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試題內(nèi)容
請回答下列各題
(1)問題背景:
如圖1，已知△ABC~△ADE，求證:△ABD~△ACE.
(2)嘗試應用:
如圖2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=
∠ADE=30°，AC與DE相交于點F.點D在BC邊上，(AD/BD)=√3，求(DF/CF)的值.
(3)拓展創(chuàng)新:
如圖3，D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=
90°，AB=4，AC=2√3，直接寫出AD的長.
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解法分析
第一問
相似三角形1+相似三角形2
①由△ABC~△ADE，
證明∠BAC=∠DAE，
AB:AD=AC:AE，
②根據(jù)等式性質(zhì)一，
證明∠BAD=∠CAE，
交換內(nèi)項位置，
證明AB:AC=AD:AE，
根據(jù)相似三角形的判定定理，
證明△ABD~△ACE.
第二問
第一問的類比遷移，相似三角形1+相似三角形2+相似三角形3
①根據(jù)相似三角形的判定定理，證明△ABC~△ADE，
②與(1)同理，
證明△ABD~△ACE，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出EC=(√3/3)BD，
③根據(jù)相似三角形的判定定理，證明△ADF~△ECF，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出DF:CF=AD:EC=AD:(√3/3)BD=3.
第三問
第一、二問的類比遷移，相似三角形1+相似三角形2+直角三角形
①過點D作AD的垂線，交AB于點E，連接CE，根據(jù)相似三角形的判定定理，
證明△BDC~△ADE，
②與(1)同理，
證明△ADB~△EDC，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出CE=(4√3)/3，
③易證△AEC為直角三角形，
根據(jù)勾股定理，
求出AE=(2√15)/3，
在直角三角形ADE中，
根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，
求出AD=√5.
①過點D作AD的垂線，過點A作AB的垂線，兩線交于點E，連接BE，根據(jù)相似三角形的判定定理，證明△BDC~△EDA，
②與(1)同理，
證明△ADC~△EDB，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出BE=6，
③在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理，求出AE=2√5，
在直角三角形ADE中，
根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，
求出AD=√5.
①在AC右側(cè)作∠CAE=30°，AE與BD的延長線交于點E，連接CE，根據(jù)相似三角形的判定定理，證明△ABC~△ADE，
②與(1)同理，
證明△ABD~△ACE，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求出CE=(√3/2)BD，
③設CD=x，則BD=√3x，BC=2x，CE=(3/2)x，
在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，求出DE=(√5/2)x，
根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得：AB:AD=BC:DE，
即：4:AD=(2x):((√5/2)x)，
求出AD=√5.
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