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試題內(nèi)容

如圖，等腰Rt△DCE可以繞等腰Rt△ACB的頂點C旋轉(zhuǎn)，∠DCE=∠ACB=90°，AC=CB，DC=CE.點F、H、G分別是DE、AB、EB的中點，連接FH、GH.
【問題解決】
(1)如圖1，∠FHG=     ；
【問題探究】
(2)如圖2，連接AE，若AE=BE，求:；
【問題拓展】
(3)若AC=2 ，旋轉(zhuǎn)等腰Rt△DCE，當DE//BC，且以B、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出FH的長.

解法分析(1)

手拉手全等+八字形相似

根據(jù)SAS證明：△ACE?△BCD，
進而證明：AE=BD，AE⊥BD.

等腰直角三角形

根據(jù)中位線定理，證明：
HG=AE，HG∥AE，F(xiàn)G=BD，F(xiàn)G∥BD，
進而證明：HG=FG，HG⊥FG，
即：△FGH是等腰直角三角形，
所以：∠FHG=45°.

解法分析(2)

由(1)得：HG=AE，△FGH是等腰直角三角形，
所以：FH=HG=AE=BE，
所以：=.

解法分析(3)

線段的轉(zhuǎn)化

由探究過程可得：
HG=AE=BD，
所以：FH=HG=×BD=BD，
“求FH的長”可以轉(zhuǎn)化為“求BD的長”.

變中不變

由題意得：BC和DE是對邊，
因為△CDE是等腰直角三角形，
所以△CBD(E)也是等腰直角三角形(BC為斜邊).

標準圖

1.以BC為直徑作圓O；
2.將45°三角板如圖放置，它的直角邊與圓O交于上、下兩點.

【情況1】
根據(jù)題意補全圖形，如左圖：
△CBD是等腰直角三角形.
所以：BD==2，
所以：FH=.

【情況2】
根據(jù)題意補全圖形，如右圖：
△CBE是等腰直角三角形.
作BM⊥DE，交DE的延長線于點M，
根據(jù)勾股定理求得：
BD=2，
所以：FH=.
綜上所述：FH的長為或.

易錯警示
(2)中結(jié)論不可延續(xù)使用.