矩陣的轉(zhuǎn)置
設(shè)
是一個(gè)
矩陣, 將
的行與列互換, 得到的一個(gè)
矩陣
.
稱
為
的
轉(zhuǎn)置矩陣, 簡稱為
的
轉(zhuǎn)置.
矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律見
提示 2.4.
例 6 證明: 任何一個(gè)
階方陣總可以
唯一地寫成一個(gè)
對稱矩陣和一個(gè)
反對稱矩陣的和.
證明 設(shè)
是一個(gè)
階方陣. 令
那么
所以是對稱矩陣. 又因?yàn)?/p>
故
為反對稱矩陣, 且
.
所以
可表為一個(gè)對稱矩陣與一個(gè)反對稱矩陣的和.
我們將唯一性的證明留給讀者.
對于一個(gè)方陣
, 我們可以考慮所對應(yīng)的行列式
稱
為
矩陣 的行列式. 如果
, 則稱方陣
是
非退化的.
定理 1
兩個(gè)
階方陣乘積的行列式等于因子的行列式的乘積, 即:
.
定義 1
設(shè)
是
階方陣, 若存在
階方陣
, 使得
,
則稱
是
可逆矩陣(或
可逆方陣), 稱
為
的
逆矩陣(或
逆方陣), 記作
.
定義 2
設(shè)
階方陣
,
是
中元素
的代數(shù)余子式, 則矩陣
稱為的伴隨矩陣.
由行列式按行展開定理可知,
,
所以我們可得
定理 2
方陣
可逆的充分必要條件是
是非退化的, 且當(dāng)
可逆時(shí),
的逆方陣
其中
是
的伴隨矩陣.
例 7 判斷 3 階方陣
是否可逆. 如果可逆, 求逆矩陣
.
解 因?yàn)?
, 所以由定理 2.2 知
可逆, 并且
為求
, 計(jì)算
的各元素的代數(shù)余子式, 得
因此
的伴隨矩陣
,
所以,
.
矩陣的逆具有如下一些性質(zhì)
(1) 如果
,
都是可逆矩陣, 那么
也可逆, 且
.
(2) 如果
可逆,
是一非零數(shù), 則
也可逆, 且
.
(3) 如果
可逆, 則
也可逆, 且
.
(4) 如果
可逆, 則
.
矩陣的初等變換
定義 3
矩陣的初等行變換是指對矩陣施行以下三種類型的變換:
1. 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某行中的每個(gè)元素;
2. 交換矩陣的兩行;
3. 把矩陣某一行乘以一個(gè)數(shù)后加到另一行.
相應(yīng)地, 我們也可以定義矩陣的初等列變換.
下面我們介紹矩陣求逆的另一種方法, 即:初等變換法.
對給定的
階可逆方陣
, 將一個(gè)
階單位方陣
放在
的右邊構(gòu)成一個(gè)
階矩陣
, 對該矩陣施行初等行變換, 目標(biāo)是把左半邊的
化為單位方陣
, 此時(shí)右半邊的
跟著進(jìn)行了同樣的變換,它就是我們要求的
, 即
.
例 8 設(shè)
求
.
解 我們用(I),(II),(III)分別來表示矩陣的第一、二、三行, 則
所以,
