在高中的數(shù)學(xué)課本中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常奇妙的數(shù)——“虛數(shù)”。為什么說虛數(shù)奇妙呢？因?yàn)?，不管是正?shù)還是負(fù)數(shù)，平方（自己與自己相乘）之后一定會(huì)得到正數(shù)。但虛數(shù)的平方卻是負(fù)數(shù)。這樣的數(shù)，好像在日常生活中并不存在吧。
那么，為什么要學(xué)虛數(shù)呢？那是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)里，虛數(shù)具有極其重要的作用。實(shí)際上，如果沒有虛數(shù)，數(shù)的世界就會(huì)變得不完整。另外，對于探明微觀世界的“量子力學(xué)”來說，虛數(shù)也是不可或缺的。
虛數(shù)不虛：從虛幻到實(shí)用
人們研究虛數(shù)的動(dòng)力來自一元三次方程的根式求解。中學(xué)都學(xué)過一元二次方程的根式求解，其中最關(guān)鍵的方法就是配方法。如果遇到x2＋1＝0的情形，人們會(huì)認(rèn)為該方程無解，不予深究和討論。當(dāng)人們掌握了一元二次方程的根式求解方法后，自然想知道三次、四次方程是否也能進(jìn)行根式求解。
在16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們開始探討這個(gè)問題，并找到了一種方法將三次方程的求解化為二次方程的求解。比如，遇到x3＝15x＋4這種三次方程，就可以將求解問題轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)數(shù)的和等于4，乘積等于125”這樣的二次方程的求解問題。顯然，由于該二次方程的判別式小于0，故在實(shí)數(shù)域中無解。但是，這個(gè)三次方程顯然有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即x＝4。于是，這種矛盾的存在就促使人們引進(jìn)了虛數(shù)及其四則運(yùn)算，通過對轉(zhuǎn)化的二次方程引入虛數(shù)解而得到三次方程的實(shí)數(shù)解。
虛數(shù)引進(jìn)后，在數(shù)學(xué)界引起不小的爭議。一些著名數(shù)學(xué)家，如笛卡爾、牛頓、納皮爾（對數(shù)的引進(jìn)者）等不承認(rèn)虛數(shù)。比如，笛卡爾認(rèn)為這種數(shù)是“想象中的數(shù)”，因此將其命名為imaginaire，但也有數(shù)學(xué)家如棣莫弗、歐拉等開始積極使用虛數(shù)，并建立了棣莫弗公式和歐拉公式，從而將三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)聯(lián)系在一起。目前普遍使用的純虛數(shù)單位i就是由歐拉引入的。
但“虛數(shù)是否具有實(shí)際的意義”這個(gè)問題仍困惑著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。直到數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的幾何與向量解釋，特別是數(shù)學(xué)家高斯，將這類數(shù)命名為復(fù)數(shù)，提出了復(fù)平面的概念，給出了復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中的可視化表示，從而結(jié)束了這場爭議。正如實(shí)數(shù)對應(yīng)于一條直線上的點(diǎn)（實(shí)軸），復(fù)數(shù)對應(yīng)的是平面中的點(diǎn)（復(fù)平面）。復(fù)數(shù)有大小有方向，與力、速度、加速度等物理量的向量特征吻合，這為復(fù)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用埋下了天然伏筆。
復(fù)數(shù)具有同實(shí)數(shù)相同的四則代數(shù)運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律。但與實(shí)數(shù)不同的是，復(fù)數(shù)對開方運(yùn)算也是封閉的（代數(shù)閉域）。復(fù)數(shù)域上n次多項(xiàng)式方程恰有n個(gè)根，這被稱為“代數(shù)基本定理”。復(fù)數(shù)有豐富的代數(shù)、幾何、度量、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，復(fù)數(shù)間的映射還可以探討連續(xù)、光滑、解析等分析結(jié)構(gòu)。結(jié)合微積分，人們在19世紀(jì)建立了神奇美妙的復(fù)變函數(shù)論。20世紀(jì)，又產(chǎn)生了多復(fù)變函數(shù)論與復(fù)幾何這些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域課題。
復(fù)數(shù)的引入，不但對數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且對科學(xué)、技術(shù)、工程的發(fā)展也起到了非常重要的作用。高斯、庫默爾利用復(fù)數(shù)研究平方和問題與費(fèi)馬大定理。黎曼利用復(fù)變函數(shù)研究素?cái)?shù)分布問題。雖然這些數(shù)論問題看起來與復(fù)數(shù)毫無關(guān)系，但卻都能利用復(fù)數(shù)探索解決的方法。僅在蘇聯(lián)出版的《復(fù)變函數(shù)論方法》一書中，就列舉了復(fù)變函數(shù)論在流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)、彈性理論、電磁學(xué)、電工學(xué)、電路計(jì)算、機(jī)翼設(shè)計(jì)、地下水、堤壩設(shè)計(jì)等科學(xué)與工程問題中的重要應(yīng)用。而復(fù)分析與復(fù)幾何則能幫助我們從更基礎(chǔ)的層面認(rèn)知自然世界及時(shí)空的概念。
從“虛幻”到“實(shí)用”，“虛數(shù)”其實(shí)不虛，由此而來的復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)更是具有神奇的作用。復(fù)變函數(shù)已成為大學(xué)理工科的必修科目。虛數(shù)本是為構(gòu)建科學(xué)知識(shí)體系而引入的，引入時(shí)既無實(shí)際應(yīng)用背景，也無實(shí)際應(yīng)用需求。但現(xiàn)在看來，沒有虛數(shù)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)體系將嚴(yán)重殘缺不全。
我們應(yīng)重視“無用之用”的科學(xué)研究。莊子曰：“人皆知有用之用, 而莫知無用之用也”。復(fù)數(shù)的研究正是“無用之用”的研究。古人說的“探賾索隱，鉤深致遠(yuǎn)”和“格物致知”道出了科學(xué)研究的真諦。科學(xué)研究正是從已知探索未知以求新知，構(gòu)建科學(xué)知識(shí)體系。正如徐光啟所說“無用之用，眾用之基”，“無用之用”的科學(xué)研究，正是通過所構(gòu)建的科學(xué)知識(shí)體系，而成為許多實(shí)用技術(shù)的基礎(chǔ)與源頭，不斷造福人類。
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