數(shù)學(xué)和力學(xué)這兩個學(xué)科，有點像親姐妹一樣，她們結(jié)伴成長。在歷史發(fā)展的長河中，主流數(shù)學(xué)和力學(xué)的發(fā)展總是同步的。一方面的突破，意味著在另一方面也有飛躍。
在16世紀之前，力學(xué)的主流是靜力學(xué)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)是歐氏幾何和簡單的代數(shù)運算。到16世紀，開始了動力學(xué)研究，相應(yīng)的數(shù)學(xué)發(fā)展出變量的數(shù)學(xué)，即微積分，幾何上的發(fā)展就是解析幾何，特別是相應(yīng)于行星運行軌道的認識，關(guān)于二次曲線的幾何學(xué)有了充分的發(fā)展。
17世紀和18世紀，隨著分析力學(xué)的發(fā)展，變分法發(fā)展成熟，隨著力學(xué)系統(tǒng)多自由度的概念的形成，幾何方面有流形和黎曼幾何的發(fā)展。到了19世紀，由于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，即彈性力學(xué)和流體力學(xué)以及傳熱學(xué)的發(fā)展，偏微分方程相應(yīng)地也得到飛速的發(fā)展。
數(shù)學(xué)和力學(xué)這兩門學(xué)科在發(fā)展上的結(jié)伴而行的特點，不能不體現(xiàn)在這兩個學(xué)科的代表人物的特點上。我們看出，歷史上最著名的數(shù)學(xué)家，一般也同時是最著名的力學(xué)家。
如果讓你在19世紀以前，在世界范圍內(nèi)選六位最著名的數(shù)學(xué)家。你會選誰。我想多數(shù)人會選這樣六位：阿基米德、牛頓、萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、柯西。
可是你曾想到，這六位同時也是頂尖的力學(xué)家。對于他們的生平業(yè)績，由于他們的名氣很大，每個人都有專門的傳記著作，我們不想重復(fù)羅列他們的貢獻。而只簡要說明他們是數(shù)學(xué)與力學(xué)兼一身的大師。
阿基米德（Archimedes, 287 BC---212BC），力學(xué)學(xué)科最早的集大成者，后人譽為“力學(xué)學(xué)科之父”。在力學(xué)方面最著名的貢獻是：液體的浮力原理、一系列圖形的重心計算方法、基于嚴密論證的杠桿原理、拋物線旋轉(zhuǎn)體在液面上平衡穩(wěn)定性條件。
在數(shù)學(xué)上，他給出曲線圍成簡單圖形的體積和重心的計算方法，從而引進了簡單的極限概念。
牛頓(Isaac Newton,1642，12，25－1727，3，20)。在力學(xué)方面，他是自由質(zhì)點運動規(guī)律的奠基人，也是天體力學(xué)的奠基人。后人稱他為經(jīng)典力學(xué)的奠基人。他以嚴格的方式論證了，在與距離的平方成反比例的萬有引力作用下，行星的軌跡是 橢圓，并且從理論上導(dǎo)出了基于觀察建立的行星運動的開普勒定律。寫出了名垂史冊的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。
在數(shù)學(xué)上他是微積分的創(chuàng)始人之一。
這兩項成果，實際上，乃是16世紀之后飛速發(fā)展著的現(xiàn)代科學(xué)的基石。
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646－1716），是與牛頓同時代的人。他在數(shù)學(xué)上人所周知的貢獻是和牛頓同時發(fā)明了微積分。而他在力學(xué)上的貢獻，卻不大為人注意。其實，他在力學(xué)上的貢獻就是影響深遠的動能守恒定律的提出。在萊布尼茲之前，人們對于表述質(zhì)點運動的速度、加速度、和動量，都給予了充分的注意，而萊布尼茲卻最早注意到表述質(zhì)點運動的動能。只要注意隨后約翰·伯努利（Johaun Bernoulli，1667-1748）提出和被科里奧利精確化的虛功原理，以后分析力學(xué)發(fā)展以及力學(xué)中一系列作用量的引進，就能夠理解這個概念的影響深遠了。
萊布尼茲，除了在數(shù)學(xué)和力學(xué)上表現(xiàn)的特殊天才外，他在許多領(lǐng)域中都表現(xiàn)出卓越的才能：法律、宗教、政治、歷史、文學(xué)、邏輯、哲學(xué)。然而，他并不是人們所說的“樣樣精通，樣樣稀松”。而當人們讀以上每一方面的歷史時，都會遇到他的名字。所以人們說，萊布尼茲是人類歷史上最后一位全才。
歐拉（Leonhard Euler,1707－1783），1697年，約翰·伯努利將他提出的最速落徑問題推廣，提為短程線問題。歐拉作為在約翰·伯努利指導(dǎo)之下的學(xué)生，于21歲時解決了這個問題，并且與拉格朗日一起發(fā)明了變分法這個數(shù)學(xué)工具。歐拉在數(shù)學(xué)上，是一位全才，他在數(shù)學(xué)的三個主要分支：分析、幾何和代數(shù)上都有奠基性的貢獻，他在力學(xué)上也是一位全才， 他在力學(xué)的三個主要分支：流體力學(xué)、固體力學(xué)和一般力學(xué)方面，都有奠基性的貢獻。流體力學(xué)方面，他給出了理想流體的運動方程。在一般力學(xué)方面，他給出了剛體運動的歐拉方程。在固體力學(xué)方面他給出了最早的彈性桿的非線性問題的解。
拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736，1，25－1813，4，11)，是分析力學(xué)和變分法的奠基人。1788年他經(jīng)20多年的努力寫成的《分析力學(xué)》是力學(xué)史上劃時代的文獻。這本書開辟了約束力學(xué)系統(tǒng)的歷史。至今人們用的拉格朗日坐標和拉格朗日方程，就是這本書的主要成果。此外他在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)等方面也有重要的貢獻。
可以明白地看出拉格朗日在數(shù)學(xué)上的貢獻，如變分法、偏微分方程、數(shù)學(xué)分析中的一些基本定理等，主要是圍繞著他對徹底解決他對分析力學(xué)的追求展開的。不過在代數(shù)方程的近似求解、函數(shù)的插值等方面，他仍然有許多重要工作。
柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789,821—1857,523)，在力學(xué)上他是彈性力學(xué)的奠基人。在數(shù)學(xué)上，他又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析嚴格化的奠基人。
我們今天在彈性力學(xué)中一開始引進的應(yīng)變和應(yīng)力的概念、平衡方程的概念，廣義胡克定律的概念，都是柯西于19世紀20到30年代引進的?？挛髟跀?shù)學(xué)上，對偏微分方程理論和復(fù)變函數(shù)理論的建立，給出過奠基性的工作，至今人們說的柯西初值問題，柯西-黎曼條件，都是這方面的基本結(jié)果。
我們從以上介紹的六位學(xué)者來看，的確說不出他們的貢獻到底是以數(shù)學(xué)為主還是以力學(xué)為主。我們只能說，他們都是數(shù)學(xué)力學(xué)家，而不能簡單地把他們稱為數(shù)學(xué)家或力學(xué)家。
從這里我們至少可以悟出一點道理，在19世紀之前，力學(xué)和數(shù)學(xué)是不分家的。不過，這話也不能說絕對了，這對于以上所舉的第一流的學(xué)者當然是對的，不過對于他們之外的學(xué)者，就不能一概而論了。例如伽利略和惠更斯，就主要偏重于力學(xué)，達朗貝爾、拉普拉斯、哈密爾頓、高斯就是數(shù)學(xué)與力學(xué)兼長的學(xué)者，而像黎曼、維爾斯特拉斯、伽羅華等數(shù)學(xué)家，就主要成果偏重在純數(shù)學(xué)方面?？偲饋碚f，大部分有名的數(shù)學(xué)家都是力學(xué)家，至少他們對力學(xué)是很熟悉的。
進入20世紀，人類的知識分得愈來愈細，不僅像萊布尼茲那樣的知識全才很少見了，即便是在數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域中像歐拉那樣跨越數(shù)學(xué)和力學(xué)所有主要分支都作出重要貢獻的學(xué)者也是少見的了。
美國學(xué)者維納（Norbert Wiener，1894-1964）在他1948年出版的《控制論》書中說：“從萊布尼茲以后，似乎再沒有一個人能夠充分地掌握當代的全部知識活動了。從那時起，科學(xué)日益成為專門家愈來愈狹窄領(lǐng)域內(nèi)進行著的事業(yè)。在上一世紀，也許沒有萊布尼茲這樣的人，但還有一個高斯、一個法拉地、一個達爾文。今天沒有幾個學(xué)者不加任何限制而自稱為數(shù)學(xué)家，或者物理學(xué)家，或者生物學(xué)家。一個人可以是一個拓撲學(xué)家，或者一個聲學(xué)家，或者一個甲蟲學(xué)家。他滿嘴是他那個領(lǐng)域的行話，知道那個領(lǐng)域的全部文獻、那個領(lǐng)域的全部分支，但是，他往往會把鄰近的科學(xué)問題看作與己無關(guān)的事情，而且認為如果自己對這種問題發(fā)生任何興趣，那是不能允許的侵犯人家地盤的行為?！盵1]
既然在20世紀，一位數(shù)學(xué)家連主要的數(shù)學(xué)分支都很難跨越，是否在20世紀杰出的數(shù)學(xué)家和力學(xué)學(xué)科就此絕緣了呢?？峙虏荒苓@樣說，由于數(shù)學(xué)和力學(xué)，從學(xué)科上的密切的血緣關(guān)系。最著名的數(shù)學(xué)家，對力學(xué)還是作出了杰出的貢獻的。我們僅舉20世紀最著名的三位頂級的數(shù)學(xué)家：龐加萊、希爾伯特和柯爾莫哥洛夫為例，來說明這種密切關(guān)系。
法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Jules Henri Poincaré,1854－1912），在數(shù)學(xué)史上他是涉獵數(shù)學(xué)各個分支，包括純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的最后一個人，所以他被譽為數(shù)學(xué)上的最后一位通才。
龐加萊一生用了比較多的精力從事天體力學(xué)的研究，他研究被抽象為n個質(zhì)點相互在萬有引力作用下的運動問題，一般被稱為n體問題。當n=2時已由牛頓解決，當n等于大于3時，問題就變得極為困難。
龐加萊的三卷名著《天體力學(xué)的新方法》（1892、1893、1899）集中收集了他在這一問題上的研究成果。由于解決這一問題時，書中包含了他的一系列新的數(shù)學(xué)成果，如極限環(huán)理論、微分方程定性理論、由此引發(fā)的關(guān)于拓撲學(xué)的研究與成果、動力系統(tǒng)改變量方程的方法等等。他的成果，標志著動力系統(tǒng)從定量研究向定性研究的新的歷史時期?？梢哉f，這些成果，既是屬于數(shù)學(xué)的成果也是屬于力學(xué)的成果。
德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（Divid Hilbert, 1862－1943），他在數(shù)學(xué)中涉獵也比較廣，他從事過代數(shù)不變量問題、代數(shù)數(shù)論、幾何基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)的證明論等領(lǐng)域的研究。他在1900年巴黎世界數(shù)學(xué)家大會上關(guān)于數(shù)學(xué)23個問題的報告，幾乎影響了整個20世紀數(shù)學(xué)研究。
然而希爾伯特，雖然主要的興趣大多集中于純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域。不過，他對力學(xué)和物理問題的興趣，仍然是濃厚的。特別值得提出的是，他對于變分問題和積分方程的研究，導(dǎo)致數(shù)理問題譜理論的建立，這項成果就是后來所謂希爾伯特空間理論。希爾伯特空間理論的重要性，是把歐氏幾何的原則推廣到函數(shù)空間，從而為連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的求解和定性討論奠定了理論基礎(chǔ)。
希爾伯特在物理方面的另一項重要研究是物理問題的公理化方法，這一問題在他的23個問題中提為第六個問題，經(jīng)過接近一個世紀的努力，目前在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域中，公理化方法已取得很大的成功。而他自己在廣義相對論的公理化上也做過很重要的工作。
俄羅斯數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（А.Н.Колмогоров,1903－1987），他對數(shù)學(xué)和實際問題以及數(shù)學(xué)教育都有濃厚的興趣。他在三角級數(shù)、遺傳學(xué)、概率論、隨機過程、湍流、動力系統(tǒng)、信息論、數(shù)理邏輯、計算復(fù)雜性、泛函分析、金屬學(xué)等等方面都有重要成果。20世紀30年代，他是概率論公理化體系的奠基者，隨后在概率論和隨機過程的理論與應(yīng)用方面均取得了奠基性的成果。
在與力學(xué)有關(guān)的研究方面，最重要的成果是，1941年得到了湍流中能量的衰減規(guī)律與脈動頻率的依從關(guān)系的規(guī)律，這個規(guī)律被稱為柯爾莫哥洛夫律。
在20世紀50年代中期，他集中研究經(jīng)典力學(xué)中太陽系能否永恒發(fā)展而不會引起災(zāi)變的問題？簡單行星系是否只有三體系統(tǒng)才能穩(wěn)定地運動？這個問題歸結(jié)于研究近似可積系統(tǒng)的運動體系。龐加萊稱它為哈密頓系統(tǒng)在微擾下的發(fā)展問題。它是動力學(xué)基本問題，可溯源到牛頓、拉普拉斯的研究?？聽柲缏宸蛟?0年代中期對具大量初始條件的情形解決了這個問題，開創(chuàng)了哈密頓系統(tǒng)的微擾理論。從他的定理可推出：圍繞木星作圓軌道運動的衛(wèi)星，在經(jīng)受沿橢圓軌道的木星運動的干擾下，并不能影響木星的橢圓軌道。
他的理論還可用到大量力學(xué)、物理學(xué)問題中，解決了不對稱剛體繞固定點高速旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性、托卡馬克(Токамак)型系統(tǒng)中磁面的穩(wěn)定性等問題。他的思想后來被A．И．阿諾爾德與J．莫澤所發(fā)展，成為以他們?nèi)嗣腒AM理論。此外他還將信息論應(yīng)用于動力系統(tǒng)的遍歷性質(zhì)，得到了若干重要結(jié)果。
從以上我們簡單介紹的三位數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷可以看出，即使在20世紀，第一流的數(shù)學(xué)家的研究成果，也是與力學(xué)密切相關(guān)的，或者是具有很強的力學(xué)背景的課題。
在另一篇文章《幾位大物理學(xué)家的力學(xué)貢獻》中，我們介紹了七位第一流的近代物理學(xué)家的力學(xué)貢獻，說明傳統(tǒng)對于真正的科學(xué)進步是必不可少的。近代物理學(xué)和科學(xué)的革命性的變化，不是憑空產(chǎn)生的，它是在繼承傳統(tǒng)經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他們所以能夠有深厚的力學(xué)基礎(chǔ)和卓越的業(yè)績。和他們對力學(xué)學(xué)科的重要性的認識有關(guān)。也說明這些物理學(xué)家從方法論的高度來了解力學(xué)的作用。正是基于對力學(xué)重要性的深刻認識，推動他們在行動上去牢固打好力學(xué)基礎(chǔ)并且做出卓越貢獻。
我們在本文中又介紹了著名數(shù)學(xué)家的工作和力學(xué)的緊密聯(lián)系。至于力學(xué)和和各門工程技術(shù)的密切關(guān)系，則更是不言而喻的。
歸根結(jié)蒂，力學(xué)與物理和數(shù)學(xué)都是密不可分的。也可以說力學(xué)在各門基礎(chǔ)學(xué)科中是更為基礎(chǔ)的學(xué)科。一個國家和一個民族，要想在近代科學(xué)技術(shù)上達到相當?shù)母叨?，沒有扎實的力學(xué)教育、沒有一定高水平的力學(xué)研究是不可能的。
[1] N.維納著，郝繼仁譯，《控制論》，科學(xué)出版社，1962年，第2頁
來源：科學(xué)網(wǎng)武際可博客
