關(guān)于45°的處理策略在前面的文章中著重介紹了構(gòu)造等腰直角三角形或構(gòu)造“K”字型。本期將繼續(xù)復(fù)習(xí)鞏固上述策略，并在此基礎(chǔ)上簡單介紹“12345”模型。
一、復(fù)習(xí)鞏固
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠C=45°，AB=AD，AE⊥BC于E，求證：BC=2AE.
解法一：構(gòu)造”K“字型.
作DH⊥BC，AF⊥DH，BG⊥AF
易證△ABG≌△ADF
∴GB=AF，AG=FD
又∵四邊形GBEA,四邊形AEHF均為矩形
∴GB=AE=AF=EH=FH
∵FH=FD+DH=GA+HC=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
解法二：構(gòu)造變異”K“字型
作DH⊥BC，DF⊥AE
易證AE=FD=EH,BE=AF,FE=DH=HC
∵AE=AF+FE=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
顯然構(gòu)造變異的”K“字型比構(gòu)造''K”字型更為簡潔。但這兩種解法本質(zhì)相同，下面再介紹另一種截然不同的解法。
解法三：構(gòu)造中位線
分析：構(gòu)造△BCD的中位線FH，則BC=2FH，這樣只需證△AEH≌△HDF.
證明：作△DBC的中位線HF，連接AH
∵AB=AD,H為BD中點(diǎn)，∠BAD=90°
∴AH⊥BD，AH=DH
∵AE⊥BC
∴A,B,E,H四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上
∴∠1=∠2，∠ABH=∠AEH
∵HF∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
又∵∠ABH=∠C=45°，∠C=DFH
∴∠AEH=∠DFH
∴△AEH≌△HDF
∴AE=HF
∵BC=2HF
∴BC=2AE
【例2】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A（0，4），B（0，-6），P（m,0）(m>0),∠APB=45°，求m的值。
解法一：構(gòu)造變異的“K''字型或構(gòu)造”K“字型
作CA⊥AP，交PB的延長線于點(diǎn)C，作CF⊥AB,作AE平行x軸，PE⊥AE。
易證△APE≌△ACF，得AO=PE=CF=4，PO=AE=AF=m,
由△BOP∽△BFC
OB:OF=OP:CF
解法二：在x軸上分別取一點(diǎn)E、F，使OA=OE，OB=OF，連接AE,BF
∵∠1+∠3=45°，∠1+∠2=45°
∴∠2=∠3
同理，∠1=∠4
∴△AEP∽△PFB
如此巧妙地構(gòu)造相似，為研題者們提供了一種嶄新的思路。
二、模型介紹
【定義】狹義的12345模型：
根據(jù)高中的兩角和誘導(dǎo)公式，對于上述三個式子，滿足任意兩個式子，可推出第三個式子(α、β為銳角)，即：①②→③，①③→②，②③→①。
這里的1/2,1/3，45°簡稱為12345.。
【原理】下面的兩幅圖解可助初中生了解該模型原理。
如圖1，已知tanα=1/2，∠PAE=45°，可得tanβ=1/3
如圖2，已知tanα=1/2,tanβ=1/3,可得△APE為等腰直角三角形，進(jìn)而推出α+β=45°
模型應(yīng)用：
【例1】(2015湖北十堰中考題)如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E,F分別在AB,AD上若CE=3√5，且∠ECF=45°，則CF的長為____.
解法一：12345模型
∵tanα=1/2，α+β=45°，
∴tanβ=1/3
（注意：不可直接用此結(jié)論做中考解答題?。?/p>
∴DF=2，CF=2√10
解法二：構(gòu)造”K“字型或變異”K“字型
如圖，構(gòu)造”K“字型全等及8字型相似，有CF：FG=2：1可得CF=2√10
解法三：構(gòu)造”半角“模型
如圖，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)式全等及軸對稱式全等，由勾股定理可計(jì)算出x。
【解題感悟】
四十五度有訣竅，
等腰直角少不了。
K字模型及變異，
還有12345與半角。
