邵劍 蔣孝星 構(gòu)造，就是按照人們某種期望的目標或需要去設(shè)計某個函數(shù)、方程、系統(tǒng)、或結(jié)構(gòu)的工作，也是數(shù)學(xué)中常用的一種創(chuàng)造性思維方法，但它常常困擾著學(xué)生。顯然，在教學(xué) 中讓學(xué)生掌握構(gòu)造的思想具有深遠而現(xiàn)實的意義，因為它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的一種切實可行的教學(xué)行為，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的一種重要訓(xùn)練手段。 一、特殊與一般 人們對現(xiàn)實世界的認識總是先從認識個別的與特殊的事物開始，只有認識了許多事物的特殊的本質(zhì)后，才能從中概括出它們共同的本質(zhì)。然后，又以這種共同的認識為指導(dǎo)，對于尚未研究過的或者尚未深入地研究過的各種具體事物進行研究，找出其特殊的本質(zhì)，并補充、豐富和發(fā)展其共同本質(zhì)的認識。數(shù)學(xué)中構(gòu)造的一個基本思想就是基于特殊與一般對立雙方的轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注事物的特殊與一般，即個性與共性的辯證關(guān)系顯得十分重要。 例如，基于一般概括了特殊這一思想，特殊與一般還存在著如下關(guān)系： 二、兩種常用的思維方法 三、函數(shù)構(gòu)造
特殊與一般是相對而言的。在某種意義下，事物P相對于事物Q是特殊的，事物Q相對于事物P是一般的；在另一種意義下，事物Q相對于事物R卻具有其特殊性，事物R相對于事物Q與P具有一般性。
特殊與一般，個性與共性，是既對立又統(tǒng)一的兩個范疇，任何事物都是共性與個性的有機統(tǒng)一。共性比個性深刻，個性又比共性豐富，個性是共性的基礎(chǔ)。就是說，事物的特殊性中包含著一般性，即共性存在于個性之中。同時，共性又是個性的共同本質(zhì)，共性統(tǒng)攝個性；個性體現(xiàn)共性，個性與共性相聯(lián)系但又不能脫離共性。或者說，一般性概括了特殊性。數(shù)學(xué)中處處體現(xiàn)著這種辯證關(guān)系。
(1)若命題P在一般情況下為真，則在特殊情況下也真；
(2)若命題P在特殊情況下為假，則在其一般情況下也為假。
正是由于這些關(guān)系，人們常常在判定某一命題是否正確時要作嚴格的數(shù)學(xué)證明；而判斷某一命題為假時，只要舉出一個反例即可，其中后者是利用由特殊否定一般的思想，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中曾發(fā)揮過許多重要的作用，它在是非選擇題中的現(xiàn)實作用也是顯而易見的。人們經(jīng)常使用的反證法的思想也是基于(2)的否定作用，因為用反證法證明“若A則B”就是反證“既A且非 B”為假。
相對于一般而言，特殊的事物往往顯得簡單、直觀和具體，并為人們所熟知。相對于特殊而言，一般性比特殊性更能反映事物的本質(zhì)，具有深刻的意義，使人們能在更為廣闊的領(lǐng)域內(nèi)使用更高層次上的思想和方法去分析研究問題。
充分注意到一般性存在于特殊性之中的這一思想，應(yīng)分析考慮有沒有可能把待解決的某個數(shù)學(xué)問題化歸為相對一般性的問題去研究。這種思考方式是可行的，但這時需要在特殊的某個數(shù)學(xué)問題中去發(fā)掘一般性的特性，而且相對一般的問題為人們更熟悉。這種思維方式是由特殊到一般的化歸。
再由一般性概括了特殊性的思想可知，一般性問題研究的結(jié)果當然適用于其特殊情形，故人們又常常把一般性的結(jié)論反演到相對特殊的待處理的原問題，這是一種由一般到特殊的化歸。
特殊與一般關(guān)系的上述兩種思維方法乃是同一事物之相反相成的兩個方面，它們互相制約、互相補充，缺一不可，每個方面又有其獨特的作用，使人們在處理問題時既不失之偏頗，又不致無所適從。由特殊到一般和由一般到特殊的兩種認識方法是人類認識客觀世界的一個普遍規(guī)律。任何一門學(xué)科，當然包括數(shù)學(xué)，都受到這一規(guī)律的制約，在數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)這兩種思維方法是重要的。
函數(shù)構(gòu)造，是按照人們某種期望或根據(jù)待解決問題的某些特殊性特性，構(gòu)造具有一般性特性的某個函數(shù)，然后這個函數(shù)的研究結(jié)果在某種特定情況下就是所考慮問題的結(jié)果。顯然，這是一個既實用又有深度的辦法。前者構(gòu)造函數(shù)的工作是由特殊到一般的化歸，后者是由一般到特殊的化歸。整個工作可以用下列框圖表示：
利用這種思想構(gòu)造函數(shù)可以使證明等式、不等式與方程實根的討論等問題 都顯得簡潔和諧?；谝话阈源嬖谟谔厥庑灾械乃枷耄藗兂３０训仁?、不等式、方程等作為函數(shù)的特殊形式，置它們于函數(shù)之中，使等式、不等式、方程等在更為一般更為廣闊的函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)得到研究。尤其當方程、不等式、方程的解受到較為復(fù)雜的條件約束時，構(gòu)造的函數(shù)可以幫助人們克服一些不必要的麻煩。例如，由數(shù)列｛f(n)｝的通項f(n)構(gòu)造函數(shù)f(x)便可獲得更大的自由度。
根據(jù)期望的不同要求，可分為按實際問題的背景構(gòu)造函數(shù)；按幾何意義構(gòu)造函數(shù)；由指定的定義域構(gòu)造函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)經(jīng)變量替換構(gòu)造函數(shù)；依照期望的函數(shù)性質(zhì)(如建立奇、偶函數(shù)，周期函數(shù)等)構(gòu)造函數(shù)等等都是大家熟悉的函數(shù)構(gòu)造方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)構(gòu)造的思想不僅具有現(xiàn)實意義，而且可以提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維境界。
