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1、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=8cm，AD=24cm，CD=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？

 

2、如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF∥AB交BC于F點(diǎn)，AE∥BD交FD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．

（1）請(qǐng)指出DC與

FE的關(guān)系，并說明理由．

（2）你能確定CE與CF的位置關(guān)系嗎？理由是什么？

3、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（

）．

（1）DE的長(zhǎng)為_________；

（2）當(dāng)MN∥AD時(shí)，求t的值；

（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNB為等腰三角形．

4、如圖①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（如圖②），在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請(qǐng)說明理由；若沒有改變，那么△ABP的面積為_________；

（3）在（2）的條件下，過B作BH⊥AP于H（如圖③），若

，則AP=_________；

（4）在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QM∥CD交BC于M（如圖④），探究：四邊形PDQM可能為菱形嗎？若可能，請(qǐng)求出BM的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由．

 5、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O在梯形ABCD中，連接AO、BO、CO、DO，且BO=CO，如圖所示，

（1）求證：AO=DO；

（2）其余條件都不變，只是點(diǎn)O在梯形外，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)補(bǔ)充完圖形，并說明理由．

 

 

答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、解答題（共5小題）

1、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=8cm，AD=24cm，CD=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？

 

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。

專題：動(dòng)點(diǎn)型。

分析：作輔助線，作PF⊥BC于F，DG⊥BC于G，由四邊形PQCD為梯形，可證△PQF≌△DGC，QF=CG，由FG=24﹣t，CQ=2t，可將CG表示出來，在Rt△CDG中，運(yùn)用勾股定理可將CG的值求出，從而可求出時(shí)間t．

 解答：

解：作PF⊥BC于F，DG⊥BC于G，如圖所示，

∵四邊形PQCD為等腰梯形，

∴PQ=DC，∠PQF=∠DCG，

∵∠PFQ=∠DGC=90°

∴△PQF≌△DGC，

 ∴QF=CG，

FG=PD=24﹣t，CQ=2t，CG=

=t﹣12，

在RT△CDG中，CG= 

==6

∴

﹣12=6，

∴t=12，

當(dāng)t=12秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．

 

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)的應(yīng)用．

2、如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DF∥AB交BC于F點(diǎn)，AE∥BD交FD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．

（1）請(qǐng)指出DC與

FE的關(guān)系，并說明理由．

（2）你能確定CE與CF的位置關(guān)系嗎？理由是什么？

 考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)。

分析：（1）由已知可得四邊形ABFD是平行四邊形，四邊形ABDE是平行四邊形，從而得到AB=DE=DF=

FE．

（2）根據(jù)角之間的關(guān)系我們可以得到∠ECF=90o，即CE⊥CF．

解答：解：

（1）DC=

FE，理由：AD∥BC，DF∥AB

∴四邊形ABFD是平行四邊形

∴AB=DF

由AE∥BD，AB∥DE

∴四邊形ABDE是平行四邊形

∴AB=DE

∴AB=DE=DF=

FE（6分）

 

（2）CE⊥CF，理由：由（1）得DC=DE∴∠DCE=∠DEC

由DC=DF得∠DFC=∠DCF

又∵∠DEC+∠DCE+∠DFC+∠DCF=180o

∴2（∠DCF+∠DCE）=180o

∴∠DCF+∠DCE=90o

∴∠ECF=90o即CE⊥CF．（6分）

 

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定及等腰梯形的性質(zhì)，做題時(shí)需對(duì)已知進(jìn)行靈活運(yùn)用．

3、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD；AB=9，CD=3，AD=BC=5，DE⊥AB于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（

）．

（1）DE的長(zhǎng)為4；

（2）當(dāng)MN∥AD時(shí)，求t的值；

（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNB為等腰三角形．

 考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；等腰三角形的判定。

專題：動(dòng)點(diǎn)型。

分析：（1）由等腰梯形可以得出AE的長(zhǎng)度為AB減去CD的一半，根據(jù)勾股定理可以得出DE的長(zhǎng)度．

（2）連接EC，可以得出AD∥CE，即CE∥MN，得出△BMN∽△BEC，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系可以得出答案．

（3）要使△MNB為等腰三角形應(yīng)分三種情況討論：①當(dāng)NM=NB時(shí)、②當(dāng)BM=BN時(shí)、③當(dāng)MN=MB時(shí)三種情況下t的值即可．

 解答：解：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB∥CD，

∴AE=

（AB﹣CD）=3，

在Rt△AED中，由勾股定理可得：

∴DE=

==4，

（2）由（1）可得AE=3=CD，連接CE，如右圖所示：

∵AE∥DC且AE=DC，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∴AD=CE且AD∥CE

又∵M(jìn)N∥AD，

∴MN∥CE

∴△BMN∽△BEC，

∴

=，

t秒后，BM=AB﹣2t=9﹣2t，BN=t，BE=6，BC=5

即：

=，t=．

 所以，t的值為

秒．

（3）在△MNB中，BM=AB﹣2t=9﹣2t，BN=t，

①當(dāng)NM=NB時(shí)，MN∥CE，

此時(shí)，由（1）知t的值為

秒；

②當(dāng)BM=BN時(shí)，9﹣2t=t，t=3，

此時(shí)，t的值為3秒．

③當(dāng)MN=MB時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥BC于H，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如右圖所示：

∵∠B=∠B，∠MHB=∠CGB

∴△BMH∽△BCG

∴

=，即：=，t=，

所以，此時(shí)t的值為：

．

所以，當(dāng)t=

秒，t=3秒，t=秒時(shí)，△MNB為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，注意分類討論的運(yùn)用，用到的知識(shí)點(diǎn)有平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及平行線的性質(zhì)等．

4、如圖①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（如圖②），在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請(qǐng)說明理由；若沒有改變，那么△ABP的面積為5

；

（3）在（2）的條件下，過B作BH⊥AP于H（如圖③），若

，則AP=；

（4）在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QM∥CD交BC于M（如圖④），探究：四邊形PDQM可能為菱形嗎？若可能，請(qǐng)求出BM的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)。

專題：動(dòng)點(diǎn)型；探究型。

分析：（1）過點(diǎn)A作AE∥BC，可以得出ABCE是平行四邊形，即得出AE=BC，繼而得出△AED是正三角形，有AB=4，CD=9，可以得出答案．

（2）過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，作圖可以得出∠2=30°，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理可以分別求出ED和AE的數(shù)值，有AB的值，根據(jù)面積公式求解即可．

（3）△ABP的面積有兩種表示方法，根據(jù)（2）中求得的面積，又知道BH的長(zhǎng)度，即可得出AP的值．

（4）作出圖形，由MQ∥PD，得出當(dāng)MQ=PD時(shí)，四邊形PDQM是平行四邊形，當(dāng)QD=PD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，進(jìn)而得出∠1=∠C=60°，即△CMP和△DPQ均為正三角形，可以求得CM=CP=4.5，過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，得出△BCE是正三角形，進(jìn)而得出當(dāng)MQ=PD=QD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，此時(shí)BM的長(zhǎng)為0.5．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE=BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，

∴AE=AD，

∵∠1=∠C=60°，

∴△AED是正三角形，

∴AD=DE，

∵CE=AB=4，CD=9，

∴ED=DC﹣DE=5，

∴AD=5．

 

（2）△ABP的面積不變，理由：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，

由（1）得正△ADE中∠D=60°，

∴∠2=90°﹣∠D=30°，

∴

，

∴

 ∴

故△ABP的面積為

 

（3）由（2）得

，而BH⊥AP，

∴

∵

，

∴

 

（4）當(dāng)MQ=PD=QD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，此時(shí)BM的長(zhǎng)為0.5．

理由：∵M(jìn)Q∥PD，

∴當(dāng)MQ=PD時(shí)，四邊形PDQM是平行四邊形，

∴當(dāng)QD=PD時(shí)，四邊形PDQM是菱形，

∴MP∥

=QD，

∴∠1=∠D．

∵等腰梯形中，∠D=∠C=60°，

∴∠1=∠C=60°，

∴△CMP和△DPQ均為正三角形，且邊長(zhǎng)相等．

∴

，

∴CM=CP=4.5．

過點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，

∴BE=AD．

∵BC=AD，

∴BC=BE，

∴△BCE是正三角形，

∴BC=CE，

∵ED=AB=4，CD=9，

∴BC=CE=CD﹣AB=5，

∴BM=BC﹣CM=0.5．

 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，要能夠清楚地弄懂題意，合理的作出輔助線是做題的關(guān)鍵．

5、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O在梯形ABCD中，連接AO、BO、CO、DO，且BO=CO，如圖所示，

（1）求證：AO=DO；

（2）其余條件都不變，只是點(diǎn)O在梯形外，結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)補(bǔ)充完圖形，并說明理由．

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

專題：證明題。

分析：（1）如圖，梯形ABCD是等腰梯形，則AB=CD，∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，易證△ABO≌△DCO，即可證得；

（2）由（1）得AB=CD，∠ABC=∠DCB，又OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，同理易證△ABO≌△DCO，即可證得；

解答：（1）證明：∵在等腰梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

又∵BO=CO，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABO=∠DCO，

∴△ABO≌△DCO（SAS），

∴AO=OD；

 

（2）成立；理由如下：

證明：∵在等腰梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

又∵BO=CO，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABO=∠DCO，

∴△ABO≌△DCO（SAS），

∴AO=OD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是證明邊或角相等的常用方法，證明全等時(shí)，注意選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．