隨著新一輪數(shù)學(xué)課程改革的深入進(jìn)行，一些課程專家意識(shí)到課程實(shí)施的關(guān)鍵是新課程理念如何為廣大教師所接受．如果廣大的一線教師缺少參與意識(shí)，對(duì)新課程改革持否定態(tài)度或反應(yīng)冷淡，那么數(shù)學(xué)課程改革的理想就會(huì)落空．越來(lái)越多的學(xué)者主張以數(shù)學(xué)案例為載體解決理論聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，把新課程理念落到實(shí)處，將案例研究作為教師培訓(xùn)的基本方式之一．我們知道，教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是由無(wú)數(shù)的教學(xué)片段編織而成的，利用課程和教學(xué)論的有關(guān)原理對(duì)這些片段加以整理和反思，就構(gòu)成了教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)的基本認(rèn)識(shí)．
一、案例概論
1．案例研究的起源
案例研究，是從司法學(xué)移植來(lái)的名詞，在英文里稱為case study，其中case意為案例，study意為研究．案例一詞的出現(xiàn)已經(jīng)有大約100年的歷史了．案例研究方法被引入教育界，主要有兩個(gè)起因：一是“教師成為研究者”的口號(hào)．新課程理念下，教師不應(yīng)該只是一個(gè)“教書匠”，而更應(yīng)該是一個(gè)“研究者”．雅斯貝爾斯認(rèn)為：“只有自己從事研究的人才有東西教別人，而一般教書匠只能傳授僵硬的東西．”顯然，長(zhǎng)篇大論的理論探究并非一線教師所長(zhǎng)，生動(dòng)的、鮮活的案例是教師寶貴的源泉，從而以發(fā)生在教師身邊的事物為研究對(duì)象就成為必要；二是在課程培訓(xùn)中遇到了一些困難．培訓(xùn)效率低下，一線教師對(duì)培訓(xùn)的東西不感興趣．因?yàn)檫@些東西不能適應(yīng)教師的實(shí)際需求，不能真正培養(yǎng)教師解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在培訓(xùn)中所教的東西往往理論脫離實(shí)際，不能真正運(yùn)用到實(shí)際的課堂中去．
2．案例的界定
何謂案例，國(guó)外學(xué)者有下列界定：“案例是對(duì)真實(shí)事件的描寫，其中所包括的內(nèi)容，能引起大家思考和爭(zhēng)論的興趣，且富有啟發(fā)性．”“教學(xué)案例描述的是教學(xué)實(shí)踐，它以豐富的敘述形式，向人們展示了一些包含有教師和學(xué)生的典型行為、思想、感情在內(nèi)的故事．”
國(guó)內(nèi)有學(xué)者認(rèn)為，一個(gè)案例就是一個(gè)包含有疑難問(wèn)題的實(shí)際情境的描述，是一個(gè)教育實(shí)踐過(guò)程中的故事，描述的是教學(xué)過(guò)程中“意料之外，情理之中的事．”這可以從以下幾個(gè)方面來(lái)認(rèn)識(shí)：
1)案例是與實(shí)踐相關(guān)的．不管哪種類型的案例都是與特定事物有關(guān)的，它們必然是關(guān)于情景的，也就是特定事物蘊(yùn)涵于其中的或?yàn)檫_(dá)到分析目的而基于實(shí)踐而建構(gòu)的情景．
2)案例是與行動(dòng)、意圖和教師職業(yè)責(zé)任相關(guān)的．案例的描述有時(shí)只需要用幾個(gè)句子就可以描述一個(gè)進(jìn)退兩難的問(wèn)題情境．
3)案例是與教學(xué)變量、意義、理論觀點(diǎn)的多樣性相關(guān)的．案例蘊(yùn)涵了教學(xué)復(fù)雜性、不確定性和問(wèn)題性．案例是對(duì)某種具體情景的記錄，是對(duì)當(dāng)前課堂中真實(shí)發(fā)生的實(shí)踐情景的描述．案例描述的是具體的、特殊的、需要進(jìn)行探索和解決的問(wèn)題．案例是為了突出一個(gè)主題而截取的教學(xué)行為片斷，這些片段蘊(yùn)涵了一定的教育理論．案例不是課堂實(shí)錄，也不是教師教案．
在認(rèn)識(shí)案例的過(guò)程中，有些學(xué)者形成了對(duì)案例的一些基本觀點(diǎn)．
第一，所有的案例都是事件，但并不是所有的事件都可以成為案例．案例展示與反映的肯定是一個(gè)事件，否則也就不稱其為案例．但是能夠作為案例的事件必須要具備這樣兩個(gè)基本條件：一是在事件中一定要包含一個(gè)或多個(gè)疑難問(wèn)題，同時(shí)也可能包含解決這些問(wèn)題的方法，換句話說(shuō)，沒(méi)有問(wèn)題在內(nèi)的事件不能稱為案例；二是這個(gè)事件應(yīng)該具有一定的典型性，通過(guò)這個(gè)事件可以給人帶來(lái)許多思考，提供若遇到同樣或類似事件如何應(yīng)對(duì)的借鑒意義和價(jià)值．
第二，所有的案例都是故事，但并不是所有的故事都可以成為案例．案例講述的肯定是一個(gè)故事，并且許多情況下講述的是一個(gè)有趣的故事，其中會(huì)有一些生動(dòng)的情節(jié)、鮮活的人物．但作為案例的故事至少應(yīng)該具備這樣兩個(gè)條件：一是這個(gè)故事必須是一個(gè)真實(shí)的事例，不能是編制者自己憑空想象杜撰出來(lái)的，沒(méi)有真實(shí)發(fā)生的故事不能作為一個(gè)案例：二是玟個(gè)故事要有一個(gè)從開(kāi)始到結(jié)束的完整情節(jié)，片斷的、支離破碎的、無(wú)法給人以整體感的所謂故事不能作為一個(gè)案例．
第三，所有的案例都是對(duì)某一個(gè)事例的描述，但并不是所有事例的描述都可成為案例．在案例的敘寫上，要具備下列條件：一是事例的描述中要包括有一定的沖突；二是事例的描述要具體、明確，不應(yīng)是對(duì)事件大體如何的籠統(tǒng)描述，也不應(yīng)是對(duì)一件事情所具有的總體特征所作的抽象化的、概括化的說(shuō)明；三是描述中要把事例置于一個(gè)時(shí)空框架之中，也就是要說(shuō)明故事發(fā)生的時(shí)間、地點(diǎn)等；四是事例的描述要能反映出教育教學(xué)工作的復(fù)雜性，揭示出人物的內(nèi)心世界，如態(tài)度、動(dòng)機(jī)、需要等；五是事例的描述要能反映出故事發(fā)生的特定背景．
3．一個(gè)好案例具備的性質(zhì)
什么樣的案例才是一個(gè)好的案例呢?貝內(nèi)特(Bennett)等人通過(guò)對(duì)哈佛工商學(xué)院一年級(jí)學(xué)生及教師的調(diào)查，認(rèn)為一個(gè)好案例具有下列性質(zhì)：
一個(gè)好的案例應(yīng)講述一個(gè)故事．像所有好故事的標(biāo)準(zhǔn)一樣，一個(gè)好的案例必須要有有趣的情節(jié)，要能把事件發(fā)生的時(shí)間、地點(diǎn)、人物等按一定結(jié)構(gòu)展示出來(lái)，當(dāng)然在這其中，對(duì)事件的敘述和評(píng)點(diǎn)也是必要的組成部分．
一個(gè)好的案例要把注意力集中在一個(gè)有趣的論題上，應(yīng)是生動(dòng)事例的再現(xiàn)，必須要有一個(gè)中心論題．
一個(gè)好的案例描述的應(yīng)該是近年發(fā)生的事情，學(xué)生更愿意接觸這樣的案例，而不愿接觸時(shí)間間隔較長(zhǎng)的那些案例．
一個(gè)好的案例可以使學(xué)生對(duì)案例所涉及的人產(chǎn)生移情作用．在案例中，至關(guān)重要的一點(diǎn)，是描述其一個(gè)人或單位面臨的獨(dú)特情景．
一個(gè)好的案例應(yīng)包括從案例反映的對(duì)象那里引述的材料．
一人好的案例需要有對(duì)已經(jīng)做出的決策的評(píng)價(jià)．也就是說(shuō)，一個(gè)好的案例不僅要提供論題，而且也要有對(duì)以往決策的評(píng)價(jià)，以便為新的決策提供參照點(diǎn)．
一個(gè)好的案例需要對(duì)面臨的疑難問(wèn)題提出解決方法．
另一位研究案例的著名學(xué)者托爾(Towl，A．R)也說(shuō)：“一個(gè)出色的案例，是教師與學(xué)生就某一具體事實(shí)相互作用的工具；一個(gè)出色的案例，是以實(shí)際生活情景中肯定會(huì)出現(xiàn)的事實(shí)為基礎(chǔ)所展開(kāi)的課堂討論．它是進(jìn)行學(xué)術(shù)探討的支撐點(diǎn)；它是關(guān)于某種復(fù)雜情境的記錄；它一般是在讓學(xué)生理解這個(gè)情境之前，首先將其分解成若干成分，然后再將其整合在一起．”
二、案例研究與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)
新課程理念下，數(shù)學(xué)課程不再是整齊劃一，而是為教師留下了廣闊的創(chuàng)造空間．教師的業(yè)務(wù)水平、組織才能、創(chuàng)新能力在新課程教學(xué)中可以得到充分展現(xiàn)，新課程對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)化提出了更高的要求．?dāng)?shù)學(xué)教師專業(yè)化的過(guò)程是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)、不斷發(fā)展的過(guò)程．通過(guò)案例研究，可以幫助教師認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的有關(guān)規(guī)律，有利于解決教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的真實(shí)的問(wèn)題，能調(diào)整與改進(jìn)教師的教學(xué)行為，增加教師的實(shí)踐智慧，促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)．
1．提高教師解決實(shí)際問(wèn)題的能力
數(shù)學(xué)案例知識(shí)有助于幫助教師形成研究和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．學(xué)習(xí)理論的最好策略之一是“結(jié)合實(shí)踐的對(duì)話”，學(xué)生是在“做中學(xué)數(shù)學(xué)”，那么教師對(duì)案例的深入研究與改進(jìn)，也是在“做中學(xué)數(shù)學(xué)”．在案例研究中，教師學(xué)會(huì)診斷問(wèn)題，識(shí)別多種教學(xué)因素的特征，從而提高教學(xué)水平，提高教學(xué)設(shè)計(jì)的自覺(jué)性、科學(xué)性和藝術(shù)性．這將有助于教師積累個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而獲得在新課程教學(xué)情景下的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)．
2．提高教師的反思能力
通過(guò)討論案例中涉及到的各種各樣的問(wèn)題，逐漸學(xué)會(huì)了如何去分析問(wèn)題，遇到類似的情境或問(wèn)題該如何對(duì)待，同時(shí)掌握了如何對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思，有助于形成教師的反思能力．一些典型的數(shù)學(xué)案例是以真實(shí)的情境為基礎(chǔ)，圍繞一些令人困惑的問(wèn)題展開(kāi)討論的，它給讀者提供以不同理論的視角來(lái)分析教學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì)，容易引起教師的共鳴．所以它更能促進(jìn)教師把案例與親身的教學(xué)體驗(yàn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行理性的反思，通過(guò)與同行的交流，豐富自己對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的全面理解．
3．提高教師的理論研究水平
數(shù)學(xué)案例，作為溝通教學(xué)教育理論與教學(xué)實(shí)踐的橋梁，為教師提供了理解“實(shí)踐情景”的機(jī)會(huì)．正如新課程倡導(dǎo)為學(xué)生提供豐富生活內(nèi)涵的情景性問(wèn)題有利于學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)一樣，提供富有吸引力的“教學(xué)實(shí)踐情景”，同樣有利于教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中獲得更多新課程理念的感受．案例研究不僅是教學(xué)問(wèn)題解決的源泉，它還是教師學(xué)習(xí)理論、研究理論的一塊肥沃的土壤．一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)案例中往往包含著從教育學(xué)、心理學(xué)、課程論和教學(xué)論的角度對(duì)案例過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行的深刻反思，有利于教師理論水平的提高．
4．有利于新課程理念的達(dá)成
當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革正在全國(guó)范圍內(nèi)逐步推進(jìn)，數(shù)學(xué)教師的參與能力如何，直接影響到新課程理念的達(dá)成和目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)．由于部分教師未能完全理解課程改革的理念，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中時(shí)時(shí)出現(xiàn)部分偏差．如何縮小從“理想課程”到“實(shí)踐課程”之間的落差，已經(jīng)引起越來(lái)越多的教育專家與一線教師的高度重視．人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，以數(shù)學(xué)教學(xué)為基礎(chǔ)的典型案例，可以使廣大數(shù)學(xué)教師有機(jī)會(huì)去思考和實(shí)踐數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的理念和內(nèi)容．以案例研究為載體，輔以專家專業(yè)引導(dǎo)和教師個(gè)人行為反思，有助于上述問(wèn)題的解決．
5．縮短青年教師成長(zhǎng)的時(shí)間
案例研究可以使教師分享經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)溝通，把個(gè)體經(jīng)驗(yàn)變成了可以共享的財(cái)富．由于廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的實(shí)際工作方式十分相似，通過(guò)案例研究，教師看到更多的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的某一片斷、某一局部．從而把一些真實(shí)的問(wèn)題展現(xiàn)在被培訓(xùn)的青年教師面前，也就給他們提供了像專家型教師一樣去思維的實(shí)踐機(jī)會(huì)，增強(qiáng)了青年教師應(yīng)對(duì)新課程理念下教學(xué)實(shí)踐的能力．
三、數(shù)學(xué)案例研究的基本特點(diǎn)
1．普遍性與典型性
案例研究可以探索數(shù)學(xué)教育的普遍規(guī)律，然而，反映這些規(guī)律的案例卻是特殊的、個(gè)別的事物．為了用特殊案例有效地反映一般的教學(xué)規(guī)律，這些特殊事件應(yīng)該具有典型性．
2．情景性與過(guò)程性
案例研究是把實(shí)際教學(xué)情景下發(fā)生的真實(shí)事件作為研究的第一手資料，是在自然、真實(shí)的情境中展開(kāi)研究．案例研究者首先需要進(jìn)入一種情境，強(qiáng)調(diào)根據(jù)特定的教學(xué)情景解釋某一事件，而不是抽象地考慮問(wèn)題，得出結(jié)論．案例研究在講究情境性的同時(shí)，還應(yīng)該注重過(guò)程性．案例涉及數(shù)學(xué)教學(xué)的某些具體過(guò)程或情景，這些過(guò)程或情景的特點(diǎn)是：以具體的人物、場(chǎng)景和數(shù)學(xué)教育內(nèi)容為載體，展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，反映了數(shù)學(xué)教學(xué)的具體心理活動(dòng)，揭示了數(shù)學(xué)交流、思維沖突和發(fā)展過(guò)程．
3．個(gè)別性與局限性
案例研究所展示的內(nèi)容、人物和情景是個(gè)別的、特定的．它可以反映數(shù)學(xué)教育一定的現(xiàn)象，然而，試圖用它來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)教育的大范圍性的一般規(guī)律，還是受到了較大的限制．為了增強(qiáng)說(shuō)服力，需要把案例研究和其他相關(guān)的研究方法相互配合．
4．合作性與分享性
案例研究不同于一般的思辨研究，它要求教師走進(jìn)課堂，走到學(xué)生中間，通過(guò)實(shí)地考察、親身體驗(yàn)、訪談交流等，獲取第一手翔實(shí)的資料，教師和學(xué)生之間的關(guān)系是平等的，通過(guò)合作與交流，分享彼此的思想和情感．
四、案例研究中應(yīng)注意的問(wèn)題
為了提高案例研究的質(zhì)量，對(duì)案例研究的結(jié)果認(rèn)真加以整理，恰當(dāng)?shù)赜枰员硎觯瑥亩龠M(jìn)人們對(duì)相關(guān)問(wèn)題的進(jìn)一步思考．應(yīng)該注意如下幾點(diǎn)：
1)真實(shí)性．案例必須是數(shù)學(xué)教育的真實(shí)過(guò)程，所展示的必須是真實(shí)的材料，不能虛擬或編造．
2)簡(jiǎn)明性．案例是作為實(shí)證材料而使用的，它的篇幅受到一定的限制．在保留對(duì)象原話精神的前提下，可以適當(dāng)予以簡(jiǎn)化．
3)閃光性．案例不必是一堂完整的課，一個(gè)完整的試驗(yàn)，而只需要選取數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中最能表達(dá)作者意圖的、最有說(shuō)服力的、對(duì)讀者最有啟發(fā)的某一個(gè)片斷．
4)有序性．案例要講究順序，應(yīng)該遵循教學(xué)過(guò)程的自然順序．例如，問(wèn)題的引出和解決過(guò)程，思維的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程等等．
5)多樣性．案例不應(yīng)該局限于擺出一段對(duì)話，可以用交流、敘述、旁注、數(shù)據(jù)、圖表等方式予以表述，也可以用多媒體音像方式予以呈現(xiàn)．
總之，案例研究是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基本環(huán)節(jié)，是保證教學(xué)活動(dòng)沿著正確的方向向前發(fā)展的重要手段．案例研究應(yīng)該重過(guò)程、重應(yīng)用、重體驗(yàn)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究的導(dǎo)向功能、診斷功能、調(diào)節(jié)功能、激勵(lì)功能和反思功能．
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