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中位線定理

若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
則DE//BC，DE=BC.

逆定理1
(點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn))
若DE//BC，DE=BC，
則點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

證明方法1：回歸課本
延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接AF、CF、CD.
∵EF=DE=BC，
∴DF=DE+EF=BC，
又∵DE//BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴CF//BA，CF=BD，
根據(jù)AAS證明：△AED?△CEF，
∴CF=AD，AE=CE，
∴AD=BD，
即：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

證明方法2：相似三角形
∵DE//BC，
∴△ADE～△ABC，
∴===，
∴AD=AB，AE=AC，
∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

逆定理2
(點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn))
若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE//BC，
則點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE=BC.

證明方法1：回歸課本
延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DF=DE，連接AF、BF、BE.
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF//AC，BF=AE，
又∵DE//BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BF=CE，BC=EF，
∴AE=CE，DE=EF=BC，
即：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE=BC.

證明方法2：中位線
取BC的中點(diǎn)F，連接DF.
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DF//AC，DF=AC，
又∵DE//BC，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴CE=DF=AC，DE=CF=BC，
即：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE=BC.

證明方法3：平行線分線段成比例
∵DE//BC，
∴==1，
∴AE=CE，即：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DE=BC.

證明方法4：平行公理
取AC的中點(diǎn)F，連接DF，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DF//BC，DF=BC，
∵DE//BC，
∴DE與DF重合，
(過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.)
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE=BC.

逆命題
(點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn))
若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE=BC，
則點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE//BC.

1.當(dāng)∠C是銳角或鈍角時(shí)，此命題不一定成立.

反例：
如圖，以AB的中點(diǎn)D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AC于點(diǎn)E、E.
此時(shí)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE=BC，
但點(diǎn)E不是AC的中點(diǎn)，DE與BC不平行.

2.當(dāng)∠C是直角時(shí)，此命題成立.

以AB的中點(diǎn)D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，可證明圓與AC相切于點(diǎn)E(作垂直，證半徑)，
此時(shí)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE//BC.