武漢市黃陂區(qū)橫店中學(xué) 陳 浩
數(shù)學(xué)習(xí)題浩瀚無邊，問題又可變式發(fā)散，這樣習(xí)題就林林總總，題量就千千萬萬，但是蘊(yùn)涵在問題中的數(shù)學(xué)思想方法總是永恒不變的，它是數(shù)學(xué)的精髓，是解決問題的有效手段，是制勝的法寶，以下就本學(xué)期有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法做一個簡單的闡述．
一、化歸思想
“化歸”就是將未知的問題轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)解決的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，也就是將 “未知”的問題“已知化”，“復(fù)雜”的問題“簡單化”．化歸思想是解決問題的常見思想方法．
【例1】△ABC為等邊三角形，三邊的長均已在圖中標(biāo)出，求
的值．
分析：因為△ABC為等邊三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加組合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．
解：因為△ABC為等邊三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，
又因為2x-8=x+6，解得，x＝14，將x＝14代入x+6＝3y+2，
解得，y＝6，將x＝14 y＝6代入下式：
＝
．
點(diǎn)評：本題利用“化歸”的思想，將三角形的三邊的長轉(zhuǎn)化成一元一次方程，此處應(yīng)注意的是方程的組合，不同的組合可能得到的是二元一次方程組，從而加大了計算量和解答難度．
二、分類討論思想
有時將問題看成一個整體時，則無從下手，若分而治之，各個擊破，則能柳暗花明，分類討論正是這一種思想，也是一種重要是數(shù)學(xué)思想方法，為了解決問題，將問題說涉及的是對象不遺漏地分成若干類問題，然后逐一解決，從而最終解決整個問題的目的．
【例2】（五城市聯(lián)賽題）若ab>0，求
的值．
分析：因為ab>0，則a>0，b>0或a<0，b<0，于是將問題分成兩種情況進(jìn)行討論，不難得到結(jié)果．
解：因為ab>0，則a>0，b>0或a<0，b<0，
① 當(dāng)a>0，b>0時，
，
，
＝
＝1+1-1＝1．
② 當(dāng)a<0，b<0時，
，
，
＝
＝－1－1－1＝－3．
故當(dāng)ab>0，
＝1或－3．
點(diǎn)評：在分類討論時，應(yīng)注意不遺漏地將問題所涉級的各種情況作出討論，最后應(yīng)總結(jié)各種討論的結(jié)果．
三、整體思想
與分解，分步處理問題相反，整體思想是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，由整體入手，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些彼此孤立實際上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮．在整體思想中，往往能夠找到問題的捷徑．
【例3】已知
，求
的值．
分析：若將問題中的x看成一個未知數(shù)，將其求出，然后代入后式中求值，顯然計算復(fù)雜繁瑣，計算量偏大，但將
看成一個整體，通過通分得到
，繼而看作整體，求其倒數(shù)得到
，對比聯(lián)想，容易找到解決問題的思路．
解：因為
， 則
所以
，則
，
所以
，
將
代入
＝
＝2000．
點(diǎn)評：本題若不運(yùn)用整體的思想方法解題，則計算復(fù)雜繁瑣，而整體思想的運(yùn)用，化難為易，整體思想是一種技巧，也是一種重要的思想方法．
四、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想，是一種重要的思想，有時力圖用圖形來直觀體現(xiàn)數(shù)量的關(guān)系，將抽象復(fù)雜的數(shù)（量），利用圖形的直觀表達(dá)，然后利用圖形的性質(zhì)（特征），分析解決問題，有時力圖用數(shù)（量）來體現(xiàn)圖形的關(guān)系，將圖形的性質(zhì)（特征），利用數(shù)（量）的關(guān)系來加以解決的思想方法，也是一種重要的思想方法．
【例4】（北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽題）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理數(shù)a，b，-a，
的大小關(guān)系是 （用“<”連接）．
解析：因為b<0，
＝－b，因為a>0，b<0且a+b<0，根據(jù)有理數(shù)加法法則，可得，
<
，以形輔數(shù)，在數(shù)軸上表示它們的位置關(guān)系，又根據(jù)相反數(shù)的定義，可以得到a，b，－a，－b的位置關(guān)系．
故b<－a<a<－b，即b<－a<a<
．
【例5】如圖，AC=
AB,BD=
AB, 且AE=CD,則CE為AB長的（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
分析：若將線段的長度具體數(shù)量化，則容易得到各線段的長度關(guān)系．
解：設(shè)AB=12a，AC=
AB=4a，BD=
AB=3a,
所以CD=AB-AC-BD=12a-4a-3a=5a，
又因為AE=CD，AC+CE=5a，即4a+CE=5a，所以CE=a，
則
，
故選C
點(diǎn)評：正如我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所言——“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”，將圖形的數(shù)量關(guān)系，輔之以數(shù)，則更加具體直觀，從而快速得到問題的答案．
2007-03-22 人教網(wǎng)
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