譯自: 美國數學會通訊 (Bulletin of the American Mathematical Society), 新系列, 52 卷, 4 期, 2015 年 10 月, 545–584 頁.
摘要: 這篇文章將對拓撲學研究作一個跨越世紀的瀏覽, 集中在二、三和四維流形的研究. 關于各小節(jié)附有進一步的評述和技術細節(jié). (基于 2014 年首爾國際數學家大會上的 Abel 講座報告.)
§1. 拓撲學序幕
現在為人所知的拓撲學在 19 世紀形成, 在 20 世紀取得了夢幻般的進展, 進入 21 世紀更加興旺發(fā)達. 但是, 在此之前已經有了拓撲學的想法, 和一些零星的結果, 喻示著應當有這樣一種研究領域.
1.1 Leonhard Euler, 圣彼得堡, 1736 年
在數學文獻中的第一個拓撲學陳述, 或許就是來自于 Euler 對哥尼斯堡 (K?nigsberg) 七橋問題的解答. 該問題是: 散步走過七座橋的每一座恰好一次. Euler 說明這樣的散步路線不存在. 問題可以用如下所示的一個圖來表述, 每塊陸地表示成一個圓點, 每座橋表示成一條邊.
18 世紀的哥尼斯堡
發(fā)行的印有 Euler 圖像的郵票
七橋問題的圖
定理 1. 有一條道路走過圖中每條邊恰好一次, 當且僅當該圖最多有兩個 “奇” 點, 所謂奇指所連邊數是奇數.
對于所給的圖, 四個頂點都是奇的, 因此那樣的路線是不可能有的. 這個定理對學數學的年青人是一個極好的練習, 因為證明相當于初等, 但不顯然.
1.2 Leonhard Euler, 柏林, 1752 年
若干年后, Euler 發(fā)現了一個等式, 它在拓撲學中起基礎性作用.
定理 2. 任何一個凸多面體, 其頂點數V 、邊數 E 和面數 F 滿足下面的關系式.
V ? E + F = 2.
例如: 正十二面體有 20 個頂點、30 條邊和 12 個面, 滿足 20 ? 30 +12 = 2.
Euler 遠遠走在他所處時代的前面. 一百多年以后, 有限胞腔復形K 的 Euler 示性數被定義成這樣一個整數
χ(K) = 偶數維胞腔數 ? 奇數維胞腔數.
到了 20 世紀早期, 才能證明 Euler 示性數是一個拓撲不變量. 如下的兩個基本性質可以很容易通過定義驗證:
這里我們假定各 Kj 是它們并集的子復形. 做為一個簡單的練習, 利用定義和乘積性質, 我們可以證明 n 維方體 [0, 1]n 的 Euler 示性數是 +1,而該方體的邊界 (即: n–1 維拓撲球面) 的 Euler 示性數是 1 + (?1) n?1 .
1.3 Augustin Cauchy, 巴黎理工學校 (′Ecole Polytechnique),1825 年
Cauchy 是給出連續(xù)這個概念精確定義的第一人, 而連續(xù)是拓撲學最基本的概念之一.
更進一步, 他給出了一個拓撲不變量: 閉路 C 繞一點 p 的卷繞數(winding number), 可通過一個全純微分形式沿 C 的積分來計算.
在復平面中繞一點 p 的曲線 C
1.4 Carl Friedrich Gauss, 哥廷根, 1833 年
Gauss 給出了更精巧的拓撲不變量:
其中 x 在一條曲線上變動, 而 y 在另一條曲線上變動.
※ 進一步的注記：
A1.1. Euler. 盡管出生和受教育都在巴塞爾, 他沒有在那得到一個職位. 因此, 當位于圣彼得堡的俄國皇家科學院所發(fā)出邀請時, 他愉快地接受了.
以哥尼斯堡命名的城市已存在了 690 年, 它建立于 1255 年, 講波羅的海語的原住居民消失被德國定居者取代, 當 1945 年被蘇聯(lián)軍隊接管后, 不再做為德國的城市, 而起名為加里寧格勒. 在 19 和 20 世紀,哥尼斯堡產生了許多數學家, 包括 Rudolph Lipschitz, Alfred Clebsch, David Hilbert, Hermann Minkowski 和 Jürgen Moser.
A1.2. Euler. 在 1741 年, 俄國的形勢變得不穩(wěn)定, Euler 接受了柏林學院的一個職位, 這是由普魯士國王腓特烈大帝資助的.
如 §2.1 所述, 考慮三維空間中非凸多面體 “Euler 示性數” 概念的第一個人, 或許就是L’Huilier. Johann Listing 在 1862 年研究了更一般的多面體，而Poincaré 在 1895 年首先提議流形的 Euler 示性數可以從同調中算出, 就是 Betti 數的交錯和. (以此方式定義的 Eulre 示性數經常被稱為 Euler-Poincaré 特征.) 實際上, Poincaré 在同調上的研究, 在20 世紀早期被許多數學家發(fā)展, 很自然地考慮下面的構造
胞腔復形K → 鏈復形C?(K) → 同調群H?(K).
利用域系數, 我們不難證明整數
等于 Betti 數的交錯和
可是, 同調群的拓撲變性的證明要困難得多. 基本的工具, 單純逼近定理已經由 L.E.J. Brouwer 給出.可是, Brouwer 并沒有用于同調理論. Alexander [1915] 關于Betti 數拓撲不變性的第一個證明讓我相當迷惑. (經過答辯, Alexander 成為那時的新博士.)經過拓撲家的研究, 再受 Emmy Noether 的影響, 事情變得清晰起來. 我們應該考慮同調群,而Betti 數由這些群的秩來定義 (見 Hirzebruch [1999]). 我發(fā)現可讀的早期材料是Seifert 和 Threlfall [1934], 還有 Alexandroff 和 Hopf [1935].
A1.4. Gauss. 依照 (很后才引入的) 度的概念, Gauss計算了從環(huán)面到球面映射
§2. 二維流形
直至 19 世紀, 人們才明白應該有一種幾何研究, 不僅在局部也要在大范圍.
2.1 Simon L’Huilier, 日內瓦皇家學院, 1812—1813 年
L’Huilier (也拼寫成 Lhuilier) 或許是考慮更一般 (非凸) 多面體 Euler 示性數的第一人. 對于 3 維歐氏空間中被鉆透 n 次的多面體的表面, 他算出 Euler 示性數是 χ=2?2n.借用現代的語言, 這種多面體的邊界是虧格為 n 的曲面.
2.2 Niels Henrik Abel, 挪威, 19世紀 20 年代
在耶爾斯塔的 Abel 紀念碑
由于 Abel 的工作, 曲面的整體理論的必要性變得清晰了. 他研究代數函數的積分. 例如, 如下形式
其中 aj 是互不相同的實或復數. 當今, 我們會將它寫成沿著光滑仿射代數簇
此積分當 y = 0 時似乎沒意義, 但是因為2ydy = f'(x)dx, 我們可將被積函數寫成2dy/f'(x), 它當 y=0 時完全有合理的含義. 當今人們寫成表示式
并做為簇 V 上的全純 1 形式, 或 Abel 微分.
給定任意一個這樣的 Abel 微分 α, 和 V 中一條閉路 L, 我們可以做積分而得到一個從基本群π1 (V ) 到復數集的同態(tài)
可是, 這些術語的大部分在當時還沒有. Abel 去世很早, 如何用更好的語言來描述此構造, 這一工作留給了其他后來人.
2.3 Bernhard Riemann, 哥廷根, 1857 年
接受挑戰(zhàn)的第一人是 Riemann, 在 1851年博士論文和 1857 年關于 Abel 函數的文章中, 他提出了現在我們稱之為 Riemann 曲面的概念.
下面是 Riemann 演示的復平面上的三個有界區(qū)域. 他稱一個區(qū)域為單連通, 如果任一個切割 (從一個邊界點到另一個的道路) 必定將區(qū)域分成兩部分. 類似地, 稱一個區(qū)域為雙連通, 如果將它分開需要兩個切割. 依此類推.
更一般地, 他研究了超出平面的 “Riemann 曲面”:
另一個三連通的曲面
Riemann 也考慮了 F 是閉曲面的情形, 他描述了沿一些簡單閉曲線切開 F 的步驟, 使切開的曲面是一個連通且單連通的曲面.
這些曲面的此類曲線個數總是偶數 2p, 用現代的語言, 這表示有一個CW 復形 1 ° 結構: 一個頂點, 2p 條邊, 和一個 2 胞腔. 從而有 Euler 示性數 χ=2?2p. Riemann 的整數 p>0 是一個不變量, 現在稱之為 F 的虧格, 而 2p 是現在我們所知的一維 Betti 數.
2.4 August Ferdinand M?bius, 萊比錫, 1863 年
盡管 Riemann 開創(chuàng)性想法影響了這一領域的后來所有工作, 但他只給出很少的細節(jié), 人們很難跟進. 幾年之后, M?bius 給出對我來說清楚很多的表述, 說明三維空間中的閉曲面可以用一個清晰定義的整數不變量來分類.
將閉曲面
例 1: 對于環(huán)面, 可知 p = 1, 因為我們沿一條閉路切割環(huán)面而不切分開, 但兩條互不相交的閉路必然切分開環(huán)面.
定理 3. 有相同連通類的任何兩個曲面都是初等相關 (elementarily related).
M?bius 的初等相關的概念十分笨拙, 見如下所述. 用現代的術語,他想表達的是C1 微分同胚.
定義 1. 兩個幾何圖形初等相關是指: 一個圖形中任意維數的無窮小元素都對應另一圖形中的無窮小元素, 使得在一個圖形中相鄰的兩個元素的對應元素也相近, ……
但是 M?bius 的證明卻是出奇地時髦, 下面是一個概述: 將曲面在
那么所得的每個連通塊有一個、兩個或三個邊界曲線, 分別是 2 維胞腔、平環(huán)或褲形 (pants).
更一般地, 以
這樣 M?bius 的構造將曲面 F 分成一些無交并
現舉一個例子:
為得到原來的曲面 F, 我們要在指定的微分同胚下, 將 E 的一條邊界曲線等同于另一條.
引理 1. 如果我們通過將
證明不難, 利用這一表述, 我們通過一次次地等同邊界曲線對, 歸納地化簡集合
在 N ? 1 次之后, 我們得到形如
現在再做兩條曲線的等同, 如同在二維球
例如: 帶有 p = 3 個環(huán)柄的球面.
2.5 Walther Dyck, 慕尼黑, 1888 年
Dyck (后加封為貴族 von Dyck) 或許是第一個給出拓撲學要做什么的清楚定義的人:
拓撲學是要研究在有連續(xù)逆的連續(xù)函數作用下不變的性質.
他或許也是作為一個整體性定理敘述 Gauss-Bonnet 公式的第一人. 對于任意一個光滑閉的二維流形,
如果 Gauss 曲率不變號, 那么立即能得出示性數有相同的符號:
如果 K > 0, K = 0 或 K <>
那么分別地有 χ > 0, χ = 0 或 χ <>
這成為研究曲率與拓撲之間關系的啟示.
2.6 Henri Poincaré, 巴黎, 1881 年到 1907 年
Poincaré 無可爭議地被認作是當代拓撲學的奠基人. 他勾畫出同調論與 Betti 數,敘述了 Poincaré 對偶定理. 更進一步, 他引入了同倫的概念, 定義了基本群, 及與之相關的復迭空間的概念. 尤其重要的是對曲面的研究, 他描述了 Riemann 曲面的單值化定理. 理論的許多細節(jié)有待補充, 但是他提出了整體的輪廓.
2.7 Paul Koebe, 柏林, 1907 年
Koebe 和 Poincaré 大約在同一時間證明了單值化定理. 他的陳述如下:
定理 4. 任一 Riemann 曲面的萬有復迭空間共形同構與下述之一:
(1) Riemann 球面
(2) 復平面
(3) 開單位圓盤
作為一個很容易的推論, 我們得到
推論. 任一 Riemann 曲面都有常曲率的度量:
2.8 Hermann Weyl, 哥廷根, 1913 年
Weyl的書 《Riemann 曲面的想法》(Die Idee der Riemannschen Fl?che) 是一個重要的轉折點. 在其出版之前, Riemann 曲面的定義相當模糊. 開始于一個局部定義的解析函數, 然后再加上所有可能的解析延拓. 依照著有重疊坐標卡的拓撲曲面的方式, Weyl 給出了清晰的定義. 這對隨后關于復流形和光滑流形的工作提供了一個模型.
2.9 Tibor Radó, Szeged, 1925 年
Radó完成了緊致定向拓撲曲面的分類, 證明每個這樣的曲面可被賦予一個 Riemann 曲面的結構, 如 Weyl 所定義. 特別地,它可被賦予一個光滑流形的結構.
九十年以后, Riemann 曲面的研究, 及其與之相關的代數曲線的研究, 依然是繁榮的數學領域. 例如, 2014 國際數學家大會中四個 Fields 獎得主有兩個在這個研究領域工作.
※ 進一步的注記：
A2.1. L'Huilier.
文章 Lhuilier 和 Gergonne [1812-1813] 是 Gergonne 所做的刪節(jié)版, 基于原來 L'Huilier 投出的一個長手稿. 很不幸的是, 基本不變量 n (現在我們術語中的虧格) 的表述十分含糊. (我無法得知L'Huilier 的原稿是否更清楚些.) 由于我不確信我的翻譯, 讓我引述一下Gergonne 的原話 (168 頁):
“En général un polyèdre terminé par une surface unique peut être percé, de part en part, par un nombre plus ou moins grand d’ouvertures distinctes. Si n désigne le nombre de ses ouvertures, · · · ”
無論如何, 已明確地知道對每個多邊形曲面有一個相應的數 n,以及一個步驟來計算它. 例如, 對于 “環(huán)形” 多邊形曲面, 他(也在 168頁) 說明 Euler 示性數是零.
由 Calvin 在 1559 年建立的日內瓦學院, 在拿破倫時代的幾年被稱為 “皇家的”, 自從 1873 年起, 被稱為日內瓦大學.
A2.2. Abel. 在 1826 年, 挪威政府的津貼讓 Abel 能訪問歐州幾個國家. 他在德國的逗留非常成功, 在新刊物《Crelle's Journal》上發(fā)表了七篇文章, 他在法國的逗留不太成功, 或許他最重要的工作, 代數積分的加法定理, 投到法國科學院, 而在 Cauchy 的書桌上遭到了十五年的冷遇. 回到挪威, 兩年的緊張數學活動損害了他的健康, Abel 在26 歲時死于結核病. 按照Charles Hermite 所說,
“Abel 留下的東西, 足夠數學家們忙上五百年.”
A2.3. Riemann. 盡管我試圖解釋 Riemann [1857, 97 頁] 的想法, 但我須承認他的表述讓我很難在細節(jié)上弄懂.
使用虧格術語并與 Riemann 曲面相關聯(lián)的第一個人是 Clebsch [1865]. (參見 Hirzebruch 和 Kreck [2009].) 可是, 對 Clebsch 來說, Riemann 曲面的虧格不是一個整數, 而是含有曲面的等價類, 這與該詞在生物學中, 或二次型理論中的用法類似. 這樣在 Clebsch 的說法中, Rieman 球面屬于 “第一虧格”, 環(huán)面或橢圓曲線屬于 “第二虧格”, 等等. 關于更多的歷史內容, 讓我參照一下在 1881 年 Poincaré和 Felix Klein 之間的通信. 如 Gray [2013, 230 頁]所述, Poincaré 問: 在位相分析 (analysis situs) 意義下, 虧格 (Geschlecht) 是什么, 是否是與他本人所定義的虧格 (genre) 一樣的東西?
而 Klein 回復道: 位相分析意義下的虧格是曲面上能畫出的閉曲線的最大數, 這些曲線不能切分曲面, 與定義曲面的代數方程的虧格是相同的數.
A2.4. M?bius. 從存在于復射影平面中的 Riemann 曲面上離開,轉向三維空間中的光滑曲面, 這是一個大的轉變, 也讓這個主題更加直觀. 然而, 我們并不清楚有多少合理性. 今天我們可以用 Morse 理論證明方法, 描述M?bius論證. 使用單位分解, 構造一個 Morse 函數比構造一個在三維空間中的嵌入更容易. 然而, 這樣的方法在當時當然是沒有的.
請注意, M?bius 的論證本質上利用了定向性. 事實上, Riemann 曲面和三維空間的嵌入閉曲面必然是可定向的. 將 M?bius 的證明調整到不可定向曲面情形, 還要有一定的工作量.
§3. 三維流形
第一個非平凡三維流形的描述確切地出現在 14 世紀: 但丁的《神曲》所述故事就發(fā)生在一個可視為拓撲三維球面的地方, 天堂在上穹之極而地獄在下底之極. 可是, 三維流形的數學研究僅開始于 19 世紀末. 為簡明起見, 所有流形都假定是可定向的.
3.1 Poul Heegaard, 哥本哈根, 1898 年
Heegaard 證明任意可定向的三維閉流形都能分解成有相同虧格的兩個柄體的并集, 它們僅在邊界處相交. 換句話說, 我們可以構造一個適用于所有這樣的流形模型, 某一柄體 H 的兩個復本和將兩個邊界粘在一起的微分同胚.
Heegaard 的結果很難應用, 因為由給定曲面上保定向自同胚同痕類組成的映射類群非常豐富, 但是它的確提供了理解一般三維流形的重要技巧. 他的定理也導致了對映射類群的研究, 該群本身也是一個重要的對象.
3.2 Poincaré, 巴 黎, 1904 年:Poincaré 猜想
這是困擾拓撲學家下一百年的基本問題:
問題. 如果一個三維閉流形的基本群平凡, 它一定同胚于標準的三維球面
實際上, Poincaré 在 1900 年的原始猜想是: 有與球面相同的同調的流形同胚于標準球面. 然而在 1904 年, 利用 Heegaard 的方法, 他發(fā)現了一個反例. 他的例子是一個有 120 階有限基本群的光滑三維流形, 可最簡單地表示成陪集空間
3.3 James W. Alexander, 普林斯頓, 20 世紀 20 年代
Alexander 和他的妻子 Natalie
Alexander 帶角的球
Alexander 對偶定理說明復形
3.4 Hellmuth Kneser, 格賴夫斯瓦爾德 (Greifswald), 1929 年
考慮定向連通的三維流形, 任取兩個都有連通和,
這在相差同構意義下唯一. 還有恒等元素
定義 2. 流形
定理 5. 每個緊致流形 M 同構于素三維流形的連通和
(許多年之后, 我證明這樣的素分解在相差順序和同構意義下的唯一性, 這一結果變得完備. 見 Milnor [1962].)
3.5 Herbert Seifert, 萊比錫1993年
Seifert 纖維化形成了一類被很好地理解的三維流形, 它們由曲面上的圓周纖維構成, 并允許有有限條特殊限定的奇異纖維.
3.6 Edwin Moise, 密西根大學，1952年
Moise (用大量的研究工作) 證明每個緊致三維流形都可以三角剖分, 這種剖分在分片線性同胚下唯一.
3.7 Christos Papakyriakopoulos, 普林斯頓, 1957 年
三維流形拓撲理論的第一個重要突破來自于 Dehn 引理的證明, 該引理由 Max Dehn 在1910 年聲明, 但沒能正確地證明.
定理 6. 給定一個從單位方形
Papakyriakopoulos 的證明使用了巧妙的塔構造, 可簡述如下: 像集
設
實際上, 如果 K 是打結的,
3.8 Wolfgang Haken, 慕尼黑, Friedhelm Waldhausen, 波恩, 20 世紀 60 年代
由定義, 在緊致可定向的分片線性三維流形M 中的不可壓縮曲面是一個緊致可定向的分片線性曲面 F, 滿足:
· 基本 π1(F) 非平凡, 并嵌入于 π1(M ), 并且
· 如果 F 有邊, 那么 M 必定有邊并且 ?F ? ?M .
有這樣不可壓縮曲面的不可約流形稱為 “充分大流形”, 或 Haken 流形. (這里, 不可約是指任意的嵌入二維球面都以三維球體為邊界.) 給定一個不可壓縮曲面, 再沿著它切開, Haken 在1962 年證明人們可歸納地構造一系列不可壓縮曲面, 將流形分成單連通的塊. 他從沒發(fā)表該文章的下一部分, 其中應含有他所做論證的細節(jié). Waldhausen 在1968 年發(fā)表了一個完整的論述, 并含有進一步更重要的結果. 特別地, 他證明任意一個閉的 Haken 流形, 在相差一個分片線性同構意義下, 由其基本群唯一決定. (在有邊 Haken 流形的情形, 人們還必須考慮對應于邊界分支的子群.) 后來, Gordon 與Luecke[1989] 利用這一工作, 證明出素紐結被其補集的基本群唯一決定.
3.9 George D. Mostow, 耶魯, 1968 年
下面一個重要貢獻來自于完全不同的數學領域.
剛性定理. 維數≥3的有曲率 K ≡ ?1 的閉Riemann 流形, 在相差一個等距意義下, 由其基本群唯一決定.
此結果也被 Margulis 證出, 由 Prasad 擴展到體積有限的完備流形中. 一個重要的推論是:
這種流形的體積也是一個拓撲不變量.
這是一個全新類型的拓撲不變量, 與以前所知的完全不同. 許多其他的同構不變量現在提升成同倫不變量, 如閉測地線的長度和 Laplace 算子的特征值. 然而, 體積是一個特別方便進行研究的不變量.
在 20 世紀 70 年代, Robert Riley, 一個英格蘭南安普頓的博士研究生, 研究紐結群到雙曲三維空間自同構群 PSL(2, C) 的表示, 集中在將緯元和平行于紐結的元素映到群中拋物元素的那些表示. 他發(fā)現了幾個例子 (包括 8 字型紐結), 其表示不僅將
這樣, 8 字型紐結在
依然是在 20 世紀 70 年代, 哥倫比亞大學的 Troels J?rgensen 發(fā)現了 PSL(2, C) 子群
3.10 William Thurston, 普林斯頓, 20 世紀 70 年代后期
Thurston 找到了更多的雙曲紐結補空間. 他計算了 8 字型紐結補的體積, 通過將其 “三角剖分” 成兩個理想等邊 3 維單形來進行. (參見Gieseking [1912]. ) 使用可追溯到Lobachevsky 的方法, 該體積是
關于雙曲體積, 他的主要結果可敘述如下:
定理 7. 雙曲三維流形所有體積值組成的集合是一個良序集, 即其中任何一個非空子集有最小元素. 更進一步, 對任何固定的體積, 最多存在有限多個互不同胚的流形.
實際上, 有 k(k≥1) 個端的任意一個流形的體積是有 k ? 1 個端流形體積的遞增極限. 想法是每個端等同于
舉一個例子, Whitehead 鏈環(huán)在
3.11 William Jaco, Peter Shalen, Klaus Johannson, 20世紀 70 年代后期
以這三位命名的 JSJ 分解, 是沿著嵌入的球面或環(huán)面切割把三維流形分解成更簡單小塊的方式.
下面是其中的一種敘述.
定理 8. 任意一個不可約的定向三維流形都有一個 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不可壓縮環(huán)面組成的最小集, 使得沿這些環(huán)面切開的三維流形分支或者是非環(huán)性的 (atoroidal)或者是 Seifert 纖維化.
此處非環(huán)性表示, 它不再有不可壓縮的嵌入環(huán)面.
3.12 Thurston, 1982 年: 幾何化猜想
這個大膽的猜想指出每個三維閉流形都由一些有簡單幾何結構的塊組成. 確切地說, 猜想斷言每個光滑三維閉流形都可以通過一些嵌入的球面和環(huán)分解成若干
更進一步,
(1)球面
(2) 歐氏空間
(3) 雙曲空間
下面兩個幾何很容易理解.
(4)
(5)
至于最后三個幾何,
(6) 冪零幾何, 有冪零群
(7) 可解幾何, 有可解群
(8)
3.13 Richard Hamilton, 康奈爾大學, 1982 年
Hamilton 利用微分方程
的 Ricci 流為研究流形的拓撲引入了全新的方法. 這里的
如果我們的出發(fā)點是嚴格正 Ricci 曲率的流形, Hamilton 能夠做出證明. 這種情形, 度量流向常正曲率的度量, 從而且證明該流形微分同胚于標準的三維球面. 但對于更一般的初始條件,度量會發(fā)生復雜的奇點, Hamilton 沒能取得更多的進展.
3.14 Grigori Pereleman, 圣彼得堡, 2003 年
通過對Ricci 流所產生奇點的仔細和精巧分析, Perelman 解決了 Hamilton 遇到難題. 一些奇點相對可控, 可以消除. 其他一些對應于將嵌入球面收縮成一點, 于是對應于連通和分解. 同樣還有其他的奇點, 對應于環(huán)面分解. 最后, 當沒有奇點時, 流導致趨于齊性的極限. 以這種方式,我們能完成全部幾何化猜想的證明, 包括做為一個特例的Poincaré猜想.
※ 進一步的注記：
A3.1. Heegaard. 如今, 我們習慣于用 Heegaard 分解討論分片線性流形. (如見Hempel [1976].) 然而, 使用 Smale 型的論證和 “好” 的Morse 函數, 我們同樣地可以構造光滑流形的 Heegaard 分解. Heegaard的原始論證的確使用了可微的方法, 但是以一個相當直觀的風格.
A3.2. Poincaré. 非平凡 Poincaré 同調球的一個方便模型是球形正十二面體空間, 從一個正十二面體通過等同相對的面得到, 等同過程是球面上的一個移動復合上一個 2π/10 旋轉.仔細觀察, 由此產生的空間可以賦予常正曲率度量. (參見 Seifert 和 Threlfall [1934].) 不難發(fā)現, 它同胚于陪集空間
如同對待 19 世紀的所有數學一樣, 我們必須小心, 因為有些詞的意義已經改變. 對于 Poincaré, “單連通” 空間是指拓撲上的胞腔或球面, 他的“Betti 數” 是我們的 Betti 數加一.
A3.3. Alexander. 在 20 世紀 30 年代晚期, Alexander 是上同調理論創(chuàng)始人之一, 定義了任意緊度量空間的上同調群. (Alexander 的上同調群是同構于幾年后定義的 Cech 上同調群, 雖然構造極為不同.)
我從來沒有見過 Alexander, 他從 1951 年在高等研究院退休時, 就隱居起來, 直到他二十年后離世. 也許他想呆在人們的視線之外, 因為麥卡錫時代的政治氣候對于他那樣的持左翼政治觀點的人是很危 險的. Alexander 是繼承財產的一個百萬富翁, 從來沒有領取研究院的工資.
A3.4. Kneser. 如果流形 M 非素, 那么它可以被描述為連通和
Kneser, 像 Bieberbach, Teichmüller 和 Witt 一樣, 是納粹黨的早期支持者.
A3.7. Papakyriakopoulos. 他在普林斯頓的大部分時間, 我在那里. 我肯定認識他, 但不記得曾經與他有過交流, 也許我們都很害羞. 他很努力地獨自工作, 得到了由 Ralph Fox 設法安排的一個小的資助. 當他的結果發(fā)現時, 我全然驚呆了, 我想其他人也會是這樣吧. 他的重要結果, 不僅包括 Dehn 引理, 而且還有環(huán)路定理, 它是一個更強的版本以及球定理. 球定理斷言: 對于滿足條件
在Papakyriakopoulos之前和之后, 有一個很長的紐結理論的歷史. 開始于由P.G.Tait 在19世紀的一次嘗試, 接下來有J.W. Alexander, K. Reidemeister 和許多人的工作. 更完備的描述, 可見于: Crowell 和 Fox [1963], Rolfsen [1976], Lickorish [1997] 以及 Manolescu [2014].
A3.10. Thurston. 參 見 Thurston [1980, 1982], Gromov [1979—1980], 以及 Neumann 和 Zagier [1985].
哪些數可成為雙曲三維流形的體積? 這樣的數論將會是很有趣.(例如, 見 Borel [1981] 和 Zagier [1986], 還有我在 Thurston [1980, 第 7 章]中的評述).
與 Thurston 交談使我感到非常好奇, 我是典型地對他的數學斷言持懷疑態(tài)度的人. 他的斷言經常是非常瘋狂, 但他卻從未出錯.
§4. 四維流形
復二維代數簇, 也就實的四維流形, 早期研究者有Picard 與 Simart [1897, 1906], Poincaré [1904], Enriques [1905], Lefschetz [1924]. 物理學家感興趣的四維流形, 是那些可能做為時空模型的一類 (見 Friedman [1922]) .然而除了Seifert與Threlfall [1934] 中的一些少數內容之外, 一般四維流形的正式的拓撲學研究在 20 世紀 50 年代才開始.那時, 一般地認為 n 維流形的拓撲會隨著 n 增加而越來越難, 這到四維為止的確是正確的.
4.1 A. A. Markov Jr., 莫斯科, 1958 年
Markov 對四維流形的研究做出了一個破壞性的貢獻.
定理 9. 對于 n≥4, 在同胚意義下分類 n 維流形是算法上不可解的.
這里說一下證明概要,為簡單起見取 n = 4.
給定一個群表現 P , 有 p 個生成元和 q 個關系, 構造一個相應的四維流形M (P) 如下: 從 p 個
因此, 分類四維流形定理, 我們只能希望建立在有已確定基本群的流形中.
4.2 J. H. C. Whitehead, 牛津, 1949 年
近期, Whitehead 在同倫型意義下分類了四維復形. 應用于流形, 他的結果有如下推論 (參見Milnor[1958].).
推論1. 單連通的定向四維閉流形, 在同倫型意義下, 由如下的相交形式
決定. 這個形式是對稱、雙線性和幺模的 (即: 其行列式為 ±1).
這種對稱雙線性形式的分類是數論中重要而不平凡的問題. 不定形式的分類是容易的, 而正定的情形極困難, 因為不同形式數隨著秩數極快地增長.
例如, 由 Carl Ludwig Siegel 的工作可知, 有多于 904, 000, 000 個不同的秩為 30 的正定幺模的形式.
4.3 Vladimir Rokhlin, 莫斯科, 1952 年
下面的結果是理解高維流形的重要一步, 亦是微分拓撲的開端.
定理 10. 如果一個光滑四維閉流形有正定的相交形式, 并且自相交數 u·u≥0 僅取偶數, 那么該形式的秩 (即中間維數的Betti 數) 能被 16 整除.
與之形成對比的是, 一個僅取偶數值的正定幺模形式的秩可以是 8 的任意倍數. 最簡單的非平凡例子可由 E8 的 Dynkin 圖來表示, 如下所示
這里的每個圓點都表示有自相交數 u·u = 2 的基向量, 兩個相異基向量的相交數, 在有連線時是 +1, 在其余情況是 0. 因此, 沒有光滑四維閉流形以這個對稱雙線性形式為相交形式.
在當時, 限制到光滑流形似乎像一個小的技巧,但最終成為一個關鍵.
4.4 Michael Freedman, 加州大學圣迭戈分校, 1982 年
定理 11. 單連通定向四維閉流形在同胚的意義下唯一決定于
· 它的相交形式, 和
· 它的 “Kirby-Siebenmann 不變量”. 這是一個
更進一步, 任意一個對稱雙線性的幺模形式都能被拓撲流形實現.
由此特別會得出, 存在著許多拓撲四維閉流形, 它們有偶的正定形式, 其秩模 16 是 8. 按照Rokhlin 的結論, 這類流形 M 在如下更強的意義下沒有光滑結構.
與 M 有相同倫型的四維流形都沒有光滑結構.
Freedman 的證明基于極端不可微的方法, 并含有 grope 這一概念.(概念以及示例說明, 都歸于 Cannon [1978].)
4.5 Simon Donaldson, 牛津, 1983 年
Donaldson 利用完全不同的方法證出一個神奇的結果.
定理 12. 如果說一個光滑的單連通四維閉流形 M 有正定的相交形式, 那么該形式是可對角化的.
這樣, 加上 Freedman 的結果, M 必然同胚于連通和
要說明這兩個結果的鮮明對比, 請注意:
推論2. 在超過 904, 000, 000 個有秩為 30 正定相交形式的拓撲流形同胚類中, 僅有一個能被光滑流形表示.
Donaldson 的證明是基于 “瞬子 (instanton)” 研究, 這是來自數學物理的啟發(fā). 所用的拓撲學很少, 但有大量的深刻的分析學.
4.6 Clifford Taubes, 哈佛, 1987 年
很多數學家注意到, 將 Freedman 的核心拓撲和Donaldson 的分析方法相結合有著更奇妙的推論.(參見 Gompf [1983, 1993].) 現舉一個來自于 Taubes 的例子:
定理 13. 歐氏空間
與之相反, 對于 n≠4,
4.7 結語: 接下來會是什么?
關于光滑四維流形, 依然有很多內容要了解. 光滑的 Poincaré 猜想在四維是一個誘人的未解決問題. (參見Freedman, Gompf, Morrison和Walker [2010]) 讓我們看一下在其他維數都知道什么:
對于 n≥1, 容易看出同胚于 n 維球面的保向微分同胚類在連通和運算下, 形成一個交換并結合的半群
定理 14 (Kervaire 和 Milnor). 對于 n≠4, 該半群
可是, 半群
※ 進一步的注記：
A4.2. Whitehead. 更多的細節(jié), 參見 Whitehead [1949a] 以及Milnor [1958]. Whitehead 是一個很好的朋友, 是我所見過的以養(yǎng)豬為愛好的唯一數學家.
對稱雙線性形式
A4.3. Rokhlin . Rokhlin 定理 (使用現代記號) 的最初形式是:一個帶有 Stiefel-Whitney 類w2 = 0 的四維流形一定有被48 整除的Pontryagin 類p1. 事實上, Pontryagin 數p1[M4]等于三倍的符號差. 在單連通的情況下, 相交形式是偶的當且僅當 w2 = 0. 他的基于示性類之間的關系、配邊、以及低維球面的同倫群的證明, 激發(fā)了微分拓撲研究的新領域. (René Thom 配邊的完整理論兩年后才發(fā)表.) 關于進一步發(fā)展, 見 Kervaire 和 Milnor[1960] 或Hirzebruch [1966, 199 頁]. Rokhlin 也因遍歷理論中的貢獻, 而為人所知.
Rokhlin 的人生相當坎坷. 他的父親在斯大林的大清洗中于 1941被處決, Rokhlin 自己在保衛(wèi)莫斯科戰(zhàn)斗中受傷, 在德國的一個戰(zhàn)俘營被囚禁了一年或兩年, 之后設法逃脫并最終加入蘇聯(lián)軍隊. 戰(zhàn)爭結束后, 他又被關在一個蘇聯(lián)營地中一年多的時間, 因為斯大林對返回的戰(zhàn)爭囚犯是非常懷疑的. 最后, 經過 Kolmogorov 和 Pontryagin 的調解, 他被釋放并擔任了一段時間的 Pontryagin 助手. 在 1952 年, 有傳言說所有少數民族的猶太人將被驅逐到遠東, 他找到一個更安全的地方: 在北部的阿爾漢格爾斯克林業(yè)研究所. 在那里, 他在一個很低的位置上度過了幾年. 最后, 于 1959 年他得到在列寧格勒州立大學的職位. 在那里, 他的學生有: Yakov Eliashberg, Mikhail Gromov, Anatoly Vershik 和 Oleg Viro.
A4.4. Freedman. 在 “偶” 相交形式的情形下, Freedman 的定理更準確地說明 Kirby-Siebenmann 不變量可以視為 σ/8(mod 2), 其中 σ 是符號差. 另一方面, 在 “奇” 的情形下,Kirby-Siebenmann 不變量和相交形式都可以獨立地變化. 因此, “最簡單” 的非光滑例子有與復射影平面相同的倫型.
Kirby-Siebenmann 不變量做為
Freedman的原始證明是基于 Casson 柄體這一概念 (或稱 “柔性柄體”), 加厚的 2 維圓盤的一個變種. 本節(jié)圖中說明了相關的概念 grope, 這歸功于Cannon[1978]. 參見Kirby[1989] 或 Scorpan[2005] 中的闡述.Freedman 的非光滑流形對我來說是很神秘的事物. 我們知道他們的存在, 但似乎對其中的任何一個, 都不可能構建一個完全明確的描述.
近年來, Freedman 已成為一位應用拓撲學家, 他是微軟的 Q 工作間(Station Q) 的負責人, 這個部門試圖用拓撲的想法建立一個能運行的量子計算機.
A4.5. Donaldson. 這是關于 Donaldson 論證的一個非常粗略的輪廓. (參見Donaldson[1983, 1983b], Donaldson 和Kronheimer [1990].)
給定一個有正定相交形式的四維 Riemann 流形 M , 他選擇 M 上一個特定的 SU2 叢, 考察叢上所有 “自對偶” 聯(lián)絡 (或 “瞬子”) 組成的空間, 模去將每一根纖維都映射到自己的規(guī)范自同構群. 利用 Cliff Taubes 和其他人的工作, 他發(fā)現這個空間除去 n 個奇異點外, 是一個五維光滑流形, 其中 n 滿足條件
A4.6. Taubes. 見 Taubes [1987] 以 及 Freedman [1984], Gompf [1983, 1993], De Michelis 和 Freedman[1992].
我不打算描述頗為技術性的 Taubes 構造, 但我會粗略地描述下
引理 2. 存在一個光滑四維閉流形 M , 及一個拓撲上的連通和分解
證明. 設
推論3. 兩次穿孔的四維球面上存在一個可微結構, 具有以下性質:沒有光滑嵌入的三維球面可以分開這兩個孔.
證明. 由引理 1, 存在
下一步要困難得多. 以
引理 3 (Freedman). 存在一個緊致子集
· 補集
· Q 在
我不準備描述證明: 像 Freedman 的主要定理的證明一樣, 它涉及高度非光滑結構.
假設有引理 2, 開集 U 做為子集的繼承
有很多關于四維流形微分結構和微分同胚不變量的文獻, 例見Friedman 和 Morgan [1989], Salamon [1999] 以及 Morgan [2003].
A4.7. 接下來會是什么? 在 20 世紀 60 年代, 人們驚奇地發(fā)現, 維數 4 和 3 是最困難的情形, 再高的維數卻更容易. 關于這種現象一些解釋, Freedman [1984]. 高維流形的一個簡要綜述在 Milnor [2011] 中給出, 特別是文中的表 2 和 3 描述了
§5. 致謝
本文是在 Araceli Bonifant, Lucienne Pereira, Ragni Piene, AndrewRanicki 和 Scott Sutherland 的幫助下完成的. 同時感謝 Thomas Costa, Michael Freedman, Susan Friedlander, Etienne Ghys, Claude Le-Brun,Misha Lyubich, Marius Thaule, Oleg Viro, 瑞士數學會, 和 St. Petersburg 數學會. 最后感謝挪威科學研究院的支持信以及首爾 ICM 組委會組織的鼓勵大會.
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