數(shù)學公式能激發(fā)數(shù)學學者們的“美感”嗎？科學家們用科學實驗的方法來測試和證明這點，同時也研究美感的來源與大腦活動的關系。例如，知名英國數(shù)學家阿提雅（M. Atiyah）在2014年曾經(jīng)利用核磁共振造影對大腦掃描，進行了一個實驗，結果證實了：數(shù)學家對數(shù)學的美感，與人們對音樂繪畫等藝術產生的美感，是來源于腦部的同一個區(qū)域：前眼窩前額皮質（mOFC）A1 區(qū)。
阿提雅選擇提供了60個包含許多領域的數(shù)學公式，讓16位數(shù)學家受測，分別對這些公式從丑到美打分數(shù)，并同時進行腦部掃描，測量產生數(shù)學美感時大腦中情緒活躍的區(qū)域和程度。他們在論文中說明了實驗分析的結果，顯示數(shù)學或抽象公式不但激發(fā)美感，使人產生精神上的亢奮，而且在大腦中和藝術美感共享相同的情緒區(qū)域！
有趣的是，這些數(shù)學專業(yè)人士，在提供給他們的60個公式中，評選出了一個“最丑的”和一個“最美的”數(shù)學表達式。它們分別是下面兩個。
最丑的：
最美的：
最丑的就沒有什么可評論的了，那是一個看起來十分復雜令人費解的表達式，用無窮級數(shù)來計算 1/π。況且，這只是從60個式子中選出來的，如果給出更多的選擇可能性，一定還有更復雜，更丑的！
最美的公式被稱為“歐拉恒等式”，當然也僅僅是從60個例子中脫穎而出的。不過，歐拉恒等式一直受到科學家們的好評，例如，美國物理學家理查德·費曼（Richard Phillips Feynman）就曾經(jīng)稱這恒等式為“數(shù)學最奇妙的公式”。
奇妙在哪里呢？因為它把自然界五個最基本最重要的數(shù)學常數(shù)e、i 、π、1、0極簡極美地整合為一體。其中e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)的單位，π是圓周率，剩下的1和0，在數(shù)學上的地位就不言自明了。奇妙之處在于，憑什么把這5個常數(shù)，如此簡潔地連系在一起？其中還包括了像p =3.141592653....，e =2.718281828....，這種奇怪的超越數(shù)？
這條恒等式第一次出現(xiàn)于1748年瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在洛桑出版的書中，是以下復分析歐拉公式當x = π時的特殊情況：
但是，不懂數(shù)學的人是無法欣賞歐拉恒等式和歐拉公式之美的。如果不知道e、i 、π符號所表達的意思，不懂復數(shù)，不懂冪次，不知道無理數(shù)和三角函數(shù)以及它們代表的幾何意義，就無法理解這兩個公式體現(xiàn)的美。并且，隨著你越清楚這些概念在數(shù)學、量子力學、工程中的威力和聯(lián)系，你就就越會贊嘆這簡潔公式之懾人之美！
由上述“最美”、“最丑”的結果還可發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)數(shù)學家是把樸素簡單看作數(shù)學之美的重要屬性。
數(shù)學美不僅使數(shù)學自身美不勝收，也給科學美錦上添花。科學中的數(shù)學美有多種形式，主要有：簡潔之美、邏輯之美、對稱之美、完備之美。
·簡潔之美
科學用數(shù)學來凝練和濃縮，這是簡潔之美，例如上面的歐拉恒等式。把復雜的事情簡單化，是一種本領和智慧。簡約不等于簡單，大智若愚，大道至簡，用簡去繁，以少勝多。中國清代著名書畫家鄭板橋用“刪繁就簡三秋樹” 表明他的書法及文學理念，主張以最簡練清晰的筆墨，不同凡響的思想，表現(xiàn)出最豐富的內容。實質上與西方邏輯中常說的所謂“奧卡姆剃刀”：“如無必要，勿增實體”的 原則，是一個意思，同屬“簡潔之美”。
科學的目的本來就是要尋找對自然現(xiàn)象最簡單最美的描述。刪除一切沒必要的多余“實體”，留下最少的。多樣性中的簡單性，才意味著事物之間的和諧。
科學研究中的奧卡姆剃刀原則意味著：當你面對導致同樣結論的兩種理論時，選擇那個最簡單的，實體最少的！例如，物理學家研究統(tǒng)一理論，基本物理規(guī)律、各種粒子、和相互作用力，是理論中的實體。那么，統(tǒng)一理論所追求的就是一種簡潔美。就是用最少數(shù)目的物理規(guī)律來描述自然現(xiàn)象；用最少數(shù)目的“不可分割基本粒子”來構成所有的物質；用最少種類的“力”來描述物質之間的相互作用，這才符合奧卡姆剃刀原則！
分形和混沌的理論，將自然界及科學理論中，看起來十分復雜的現(xiàn)象，通過“自相似性質”用幾個簡單的方程來描述，也是一個追求“簡潔美”的例子。
麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831年—1879年）將電磁學中的高斯定律、高斯磁定律、法拉第感應定律、麥克斯韋-安培定律等整合在一起，建立了麥克斯韋方程組，描述電和磁的性質，并成功地得出，光也是一種電磁波的結論。
我們現(xiàn)在看到的麥克斯韋方程由4個簡潔而美麗的方程構成。然而，在麥克斯韋因胃癌而去世的那一年，麥克斯韋方程組還不是目前這種簡潔的形式。那時候的方程組包含了20個方程，這種看起來并不漂亮、暫時也沒有實驗證據(jù)的“整合”，使人們當年反對麥克斯韋的觀點，不接受他的理論。
如今麥克斯韋方程組具備的簡潔美，要歸功于一個自學成才的英國人奧利弗·亥維賽（Oliver Heaviside，1850年－1925年）。
亥維賽小時家境貧寒，還患過猩紅熱，因此造成他有點兒聾。就是這樣一個沒有接受過正規(guī)高等教育、作風頗為古怪的傳奇人物，自己教會了自己當時世界上最高深的理論：微積分和電磁學。亥維賽善于用直覺進行論述和數(shù)學演算，在數(shù)學和工程上都做出了許多原創(chuàng)性的成就。但也許與其自學的背景有關，他不太重視嚴格的數(shù)學論證，因而他提出的算子微積分開始時遭到數(shù)學家們的反對。
亥維賽不在乎別人的反對，獨自創(chuàng)立了矢量微積分學，即如今物理學中常用的矢量分析方法。亥維賽利用新發(fā)明的矢量微積分符號，在麥克斯韋逝世的六年之后，1885年，將麥克斯韋方程組改寫成為今天人們所熟知的4個方程的簡潔對稱的形式。
1891年，亥維賽成為英國皇家學會會員。1905年，德國哥廷根大學授予亥維賽一個名譽博士頭銜。這是學術界給這位自學成才學者的承認和嘉獎。
·邏輯之美
科學一旦形成了理論，首先要有邏輯性，否則就還只是一堆實驗數(shù)據(jù)和現(xiàn)象羅列，算不上理論。錢學森曾經(jīng)說過“科學工作源于形象思維，終于邏輯思維?！币彩沁@個意思。
因此，從事自然科學研究不一定需要多么復雜的頭腦，但卻一定需要清晰的邏輯思維。古希臘就開始的歐幾里德幾何是邏輯體系最初最好最經(jīng)典的樣板。
一個符合邏輯的理論體系，是從幾個基本的原理出發(fā)，用清晰簡潔的思路和推論建立起整個理論大廈。例如，愛因斯坦當初建立狹義相對論，有兩條基本假設：相對性原理和光速不變原理。前者說的是物理規(guī)律在所有慣性系中都具有相同 的形式，后者意味著在所有的慣性系中，真空光速具有相同的值c。
如果從牛頓經(jīng)典物理的觀點來理解，這兩條基本原理似乎邏輯上互相矛盾。特別是“光速恒定”這點不容易理解。為了解決這個互相不自洽的問題，我們需要重新思考時間和空間，重新思考所謂“同時”這種平時看來是司空見慣的現(xiàn)象。仔細考察后我們才知道，原來同時性并不是絕對的，而是相對的。在行駛的火車參考系上看起來“同時”的事件，在相對于地面靜止的參考系上看起來，就不是同時的。這樣，從上述兩條基本原理出發(fā)，愛因斯坦突破了牛頓的絕對時空觀，發(fā)現(xiàn)了時空間的聯(lián)系，對時間空間，以至于質量、能量、動量等，都進行了重新定義。然后，再經(jīng)過邏輯推理，得出了洛倫茨變換，質能公式，等等整個狹義相對論體系。
狹義相對論還可以說是應順時代的產物，解決了當時晴朗物理天空上的兩片小烏云之一：與經(jīng)典電磁理論不符合的邁克爾遜－莫雷實驗。之后，愛因斯坦將相對性原理中的慣性參考系推廣到非慣性參考系，得到了廣義相對論。這個過程并不是為了解釋當時任何不符合理論的實驗觀測數(shù)據(jù)，盡管后來也有“廣義相對論的三大實驗驗證”，但這并不是當年愛因斯坦建立廣義相對論的初衷。他的目的是將經(jīng)典的牛頓萬有引力定律與狹義相對論加以“邏輯”推廣，最后的結果就導致了廣義相對論的建立。這個過程可以說幾乎完全是出于愛因斯坦自身對美的追求。廣義相對論使用幾何語言，統(tǒng)一了引力和時空，可以說是完全構建于理念之中，并非為了解決任何實際問題。
正是因為如上原因，當年的愛因斯坦甚至不太在乎其理論與實驗觀測結果是否相符合。據(jù)說當愛丁頓的日全食觀測驗證了廣義相對論之后，某人與愛因斯坦有如下一段有趣的對話：
某：“愛因斯坦博士，觀測證實您的理論是正確的！”
愛：“我早知道它是正確的?！?/span>
某：“那如果觀測結果和你的理論不一致呢？”
愛：“那很遺憾，但我的理論仍然是正確的！”
愛因斯坦以對時間、空間、引力這些最普通最基本概念的深沉反思，完全理性地建立了廣義相對論理論。令人驚奇的是，這個出于邏輯美之探求而成的理論，迄今為止已經(jīng)經(jīng)受住了100年來實驗和天文觀測的考驗，它體現(xiàn)的科學美著實令人震撼讓人折服。
相對論的建立過程給我們啟迪：欣賞和運用數(shù)學的邏輯之美，能幫助物理、化學、生物、天文、地質等自然科學建立嚴密的邏輯結構，找到自然界不同現(xiàn)象背后的深層規(guī)律。
·對稱之美
對稱性在自然界隨處可見，作為基本數(shù)學概念也不難理解。最簡單的例子就是人體。人體基本上是左右對稱的，有左手又有右手，有左眼又有右眼。自然界還有許許多多對稱的例子：花草、樹木、動物……對稱無處不在。對稱是一種美。各種各樣的對稱性，或許也應該加上各種不對稱性，構成了我們周圍美麗的世界。
有各種各樣不同形式的對稱：平移對稱、軸對稱、中心對稱……。不僅僅大自然物質世界具有對稱性，描述物理世界規(guī)律的科學理論也具有對稱性。例如，宏觀和微觀，經(jīng)典與量子，有互相對應的特點，也可視作互為對稱。
狄拉克可算是是物理學家中追美之第一人。他清心寡欲不染塵，沉迷科研無他求，得了諾貝爾物理獎還不想赴會領取。他特別重視的，是其物理理論之美。
二十世紀初期，愛因斯坦建立相對論，解決了物理學晴朗天空中兩朵小烏云之一。另外一朵烏云的起因是黑體輻射問題，并由此而誕生了量子力學。這兩場“革命”，令人對物理學中的“經(jīng)典”概念之理解，發(fā)生了翻天覆地的變化。相對論基本上是愛因斯坦一人的功勞，量子力學牽涉到分子原子物理中的種種問題，引誘了一大批年輕物理學家蜂擁而上，其中的風流才子薛定諤為量子力學建立了基礎的薛定諤方程，寡語少言、一整天說不出幾個單詞的狄拉克，則建立了相對論粒子遵循的狄拉克方程。
相對于概念迥異的量子“革命”而言，不僅僅牛頓力學是經(jīng)典的，連同時是革命成果的相對論，也都被稱為“經(jīng)典”物理范疇。經(jīng)典物理處理宏觀粒子，量子力學處理微觀粒子，經(jīng)典物理用軌道來描述粒子運動，量子力學則使用概率意義上的波函數(shù)，經(jīng)典粒子具有能量和動量，而在量子力學中變成了相對應的算符。這些互為對應之事實，描述了量子物理與經(jīng)典物理的對稱。
薛定諤根據(jù)經(jīng)典力學的能量公式：E = p2/2m + V，將能量E、動量p、及勢能V，代之以相應的算符，得到了薛定諤方程。
然而，薛定諤方程有一個不足之處：它沒有將狹義相對論的思想包括進去，因而只能用于非相對論的電子，也就是只適用于電子運動速度遠小于光速時的情形。于是，狄拉克使用相對論的能量動量關系：E2 = p2c2 + m2c4，也對稱地代進相應算符，并且對算符進行了一個巧妙的“開方”運算，構建了狄拉克方程。
狄拉克方程的美妙甚至超過了狄拉克的期望，它不僅考慮了相對論效應，還將當時還不是十分清晰的電子自旋特性自動地包含于方程中。
由于對稱性，狄拉克的相對論性電子模型中負能量解跟正能量解一樣有效。這個問題使狄拉克困惑，最后，為了解決這個問題，同時也基于“對稱美”的考量，狄拉克提出了“狄拉克?！钡母拍?，預言了當時并不存在，似乎顯得有些荒謬的正電子的存在。
1932年卡爾·安德森在宇宙射線中發(fā)現(xiàn)了正電子，證實了狄拉克的預言。1956年美國物理學家歐文·張伯倫（Owen Chamberlain）在勞倫斯-伯克利國家實驗室發(fā)現(xiàn)了反質子。
從此之后，與我們原來所見的物質相對稱的“反粒子”、“反物質”逐漸被研究、被預言、被發(fā)現(xiàn)。這些預言充分地體現(xiàn)了“對稱”這個美麗理論的強大魅力，對稱性成為如今基本粒子標準模型的重要基礎。
不過，反物質無法在自然界中找到，即使有少量存在（例如放射衰變或宇宙射線），也會很快地與正常物質發(fā)生湮滅而稍縱即逝。所以，反物質只能在實驗室中人為地被制造出來。由此，對稱性也帶給科學家們一大難題：為什么在現(xiàn)今可見的宇宙范圍中，正反物質如此明顯地不對稱？是否有反物質為主的另類宇宙存在？
世界就是如此奇妙，對稱中又有許多的“不對稱”！所以，不要以為“對稱之美”一定勝利！科學獎項頒發(fā)給發(fā)現(xiàn)對稱的人，也頒發(fā)給發(fā)現(xiàn)不對稱的人。至少有7位學者，因為研究“不對稱”而獲得了諾貝爾物理獎。這其中，我們熟知的華人學者李政道和楊振寧捷足先登。
李楊二人1956年提出了一個弱相互作用中的“宇稱不守恒”定律而得到了1957年的諾貝爾物理獎。宇稱守恒是什么呢？簡單地說，它與公眾熟知的“鏡像對稱”有關。實際上，“宇稱不守恒”的實驗現(xiàn)象在1928年被觀察到，另一位德國物理學家赫爾曼·魏爾（Hermann Weyl，外爾，1885年－1955年），早在1929年就曾經(jīng)提出一個二分量中微子理論來解決這個問題，但因為該理論導致左右不對稱，破壞了外爾心中的對稱之美，最終被他拋棄了。二十多年之后，外爾已經(jīng)去世，李政道和楊振寧重新考慮這個問題，才打破了這個對稱性，吳健雄的實驗最終證實了上帝果然是個弱左撇子！當年的三位華人物理學家，在科學史上合作譜寫出了一段美妙的非對稱旋律。除了宇稱不守恒之外，楊振寧早期還有一項因研究“對稱性”而知名的成果：規(guī)范對稱場中的楊-米爾斯理論，這個杰出的工作使他躋身于當今最偉大的物理學家之列。
還有一種不對稱現(xiàn)象曾經(jīng)困惑物理學家多年，稱之為“自發(fā)對稱破缺”。意思是說，自然規(guī)律（方程）具有某種對稱性，但服從這個規(guī)律的現(xiàn)實情形卻不具有這種對稱性。
人們經(jīng)常舉幾個簡單的例子來說明自發(fā)對稱破缺。比如說，一支鉛筆豎立在桌子上，它所受的力（物理定律）是四面八方都對稱的，它往任何一個方向倒下的幾率都相等。但是，鉛筆最終只會倒向一個方向，這就破壞了它原有的旋轉對稱性，而這種破壞是鉛筆自身發(fā)生的，所以叫自發(fā)對稱破缺。
再表達得更清楚一些，就是說，物理規(guī)律具有某種對稱性，它的方程的某一個解不一定要具有這種對稱性。一切現(xiàn)實情況（實驗、觀測等）都只是“自發(fā)對稱破缺”后的某種特別情形，它只能反映物理規(guī)律的一小部分側面。在一定的意義上，這個概念也可以用以定性地解釋宇宙中正物質多反物質少的問題。
奇妙的是：數(shù)學中的對稱與物理中的守恒定律緊密相關。最早研究這個相關性的是19世紀一位才華洋溢的德國女數(shù)學家：艾米·諾特（Emmy Noether ，1882-1935）。她不僅對抽象代數(shù)作出重要貢獻，也為物理學家們點燈指路，發(fā)現(xiàn)了有關對稱和守恒的一個美妙的定理，被稱為諾特定理。
用通俗的話來說，這個（諾特）定理認為，每一個對稱性質，都對應物理學中的一個守恒量。比如說，空間平移對稱，對應于動量守恒定律；時間平移對稱，對應于能量守恒定律；旋轉對稱，對應于角動量守恒定律。還有些諸位不太熟悉的，例如：電磁場規(guī)范變換對稱，對應于電荷守恒； SU(2)規(guī)范變換對應于同位旋守恒；夸克場的SU(3) 變換則對應于“色”荷守恒。此外，在量子力學中，某些離散對稱性也對應守恒量，例如，對應于空間鏡像反演的守恒量便是李政道揚振寧所發(fā)現(xiàn)并不守恒的“宇稱”。
·完備之美
物理理論不僅追求簡潔，也追求完備。盡量用最少的公式，但企圖描述更多的同類事物。
在數(shù)學上或相關領域，完備性可以從多個不同的角度被精確定義。但總的來說，指的是一個“對象”（或理論、假說、模型），如果不需要添加任何其他元素，可以達到邏輯自洽的話，便說這個對象具有完備性。完備性也稱完全性。
科學不是純數(shù)學，需要實驗和觀測的驗證，因此，在一定的條件下，一個科學理論的完備性可能是相對的，隨時間變化的。
例如，在上世紀60年代中期，物理學家們建立了基本粒子的“標準模型”，將當時物理實驗能量能夠達到的微觀世界最小層次的物質結構和相互作用，統(tǒng)一于61種基本粒子。該理論所預言的數(shù)種粒子在實驗中均被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，但其中的希格斯粒子卻遲遲未露面?？茖W家們孜孜以求，期望等待著希格斯粒子登場，也就是為了證實粒子物理學中 “標準模型” 的完備性，證實物理理論之美。因此，當2012年歐洲核子中心（CERN）發(fā)現(xiàn)標準模型的這個最后一個粒子時，科學界欣喜若狂。
然而，標準模型仍然有其不完備之處，它與少量的實驗結果不相符合，并且，它只統(tǒng)一了3種作用力，而將引力拋棄在外，此外，現(xiàn)有的物理理論也無法解釋宇宙學領域傳來的有關暗物質、暗能量的信息。因此，人們還在等待著更為完美的下一個“統(tǒng)一理論”。
愛因斯坦是追求完備性的物理學家，他認識到經(jīng)典理論的不完備而建立了狹義相對論，繼而追求完備推廣至廣義相對論。然后又因追求最終的完備，將其后半生的努力獻給了物理學的統(tǒng)一大業(yè)，幾十年如一日，孤獨地尋找著一種更為基本更為完備的理論。
針對量子力學理論的詮釋，愛因斯坦曾經(jīng)與波爾展開一場世紀大戰(zhàn)。在爭論的最后一個回合，愛因斯坦于1935年發(fā)表了一篇題為《能認為量子力學對物理實在的描述是完備的嗎？》的論文，通常被稱為EPR論文。文中愛因斯坦提出評價物理理論的標準：一是正確性，二是完備性。愛因斯坦等也提出EPR思想實驗（或稱EPR佯謬），借著檢驗兩個粒子量子糾纏的行為，企圖凸顯出定域實在論與量子力學完備性之間的矛盾。
愛因斯坦認為量子力學不完備，堅持哥本哈根詮釋的波爾認為量子力學完備，這兒爭論的焦點是量子力學中不確定性的本質問題。愛因斯坦一方認為，不確定性的產生是因為理論的不完備，忽略了背后隱藏的隱變量；而波爾一方認為，量子力學中的不確定性，是微觀世界的本質，沒有什么隱變量！爭論雙方的兩位大師去世之后，英國物理學家約翰·貝爾1964年提出了一個方法，可以借助實驗來驗證隱變量理論。如今半個世紀過去了，大量的實驗結果支持量子力學，而非隱變量理論。實驗結果似乎沒有站在愛因斯坦一邊，但對量子力學的完備性問題，人們的看法仍然難以達成一致。
說到完備性，想起著名數(shù)學家哥德爾的“不完備定理” ，哥德爾定理說些什么？和科學理論的完備性有關系嗎？這個問題難以用三言兩語說清楚，留待下次吧。
