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【2020山東青島中考試卷24】(12分)

已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，

BC＝BF＝6cm，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，

沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜5)．

解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？

(2)連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；

(3)連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S(cm²)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

在直角三角形ABC中，

AB=8cm，BC=6cm，

由勾股定理得：AC=10cm，

同理：EF=10cm，

∴sin∠1=3/5，

sin∠2=4/5，

在直角三角形ECM中，

∵CE=2cm，CM=(3/2)cm，

由勾股定理得：EM=(5/2)cm，

由題意得：AP=2t，

QF=EF-EM-MQ=(15/2)-t，

∵sin∠1=PH:AP，

sin∠2=QN:QF，

∴3:5=PH:(2t)，

4:5=QN:[(15/2)-t]，

∴PH=(6/5)t，QN=6-(4/5)t，

∵四邊形PQNH是矩形，

∴PH=QN，

∴(6/5)t=6-(4/5)t，

∴t＝3；

∴當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，t的值為3；

過點(diǎn)Q作BC的平行線，交BF于點(diǎn)N，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，

則：QR⊥CM，QN⊥AF，NR=BC=6cm，

由(2)得：AP=2t，PH=(6/5)t，

由勾股定理得：AH=(8/5)t，

∴GC=HB=AB-AH=8-(8/5)t，

HF=AB+BF-AH

=14-(8/5)t，

由(2)得：QN=6-(4/5)t，

∴QR=NR-QN=(4/5)t，

∵S四邊形QCGH=S梯形GMFH-S△HFQ-S△CMQ，