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30°角背景下直角三角形的存在性問題

妍小青 >《待分類》

2022.01.03

關(guān)注

在八年級(jí)的壓軸題中，直角三角形的存在性問題是非常常見的。對(duì)于此類問題，我們常常有以下的路徑解決：

① 分類討論，即若▲ABC是直角三角形，則∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°；

② 根據(jù)題意具體分析，以上三種可能是否都成立；

③ 利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)(1:√3:2)以及勾股定理進(jìn)行解決。

對(duì)于底角為30°的等腰三角形，其腰和底的比為1:√3。掌握這條性質(zhì)可以快速地得到邊之間的數(shù)量關(guān)系。

解法分析：本題的第1問是函數(shù)關(guān)系的確立。由EF//AC，可得▲BEF也是一個(gè)底角為30°的等腰三角形，而已知腰長(zhǎng)為y，底邊長(zhǎng)為3+x，則輔助線的添加利用等腰三角形的三線合一定理，即過點(diǎn)F作BC的垂線，利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)以及勾股定理確立函數(shù)關(guān)系。對(duì)于函數(shù)關(guān)系的建立，首先需要標(biāo)注出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，然后將線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或一條線段上，從而建立函數(shù)關(guān)系。

利用底角為30°的等腰三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，可以快速得到√3y=x+3.

本題的第2問是直角三角形的存在性問題，由于∠B=90°，因此只有∠BDF或∠BFD=90°兩種情況，結(jié)合第1問的函數(shù)關(guān)系，求出x或y的值，繼而得出▲BDF的面積。

解法分析：本題是直角三角形的存在性。需要根據(jù)題意畫出圖形，其中點(diǎn)P在線段AB上，而點(diǎn)D可能在線段BC上，也可能在線段BC的延長(zhǎng)線上，因此需要分類討論。同時(shí)，根據(jù)圖形，再進(jìn)行分類討論，利用30°-60°-90°直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，可以得到PB的長(zhǎng)度。

解法分析：本題是直角三角形的存在性。當(dāng)▲CDF是直角三角形時(shí)需要分類討論。由于∠C=60°，因此有∠FDC=90°或∠DFC=90°兩種情況，再根據(jù)勾股定理或30°-60°-90°直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，求出CD的長(zhǎng)。

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