一位剛讀初一的學(xué)生請(qǐng)教我兩道數(shù)學(xué)題，雖然我沒(méi)做過(guò)數(shù)學(xué)教師，并且離開(kāi)教學(xué)一線(xiàn)多年，但對(duì)孩子的請(qǐng)教，仍本能地給予幫助。仔細(xì)研讀以后，發(fā)現(xiàn)這兩道題蘊(yùn)含著豐富的邏輯思想。
第一道題是填空題。如圖，A點(diǎn)的初始位置位于數(shù)軸上的原點(diǎn)，現(xiàn)對(duì)A點(diǎn)做如下移動(dòng)：第1次從原點(diǎn)向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度至B 點(diǎn)，第2次從B 點(diǎn)向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至C點(diǎn)，第3次從C點(diǎn)向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至D點(diǎn)，第4次從D點(diǎn)向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至E點(diǎn)。如果依次類(lèi)推，這樣至少移動(dòng) 次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于20.
雖然僅是一道填空題，但要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出準(zhǔn)確答案，對(duì)于一個(gè)剛讀初一的學(xué)生來(lái)講，并沒(méi)有那么容易。我讓孩子在稿紙上將已給的4次情況排寫(xiě)出來(lái)，根據(jù)數(shù)、形直覺(jué)，歸納前4次移動(dòng)，引導(dǎo)他們歸納總結(jié)出這樣的規(guī)律：移動(dòng)方向上，右、左依次輪流；從第2次開(kāi)始，每次移動(dòng)的單位長(zhǎng)度，都是次數(shù)減去1后再乘以3，即3×（次數(shù)－1）；每次移動(dòng)后與原點(diǎn)的距離，正好等于本次移動(dòng)的長(zhǎng)度減去上一次與原點(diǎn)的距離（依據(jù)上述所排，很容易覺(jué)察）；除動(dòng)點(diǎn)A本身外，移動(dòng)后相鄰的落腳點(diǎn)之間在數(shù)軸上的距離都是3（這一點(diǎn)借助數(shù)軸圖形，也容易認(rèn)識(shí)）。
那么根據(jù)上述總結(jié)出的規(guī)律，引導(dǎo)孩子依次向下類(lèi)推演繹，很顯然，經(jīng)過(guò)同一規(guī)律的第14次移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A距原點(diǎn)為20，開(kāi)始“不小于20”，所以填空答案應(yīng)為“至少移動(dòng)14次”。
雖然上述窮舉尋解是比較繁瑣的“笨辦法”，但對(duì)一個(gè)剛讀初一的學(xué)生來(lái)講，不失為求解的“好辦法”。在引導(dǎo)學(xué)生一步步書(shū)寫(xiě)、思考的過(guò)程中，可以非常明確的指出將所給的前4次情況列寫(xiě)出來(lái)，再根據(jù)直覺(jué)進(jìn)行觀(guān)察對(duì)比和歸納，得出動(dòng)點(diǎn)A移動(dòng)的規(guī)律。得出規(guī)律后，再明確指導(dǎo)學(xué)生用規(guī)律去類(lèi)推、演繹以后的若干次，逐步逼近和找到所需的答案。
然而這種“窮舉”只能解決少數(shù)次的求解，如果求解成千上萬(wàn)甚至無(wú)窮次，就無(wú)法窮舉就得找出一個(gè)“通用模型”（函數(shù)關(guān)系式）！如果真的有初一學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有興趣，并且基礎(chǔ)好、背景知識(shí)豐富，也可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)下列方法，嘗試“建?！睆亩_立通用的函數(shù)關(guān)系式：
設(shè)移動(dòng)次數(shù)為n，并引入變數(shù)k以區(qū)分奇、偶次，則奇次n=2k－1，偶次n=2k (k=1,2,3…)，那么：
奇次移動(dòng)n次后與原點(diǎn)的距離應(yīng)符合：An=3k－2 （n=2k－1）
偶次移動(dòng)n次后與原點(diǎn)的距離應(yīng)符合：An=3k－1 （n=2k）
如要求距離An不小于（等于）20，那么很容易得出n=14的答案。應(yīng)該說(shuō)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)模型，無(wú)論n是多少次，An多么遠(yuǎn)，都能很方便找出答案。
雖然這僅是一道填空題，但答案不應(yīng)是靠“蒙”得出來(lái)的，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一系列的邏輯推理和運(yùn)算得出來(lái)的。審題、解題過(guò)程中，應(yīng)主動(dòng)傳輸和啟蒙學(xué)生的歸納、演繹等經(jīng)典邏輯學(xué)知識(shí)與能力，還可引導(dǎo)學(xué)生了解窮舉、建模、試錯(cuò)、逼近等科學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的邏輯方法。應(yīng)該講，確定n與k的函數(shù)關(guān)系、An與k的函數(shù)關(guān)系，是需要一定數(shù)學(xué)背景知識(shí)和盡可能多的可類(lèi)比先例的，尤其是需要有一定的數(shù)學(xué)洞察力的。
第二道題是綜合題。把幾個(gè)不同的數(shù)用大括號(hào)圍起來(lái)，中間用逗號(hào)斷開(kāi)，如：｛1,2,3｝、｛-2,7,8,19｝，我們稱(chēng)之為集合，其中的數(shù)稱(chēng)為集合的元素。如果一個(gè)集合滿(mǎn)足：當(dāng)數(shù)a是集合的元素時(shí)，數(shù)8－a也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱(chēng)為黃金集合，如：在｛2,6｝集合中，2是集合的元素，8－2＝6也是集合中的元素，則集合｛2,6｝是黃金集合。
（1）請(qǐng)判斷集合｛1,2｝、｛1, 7｝是不是黃金集合。
（2）請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的兩個(gè)黃金集合的例子。
（3）若一個(gè)黃金集合中最大的一個(gè)元素為2016，則該集合是否存在最小的元素？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，否則說(shuō)明理由。
其實(shí)剛?cè)氤跻坏膶W(xué)生，根本沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)什么叫“集合”，更沒(méi)學(xué)過(guò)“黃金集合”，這完全是一個(gè)新概念。但題中已對(duì)“集合”和“黃金集合”作出了定義和解釋。我們不必考究題中“集合”與“黃金集合”的概念是否正確，只要完全依據(jù)所給的定義和概念，利用已學(xué)過(guò)的背景知識(shí)進(jìn)行分析答題即可。
顯然，根據(jù)原題所給的概念就可以得答案，第（1）個(gè)小問(wèn)題的答案：集合｛1,2｝不屬“黃金集合”；集合｛1,7｝屬“黃金集合”。第（2）個(gè)小問(wèn)題舉例的答案：｛2,10｝、｛4,12｝。第（3）個(gè)小問(wèn)題的答案：有最小元素；最小元素為8－2016＝－2008.
這道綜合題，是在學(xué)生還沒(méi)學(xué)習(xí)過(guò)“集合”、“黃金集合”概念的背景下，先給出“集合”與“黃金集合”的定義和概念（或規(guī)定），然后要求學(xué)生認(rèn)識(shí)概念，再根據(jù)所給概念進(jìn)行判斷、推理，完全符合概念、判斷、推理的理性認(rèn)識(shí)和思維升級(jí)的邏輯過(guò)程，也符合傳統(tǒng)邏輯三段論的邏輯論證方法。
上述兩道初一學(xué)生的數(shù)學(xué)題給了我們很多的深思和啟示，促使我想到了邏輯推理能力的培養(yǎng)。幾乎所有教育工作者和學(xué)生及學(xué)生家長(zhǎng)，都認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)很重要，但又都感到數(shù)學(xué)很難學(xué)很難教，一個(gè)非常重要的原因，是沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入邏輯推理的軌道。
在整個(gè)科學(xué)的領(lǐng)域里，數(shù)學(xué)真的很重要。從哲學(xué)的角度講，我們這個(gè)世界是復(fù)雜的，但這個(gè)世界又是可以被認(rèn)識(shí)的。從自然科學(xué)的角度講，不認(rèn)識(shí)和沒(méi)有把握客觀(guān)世界運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)關(guān)系，就不能算完美地把握了其實(shí)質(zhì)，就不能充分認(rèn)識(shí)世界的系統(tǒng)性、矛盾性、統(tǒng)一性、和諧性、對(duì)稱(chēng)性。著名科學(xué)家海森堡曾將開(kāi)普勒的一段話(huà)翻譯成這樣的表述：“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型”。在科學(xué)史上，許多科學(xué)家都在其研究的領(lǐng)域或課題成功引入數(shù)學(xué)，很多科學(xué)家運(yùn)用眾多的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型而推動(dòng)自身問(wèn)題的解析和數(shù)學(xué)的發(fā)展，更有因數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究而導(dǎo)致一些學(xué)科（如量子力學(xué)）的誕生與發(fā)展。應(yīng)該講，人類(lèi)觀(guān)察世界，只有當(dāng)引入一些能夠與觀(guān)測(cè)結(jié)果相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)理解各種現(xiàn)象時(shí)，與此相關(guān)的科學(xué)概念才能被準(zhǔn)確地規(guī)定下來(lái)。
當(dāng)然，要準(zhǔn)確利用數(shù)學(xué)符號(hào)和函數(shù)關(guān)系來(lái)解釋世界，就必須掌握豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、敏銳的數(shù)學(xué)洞察能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行嚴(yán)密的推理能力。這種數(shù)學(xué)的洞察能力和推理能力，就是數(shù)學(xué)思維，都屬邏輯推理的范疇。這種邏輯推理能力，既是數(shù)學(xué)知識(shí)得以利用和發(fā)展的能力，又應(yīng)隨數(shù)學(xué)知識(shí)的增多而提升。因此，數(shù)學(xué)課程及教學(xué)，必須高度重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行洞察、推理等邏輯能力的培養(yǎng)。應(yīng)該講，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)青少年邏輯推理能力的最重要的工具。如果我們真的讓青少年學(xué)生在聽(tīng)課和習(xí)題的過(guò)程中，不斷開(kāi)發(fā)提升洞察、分析、抽象、演繹、歸納、類(lèi)比、建模、試錯(cuò)、逼近等邏輯推理的思維能力，那么他們學(xué)數(shù)學(xué)的能力就會(huì)越來(lái)越強(qiáng)，就會(huì)感到數(shù)學(xué)并不難學(xué)，而且還會(huì)逐漸有著名數(shù)學(xué)大師陳省身教授所說(shuō)的“數(shù)學(xué)很好玩”的感覺(jué)。
其實(shí)，邏輯推理能力屬于思維能力的范疇，是包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的中小學(xué)各科教育教學(xué)都應(yīng)特別重視的關(guān)鍵能力。學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆！現(xiàn)在很多教師和學(xué)生家長(zhǎng)還沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到邏輯推理能力的重要性，更沒(méi)有主動(dòng)有目的加強(qiáng)對(duì)孩子這方面能力的開(kāi)發(fā)和培養(yǎng)，談到孩子學(xué)功課，就強(qiáng)調(diào)多讀書(shū)多背書(shū)、多做習(xí)題；也仍有很多中小學(xué)校偏重增加數(shù)學(xué)等“重要學(xué)科”的課時(shí)和習(xí)題量，但顛來(lái)倒去浮在表面講課和搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，勿視對(duì)教學(xué)內(nèi)容和習(xí)題內(nèi)涵的挖掘以及邏輯關(guān)系的揭示，不僅事倍功半，而且增加了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)、教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)，還會(huì)占去學(xué)生思維時(shí)間，使不少學(xué)生“學(xué)而未思則罔”，越學(xué)越來(lái)累、越學(xué)越笨，最終是“讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如有鬼”。這類(lèi)問(wèn)題，必須切實(shí)加以糾正。在中辦、國(guó)辦印發(fā)的《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見(jiàn)》中，將“邏輯推理”作為學(xué)生重要的認(rèn)知能力，強(qiáng)調(diào)要作為“關(guān)鍵能力”來(lái)強(qiáng)化。開(kāi)發(fā)培養(yǎng)這些“關(guān)鍵能力”，各學(xué)校、各學(xué)科、各教育工作者、各學(xué)生家長(zhǎng)乃至全社會(huì)，都責(zé)無(wú)旁貸！
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