江蘇省東臺市實驗中學(xué) 周禮寅
摘要：本文通過對近兩年課改實驗區(qū)中考試題的分析，探討了二次函數(shù)這一部分內(nèi)容在中考命題中呈現(xiàn)出的三個方面的新動向。
關(guān)鍵詞：二次函數(shù)、變換、數(shù)學(xué)模型
新課標(biāo)對于函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)主要關(guān)注：將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；及早滲透函數(shù)的思想；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系；推遲函數(shù)的形式化表達方式等。這些新變化在近幾年課改實驗區(qū)的中考試題得到了充分的體現(xiàn)。通過分析2005、2006年課改實驗區(qū)的中考試題，發(fā)現(xiàn)對二次函數(shù)知識的考查呈現(xiàn)出如下幾方面的新動向：
一、將二次函數(shù)與幾何變換相結(jié)合。
例一、（浙江湖州2006年中考題）已知二次函數(shù)y=x2－bx+1（－1≤b≤1），當(dāng)b從－1逐漸變化到1的過程中，它所對應(yīng)的拋物線位置也隨之變動。下列關(guān)于拋物線的移動方向的描述中，正確的是（ ）
A、先往左上方移動，再往左下方移動；
B、先往左下方移動，再往左上方移動；
C、先往右上方移動，再往右下方移動；
D、先往右下方移動，再往右上方移動。
分析：二次函數(shù)y=x2－bx+1可化為
，可知拋物線的頂點坐標(biāo)為(
)，當(dāng)b從－1逐漸變化到1的過程中，頂點橫坐標(biāo)的值逐漸增大，表示拋物線往右方移動；而當(dāng)b從－1逐漸變化到1的過程中，頂點縱坐標(biāo)的值先逐漸增大后逐漸減小，表示拋物線先往上方移動再往下方移動，故選答案D。
例二、（旅順口區(qū)2006年中考題）已知拋物線y=x?-4x+1。將此拋物線沿x軸方向向左平移4個單位長度，得到一條新的拋物線。
（1）求平移后的拋物線解析式；
（2）若直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若將已知的拋物線解析式改為y=ax?+bx+c(a＞0，b＜0)，并將此拋物線沿x軸方向向左平移 -
個單位長度，試探索問題（2）．
解：(1)y=x2-4x+1 配方，得y=(x-2)2-3，向左平移4個單位，得平移后得拋物線的解析式為y=x2+4x+1
(2)由(1)知，兩拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，3)，(－2，－3)
解
，得
∴兩拋物線的交點為（0，1）
由圖象知，若直線y＝m與兩條拋物線有且只有四個交點時，m＞－3且m≠1
（3）由y=ax2+bx+c配方得，
向左平移-
個單位長度得到拋物線的解析式為
∴兩拋物線的頂點坐標(biāo)分別為
，
解
得
∴兩拋物線的交點為（0，c）
由圖象知滿足（2）中條件的m的取值范圍是：m＞
且m≠c
評析：圖形與變換是《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準》中新增加的內(nèi)容，把它與二次函數(shù)相結(jié)合,既考查了學(xué)生幾何建模以及探究活動的能力，又考查了學(xué)生對幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系、多角度、多層次綜合運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的能力，是今后命題的重點。
二、在初高中知識銜接處命題
1、 求分段函數(shù)解析式。
例三、 ( 連云港2005年中考題) 據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v（km/h）與時間t（h）的函數(shù)圖象如圖2所示．過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．
（1）當(dāng)t=4時，求s的值；
（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城．如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
略解： （1）S=24(km);
（2）當(dāng)0≤t≤10時,
；
當(dāng)10＜t≤20時,s=30t-150；
當(dāng)20＜t≤35時,s= -(t-35)2+675.
（3）沙塵暴發(fā)生后30h將侵襲到N城。
評析：分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一塊重要內(nèi)容，本題以動直線l運動的不同位置來確定面積S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生在充分理解了S的涵義后，求出函數(shù)關(guān)系式并不困難。像這類運動變化問題是中考命題的熱點。
2、 求閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值。
例四、（揚州2006年中考題）我市某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品上市后40天內(nèi)全部售完，該企業(yè)對這一批產(chǎn)品上市后每天的銷售情況進行了跟蹤調(diào)查．表一、表二分別是國內(nèi)、國外市場的日銷售量y1、y2（萬件）與時間t（t為整數(shù),單位：天）的部分對應(yīng)值．
表一：國內(nèi)市場的日銷售情況
時間t（天）
0
1
2
10
20
30
38
39
40
日銷售量y1（萬件）
0
5.85
11.4
45
60
45
11.4
5.85
0
表二：國外市場的日銷售情況
時間t（天）
0
1
2
3
25
29
30
31
32
33
39
40
日銷售量y2（萬件）
0
2
4
6
50
58
60
54
48
42
6
0
（1）請你從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示y1與t的變化規(guī)律，寫出y1與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（2）分別探求該產(chǎn)品在國外市場上市30天前與30天后（含30天）的日銷售量y2與時間t所符合的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（3）設(shè)國內(nèi)、外市場的日銷售總量為y萬件，寫出y與時間t的函數(shù)關(guān)系式．試用所得函數(shù)關(guān)系式判斷上市后第幾天國內(nèi)、外市場的日銷售總量y最大，并求出此時的最大值．
解：（1）通過描點,畫圖或分析表一中數(shù)據(jù)可知y1是t的二次函數(shù)。設(shè)y1=a（t-20）2+60，把t1=0，y1=0.代入得a=
，故y1=
t2+6t(0≤t≤40且t為整數(shù))。經(jīng)驗證，表一中的所有數(shù)據(jù)都符合此解析式。
（2）通過描點,畫圖或分析表二中數(shù)據(jù)可知當(dāng)0≤t≤30時y2是t的正比例函數(shù)；當(dāng)30≤t≤40時y2是t的一次函數(shù)?？汕蟮?div id="moiyehiw" class='imgcenter'>
，經(jīng)驗證，表二中的所有數(shù)據(jù)都符合此解析式。
（3）由y=y1+y2得
，經(jīng)比較可知第7天時y有最大值為106.65萬件。
評析：二次函數(shù)問題是近幾年高考的熱點，倍受命題者的青睞，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考的重要題型之一。解決這類問題的策略是：畫出函數(shù)在給定范圍內(nèi)的圖象，找出圖象的最高（低）點和坐標(biāo)得出結(jié)果。另外，本題也體現(xiàn)了二次函數(shù)解析式考查方式的新變化：讓學(xué)生從函數(shù)對應(yīng)值表分析猜想出函數(shù)類別，進而用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式。
3、 加強三個“二次”之間聯(lián)系的考查。
例五、（湖北省十堰2006年課改實驗區(qū)中考題）市“健益”超市購進一批20元／千克的綠色食品，如果以30元／千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如圖3所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出）．
解：（1）設(shè)y=kx+b，由圖象可知，
解得
∴y=-20x+1000 (30≤x≤50)．
（2）p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)= -20x2+1400x-20000．
∵a=-20<0，∴p有最大值．當(dāng)
時，p最大值=4500．
即當(dāng)銷售單價為35元／千克時，每天可獲得最大利潤4500元．
（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
例六、（海淀區(qū)2006年中考題）已知拋物線y1=x2-2x+c的部分圖象如圖4所示。
（1）求c的取值范圍；
（2）若拋物線經(jīng)過點（0，-1），試確定拋物線y1=x2-2x+c的解析式；
（3）若反比例函數(shù)
的圖象經(jīng)過（2）中拋物線上點（1，a），試在圖5所示直角坐標(biāo)系中，畫出該反比例函數(shù)及（2）中拋物線的圖象，并利用圖象比較y1與y2的大小。
解：（1）根據(jù)圖象可知c<0 且拋物線y1=x2-2x+c與x軸有兩個交點,故一元二次方程x2-2x+c=0有兩個不等的實數(shù)根，∴△=(-2)2-4c=4-4c>0，且c<0∴c<1
（2）因為拋物線經(jīng)過點（0，-1） 代入y1=x2-2x+c 得c= -1故所求拋物線的解析式為y1=x2-2x-1
（3）因為反比例函數(shù)
的圖象經(jīng)過拋物線y1=x2-2x-1上的點（1，a）
把x=1,y=a代入y1=x2-2x-1，得a= -2 把x=1,a= -2代入
，得
所以
畫出
的圖象如圖6所示。
觀察圖象，y1與y2除交點（1，-2）外，還有兩個交點大致為(-1,2)和(2,-1)
把x=-1,y2=2和x=2,y2=-1分別代入y1=x2-2x-1和
可知，(-1,2)和(2,-1)是y1與y2的兩個交點。
根據(jù)圖象可知：
當(dāng)x<-1或0<x<1或x>2時，y1>y2；當(dāng)x=-1或x=1或x=2時，y2=y1；
當(dāng)-1<x<0或1<x<2時，y2>y1。
評析：例五第3問的求解借助了二次函數(shù)的圖象，通過解一元二次方程求出利潤為4480元與4180元時銷售單價x的值，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)分析得出結(jié)果。它較好地考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。
三、 建立數(shù)學(xué)模型,解決應(yīng)用問題。
1、 最值模型
例七、（2006年福建初中學(xué)業(yè)考試大綱）在某次數(shù)字變換游戲中，我們把整數(shù)0，1，2，…，100稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”。
（1）請把舊數(shù)80和26按照上述規(guī)則變換為新數(shù)；
（2）經(jīng)過上述規(guī)則變換后，我們發(fā)現(xiàn)許多舊數(shù)變小了。有人斷言：“按照上述變換規(guī)則，所有的‘新數(shù)’都不等于它的‘舊數(shù)’”，你認為這種說法對嗎？若不對，請求出所有不符合這一說法的舊數(shù)；
（3）請求出按照上述規(guī)劃變換后減小了最多的舊數(shù)（要寫出解答過程）。
解：（1）80的新數(shù)為802÷100=64，26的新數(shù)為262÷100=6.76
（2）這一說法不對。設(shè)舊數(shù)為x，則相應(yīng)的新數(shù)為
，列方程x =
，
解得x =0或x =100，所以不符合這一說法的舊數(shù)是0和100
（3）設(shè)舊數(shù)為x，舊數(shù)與新數(shù)之差為y，則
當(dāng)x = 50時，y的值最大，因此，減小了最多的舊數(shù)是50。
2、 應(yīng)用函數(shù)增減性解決實際問題。
例八、（淮安2006年中考題）東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價l2元／只，售價20元／只．為了促銷,專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低0.10元(例如．某人買20只計算器，于是每只降價0.10×(20-10)=1元,就可以按19元／只的價格購買)，但是最低價為16元／只．
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買?
（2）寫出當(dāng)一次購買x只時(x>10)，利潤y(元)與購買量x(只)之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專實店發(fā)現(xiàn)賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多賺錢也多,在其他促銷條件不變的情況下,最低價16元／只至少要提高到多少?為什么?
解：(1)50只
(2)當(dāng)l0<x≤50時，
；
當(dāng)x>50時，y=(20-16)x=4x
(3)利潤y=0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，
因為賣的越多賺的越多，即y隨x的增大而增大，
由二次函數(shù)圖象可知，x≤45，最低售價為20-0.1(45-10)=16.5元
數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用能力的重要途徑，是數(shù)學(xué)教育改革發(fā)展的方向。在新課標(biāo)高中教材中還將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型、建模方法以及用數(shù)學(xué)建模來解決實際問題的步驟。這就要求教師在平時教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看待周圍事物和現(xiàn)象的習(xí)慣，激勵學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法應(yīng)用于現(xiàn)實生活，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值，進而形成數(shù)學(xué)建模意識，促進數(shù)學(xué)素質(zhì)提高。
2007-10-08 人教網(wǎng)
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