我們小時候就知道阿基米德的名言：給我一個支點，我可以撬起地球。說的是利用一根杠桿可以省力。

阿基米德真的能夠翹起地球嗎？要做出判斷，首先要知道地球的質(zhì)量，而要測量地球質(zhì)量，首先要測出地球半徑。

地球半徑的測量

人們在很早的時候就知道了地球是球體。最早的學(xué)霸畢達哥拉斯第一個提出了地球的概念，而亞里士多德總結(jié)了證明地球是球體的三種方法：

1. 越往北走，北極星越高；越往南走，北極星越低

2. 遠航的船只，先露出桅桿頂，慢慢露出船身

3. 在月食的時候，地球投到月球上的形狀為圓形。

既然地球是球體，如何測量地球的半徑呢？古希臘的埃拉托斯特尼第一個測量了地球的半徑。

他的測量方法是這樣的：在夏至日的時候，太陽光直射北回歸線。而埃及的城市阿斯旺剛好在北回歸線附近，所以夏至日的正午，太陽光會垂直于阿斯旺的水平面，射入阿斯旺的一口深井中。

于此同時，阿斯旺北方的城市亞歷山大，太陽光并不直射地面。他通過測量此時亞歷山大城中一個石塔的高和影子長度的關(guān)系，得到了此時太陽光與垂直地面方向的夾角，大約為7度。

由于太陽到地球的距離遠遠大于地球的半徑，因此太陽光到達地球時接近于平行光。從上圖中的幾何關(guān)系可以看出：亞歷山大和阿斯旺與地心連線的夾角就是7度，所以兩座城市之間的距離大約是地球圓周長的7/360。通過測量兩座城市之間的距離，就得到了地球半徑的周長和半徑。如今我們知道，地球赤道的周長大約4萬千米，而半徑大約6400千米。

雖然早在兩千多年前，地球半徑就被測量出來了，但是測量出地球質(zhì)量卻是十八世紀(jì)的事了。

地球質(zhì)量的測量

牛頓為了解釋蘋果為什么能落地，提出了萬有引力定律：自然界的任意兩個物體之間都相互吸引，引力大小與二者質(zhì)量的乘積成正比， 與距離的平方成反比。

其中F是引力，G是萬有引力常數(shù)，m1和m2分別是兩個物體的質(zhì)量，r是二者的距離。

如果兩個物體的尺寸遠遠小于它們之間的距離，就可以把物體當(dāng)作點來處理。但是如果物體距離比較近，那么二者的距離究竟從什么地方開始計算，就比較復(fù)雜了。但是，如果是質(zhì)量分布均勻的球體，二者之間的萬有引力還是比較好算的，那就是把它們球心的距離代入表達式中的r即可。

比如，地球上有一個蘋果。蘋果相比于地球半徑很小，所以可以把蘋果看作一個點。此時蘋果與地心之間的距離就是 地球半徑R，設(shè)地球質(zhì)量為M，蘋果質(zhì)量為m，二者之間的萬有引力就是：

這個力就是地球?qū)ξ矬w的吸引力，它接近于物體的重力，在這里我們姑且認(rèn)為它就等于物體的重力。人們把重力與物體質(zhì)量的比稱為重力加速度

這樣，我們就可以得到地球質(zhì)量

這個公式就稱為黃金公式。

古希臘時代人們就測量出了地球半徑R=6400公里，牛頓之后人們又測量出了重力加速度g=9.8N/kg，所以，只需要測量出萬有引力常數(shù)，就可以知道地球的質(zhì)量了。

萬有引力常數(shù)

牛頓在1687年巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中完整的提出了萬有引力定律，但是限于實驗條件，牛頓自己并沒有測量出這個量。直到一百多年之后，1797年，英國科學(xué)家卡文迪許才通過精巧的扭秤實驗測量出了G的數(shù)值。

卡文迪許扭秤實驗使用了微小形變放大的方法，原理圖如下：

用一根線懸掛一根木棒，木棒兩側(cè)各放置一個小鉛球，再用兩個大鉛球去吸引小鉛球。此時木棒就會發(fā)生轉(zhuǎn)動，通過測量轉(zhuǎn)動的角度，卡文迪許就可以計算兩球之間的吸引力，再通過萬有引力公式，就計算出了萬有引力常數(shù)的值。目前我們的測量結(jié)果是

也就是說，兩個質(zhì)量為1kg的球相距1m時，引力只有千億分之幾牛，這么小的引力，怪不得牛頓沒有測出來。

通過以上的步驟，人們終于可以計算地球質(zhì)量了，大約是

卡文迪許測量了萬有引力常數(shù)，所以就可以計算地球質(zhì)量，人們稱卡文迪許為“測出地球質(zhì)量的人。”為了紀(jì)念卡文迪許，英國劍橋大學(xué)物理系實驗室被命名為“卡文迪許實驗室”，這也是目前世界上最頂尖的實驗室之一。

阿基米德能翹地球嗎？

我們終于可以討論翹地球的問題了！我們知道，阿基米德的時代，人們還不能理解引力的概念。我們姑且認(rèn)為阿基米德是要在地球上翹起一個與地球相同質(zhì)量的物體，那么他是否做得到呢？

根據(jù)阿基米德發(fā)現(xiàn)的杠桿原理：一個杠桿要平衡，兩段施加的力與力臂的乘積應(yīng)該相等，即：F1D1=F2D2

這樣一來，如果想用小力去撬動大物體，就需要小力的力臂遠遠大于大物體的力臂。

假設(shè)阿基米德有100kg，而地球質(zhì)量為6乘10的24次方千克，阿基米德要撬動地球，力臂就需要比地球那一段長6乘10的24次方倍。

如果阿基米德要把地球撬起1厘米，那么根據(jù)杠桿臂長的比例關(guān)系，阿基米德一端所需要下降的距離就是6乘10的22次方米，大約相當(dāng)于6萬光年。也就是說，阿基米德想憑借自身重力撬起地球的話，即使一切實驗設(shè)備都準(zhǔn)備好了，而且他能夠以光速運動，他也需要6萬年的時間才能將地球撬起一厘米。顯然，這是不可能的。

阿基米德的豪言壯語點破了杠桿原理，但是卻忽視了地球與人質(zhì)量的巨大差別。

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