在滬教版八年級下冊課本100頁中的一道習題的背景是梯形，其中涉及了豐富的幾何元素：角平分線和中點，其中滲透了常見的與中點和角平分線相關(guān)的添線方法。當題設(shè)和結(jié)論進行相應的變化后，仍然成立，本文就來具體探究下這道題的解法特點，并進行相應的變式進行探究。 課本中的這道例題利用點E是AB中點，并且滿足CD=AD+BC，通過構(gòu)造中位線，利用了平行線和等腰三角形的性質(zhì)得到了DE⊥EC、DE平分∠ADC及CE平分∠BCD.本題的突破口在于E是AB中點，那么本題可否倍長中線進行證明呢？通過倍長中線，利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一，可以得到DE⊥EC、DE平分∠ADC及CE平分∠BCD，本題可以向下倍長(圖1)或向上倍長(圖2)。 分析：和例題相比較，這是題設(shè)“CD=AD+BC"和結(jié)論"DE平分∠ADC”互換了，但是證明方法是否可以延用呢？本題中除了中點的特點，還可以利用角平分線的性質(zhì)添加輔助線。
證法1：構(gòu)造梯形的中位線，利用平行線及等腰三角形的性質(zhì)證明。證法2：倍長中線，利用平行線和角平分線以及全等三角形的性質(zhì)得證。值得注意的是，已知條件中是DE平分∠ADC，因此延長CE、DA交于點H，此時構(gòu)造了等腰三角形DGC；若已知條件是CE平分∠BCD，則延長DE、CB交于一點，根據(jù)角平分線位置進行倍長中線構(gòu)造等腰三角形。證法3：利用角平分線的性質(zhì)做垂線，利用角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的性質(zhì)定理證明，證明的過程比較麻煩，要利用三次全等進行證明。
若E為AB邊上任意一點，只能利用倍長中線的方法來證明CD=AD+BC，此時構(gòu)造中位線及做垂線的的方法就略顯局限性了。分析：由于要證明E為AB中點，因此仍舊可以通過延長DA、CE交于點H，利用CD=AD+BC，構(gòu)造全等三角形。本題中不能通過構(gòu)造中位線法或做垂線法證明。
當本題中的條件改為“ABCD為梯形，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD”時，可以利用角平分的性質(zhì)定理直接得到E為AB中點。
由此，我們可以推斷出：對于梯形ABCD，AD//BC中，當①DE平分∠ADC（CE平分∠BCD）；②E為AB中點；③CD=AD+BC中的任意2個為條件可以推出另一條結(jié)論。添線的方法可以構(gòu)造中位線、倍長中線、向角的兩邊作垂線等，根據(jù)條件的不同，方法各有不同，但是倍長中線法是通法，其他兩種方法有其一定的局限性。
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