，而不是直接代入，否則n＝k＋1時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。
用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。
2、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤
（1）對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯。
（2）沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了。
（3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性。
【典型例題】
例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，
。
解析：①當(dāng)時，左邊
，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。
②假設(shè)時等式成立，即有，則當(dāng)時，
，
所以當(dāng)時，等式也成立。
由①，②可知，對一切等式都成立。
點(diǎn)評：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由到時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。
（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認(rèn)真對待，一般情況是把第一個值代入通項，考察命題的真假，（II）步驟②在由到的遞推過程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。
本題證明時若利用數(shù)列求和中的拆項相消法，即
，則這不是歸納假設(shè)，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。
（3）在步驟②的證明過程中，突出了兩個湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時證明的目標(biāo)，充分考慮由到時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。
例2. 。
解析：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，命題成立。
（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即
，
那么當(dāng)時，
左邊
。
上式表明當(dāng)時命題也成立。
由（1）（2）知，命題對一切正整數(shù)均成立。
例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式
成立。
解析：①當(dāng)時，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假設(shè)時，不等式成立，即
，
那么當(dāng)時，
，
∴時，不等式也成立。
由①，②知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立。
點(diǎn)評：（1）本題證明命題成立時，利用歸納假設(shè)，并對照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立。
（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時要注意兩個步驟缺一不可，第①步成立是推理的基礎(chǔ)，第②步是推理的依據(jù)（即成立，則成立，成立，……，從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立）。另一方面，第①步中，驗證中的未必是1，根據(jù)題目要求，有時可為2，3等；第②步中，證明時命題也成立的過程中，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)法用上歸納假設(shè)。
例4. 若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論。
解析：取，。
令，得，而，
所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，
，
（1）時，已證結(jié)論正確
（2）假設(shè)時，
則當(dāng)時，有
，
因為，
所以，
所以，
即時，結(jié)論也成立，
由（1）（2）可知，對一切，
都有，
故a的最大值為25。
例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。
解析：方法一：令，
（1）能被9整除。
（2）假設(shè)能被9整除，則
∴能被9整除。
由（1）（2）知，對一切，命題均成立。
方法二：（1），原式能被9整除，
（2）若，能被9整除，則時
∴時也能被9整除。
由（1），（2）可知，對任何，能被9整除。
點(diǎn)評：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，而采用增項、減項、拆項和因式分解等手段湊出時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證。
例6. 求證：能被整除，。
解析：（1）當(dāng)時，，命題顯然成立。
（2）設(shè)時，能被整除，
則當(dāng)時，
。
由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被整除，
故時命題成立。
由（1）（2）可知，對，命題成立。
例7. 平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點(diǎn)，且無三個圓交于一點(diǎn)，求證：這n個圓將平面分成個部分。
解析：①時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立。
②假設(shè)時，個圓將平面分成個部分，
當(dāng)時，
第k+1個圓交前面k個圓于2k個點(diǎn)，這2k個點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成個部分，即個部分。
故時，命題成立 。
由①，②可知，對命題成立。
點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。
例8. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，使等式對于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。
解析：當(dāng)時，由，
得，
當(dāng)時，由，
得，
猜想。
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時，等式恒成立。
①當(dāng)時，由上面計算知，等式成立。
②假設(shè)成立，
那么當(dāng)時，
∴當(dāng)時，等式也成立。
由①②知，對一切的自然數(shù)n，等式都成立。
故存在函數(shù)，使等式成立。
點(diǎn)評：（1）歸納、猜想時，關(guān)鍵是尋找滿足條件的與n的關(guān)系式，猜想的關(guān)系未必對任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出，即
。
【模擬試題】
1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成
A. 假設(shè)時，命題成立
B. 假設(shè)時，命題成立
C. 假設(shè)時，命題成立
D. 假設(shè)時，命題成立
2. 證明，假設(shè)時成立，當(dāng)1時，左端增加的項數(shù)是
A. 1項 B. 項 C. k項 D. 項
3. 記凸k邊形的內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角和（ ）
A. B. C. D.
4. 某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若時命題成立，那么可推得當(dāng)時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)時，該命題不成立，那么可推得
A. 當(dāng)時，該命題不成立
B. 當(dāng)時，該命題成立
C. 當(dāng)n=4時，該命題不成立
D. 當(dāng)n=4時，該命題成立
5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由到時，不等式左邊應(yīng)添加的項是
A. B. C.
D.
6. （5分）在數(shù)列中，，且，，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前n項和），則，，分別為__________；由此猜想___________。
7. （5分）已知對一切都成立，那么a=_____________，b=_____________，c=_____________。
8. （14分）由下列各式：
，，，，……你能得出怎樣的結(jié)論？并進(jìn)行證明。
9. （16分）設(shè)數(shù)列滿足，。
（1）證明：對一切正整數(shù)n均成立；
（2）令，判斷與的大小，并說明理由。
10. （14分）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，。
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明
（2）證明：。
11. （16分）（2006年，江西）已知數(shù)列滿足：，且
。
（1）求數(shù)列的通項公式；
【試題答案】
1. B 2. D 3. B 4. C 5. C
6. ，，，
7. ，，
8. 解：對所給各式進(jìn)行觀察比較，注意各不等式左邊最后一項的分母特點(diǎn)：，，，，…，猜想為，對應(yīng)各式右端為。
歸納得一般結(jié)論
①當(dāng)時，結(jié)論顯然成立。
②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，
即成立，
則當(dāng)時，
，即當(dāng)時結(jié)論也成立。
由①②可知對任意，結(jié)論都成立。
9. 解：（1）證明略。
（2）方法一：
，
∴。
方法二：
（由（1）的結(jié)論）
=
，
∴。
方法三：
，
故，因此。
