45°的條件在平面幾何中比較常見(jiàn)，與45°聯(lián)系最為緊密的圖形無(wú)非是等腰直角三角形或正方形?？吹降妊苯侨切文隳苈?lián)想到什么？對(duì)，是”K”型全等；看到含45°角的正方形你又能想到什么呢？對(duì)，是半角模型?！癒”字型與半角模型本頭條號(hào)曾經(jīng)作過(guò)有關(guān)介紹，本文著重介紹構(gòu)造''K“字型的處理策略。
【例1】 （難度系數(shù)☆☆☆☆）如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC上,∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3,求AB的長(zhǎng)。
【解法一】
第一步：構(gòu)造“K”字型
作EF⊥DE交BD于F，作FH⊥BC
∵∠BDE=45°，EF⊥DE
∴△DEF是等腰直角三角形
∴DE=DF
∵∠DEC+∠FEH=90°
∠EFH+∠FEH=90°
∴∠DEC=∠EFH
∴Rt△DEC≌Rt△EFH
∴CE=FH,EH=DC
第二步：利用“A”型相似計(jì)算
設(shè)CE=x,則BE=5x,FH=x，EH=CD=3,BH=5x-3,BC=6x
∵△BHF∽△BCD
第三步：利用“斜A型”相似求AB
當(dāng)x=1時(shí)，CB=6,作DG⊥AB
∵BD平分∠ABC
∴DG=DC=3
設(shè)AG=a,AD=b
∵Rt△ADG∽R(shí)t△ABC
當(dāng)x=1.5時(shí)，不合題意，舍去。綜合上述，AB=10
【解法二】
第一步：變異的''K“字型
作HB⊥DB，交DE的延長(zhǎng)線于H，作HF⊥BC
易證Rt△BCD≌Rt△HFB
∴CD=FB，HF=BD
第二步：利用“X”型相似計(jì)算
設(shè)CE=x,則BE=5x,EF=5x-3,BC=HF=6x
∵Rt△CDE∽R(shí)t△FHE
第三步：利用“斜A型”相似求AB
同方法一，略。
【總結(jié)】
此題的解法一是構(gòu)造一線三直角模型之”K“字型，解法二是構(gòu)造一線三直角模型之變異”K“字型，兩種解法大同小異。除了構(gòu)圖，解題關(guān)鍵都離不開(kāi)相似，并且大量運(yùn)用了用同一個(gè)字母表示不同的線段，方程思想，勾股定理，解一元二次方程，分類討論等，而這些恰恰是初中數(shù)學(xué)之利器，其重要性可窺一斑！建議同學(xué)們閱讀之后，自己獨(dú)立動(dòng)手計(jì)算一遍。
【解題感悟】
四十五度有訣竅，
等腰直角少不了。
倘若仍然無(wú)法求，
再造一線三直角。
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