［學(xué)習(xí)目標(biāo)］
1. 切線長概念
切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。
2. 切線長定理
對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。
3. 弦切角、頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。
直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）
4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。
5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。
6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。
7. 與圓有關(guān)的比例線段
定理 | 圖形 | 已知 | 結(jié)論 | 證法 |
相交弦定理 |
| ⊙O中，AB、CD為弦，交于P | PA·PB＝PC·PD | 連結(jié)AC、BD，證：△APC∽△DPB |
相交弦定理的推論 |
| ⊙O中，AB為直徑，CD⊥AB于P | PC2＝PA·PB | 用相交弦定理 |
切割線定理 |
| ⊙O中，PT切⊙O于T，割線PB交⊙O于A | PT2＝PA·PB | 連結(jié)TA、TB，證：△PTB∽△PAT |
切割線定理推論 |
| PB、PD為⊙O的兩條割線，交⊙O于A、C | PA·PB＝PC·PD | 過P作PT切⊙O于T，用兩次切割線定理 |
圓冪定理 |
| ⊙O中，割線PB交⊙O于A，CD為弦 | P'C·P'D＝r2－OP'2 PA·PB＝OP2－r2 r為⊙O的半徑 | 延長P'O交⊙O于M，延長OP'交⊙O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證 |
8. 圓冪定理：過一定點P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)||（R為圓半徑），因為
叫做點對于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。
【典型例題】
例1. 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。
圖1
解：由切線長定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE
設(shè)CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理
∴，，
例2. ⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
圖2
解：由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
，
∴，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故應(yīng)填3或4。
點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。
例3. 已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則________。
解：∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴，
∴。
又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得
∴，
即 ，
故應(yīng)填PC。
點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。
例4. 如圖3，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。
圖3
解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割線定理，得
∴
∴，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
設(shè)圓心O到AB距離為d cm，
由勾股定理，得
故應(yīng)填。
例5. 如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D，（1）求證：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長。
圖4
點悟：要證，即要證△CED∽△CBE。
證明：（1）連結(jié)BE
（2）
。
又∵，
∴厘米。
點撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。
例6. 如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長線于E。
圖5
求證：
證明：連結(jié)BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB為⊙O的直徑
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
例7. 如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB
圖6
點悟：由結(jié)論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
證明：∵PA切⊙O于A，
∴∠PAD＝∠PBA
又∠APD＝∠BPA，
∴△PAD∽△PBA
∴
同理可證△PCD∽△PBC
∴
∵PA、PC分別切⊙O于A、C
∴PA＝PC
∴
∴AD·BC＝DC·AB
例8. 如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點D，過D點作⊙O的切線交AC于E。
圖7
求證：BC＝2OE。
點悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。
證明：連結(jié)OD。
∵AC⊥AB，AB為直徑
∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D
∴EA＝ED，OD⊥DE
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
∵∠ODE＝90°
∴
∴∠C＝∠EDC
∴ED＝EC
∴AE＝EC
∴OE是△ABC的中位線
∴BC＝2OE
例9. 如圖8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點。
當(dāng)∠DEF＝45°時，求證點G為線段EF的中點；
圖8
解：由∠DEF＝45°，得
，
∴∠DFE＝∠DEF
∴DE＝DF
又∵AD＝DC
∴AE＝FC
因為AB是圓B的半徑，AD⊥AB，所以AD切圓B于點A；同理，CD切圓B于點C。
又因為EF切圓B于點G，所以AE＝EG，FC＝FG。
因此EG＝FG，即點G為線段EF的中點。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 已知：PA、PB切⊙O于點A、B，連結(jié)AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（ ）
A. B. C. 5 D. 8
2. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（ ）
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 菱形 D. 梯形
3. 已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數(shù)（ ）
圖1
A. 50° B. 40° C. 60° D. 55°
4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（ ）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
5. 在△ABC中，D是BC邊上的點，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長線與△ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（ ）
A. B.
C. D.
6. PT切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（ ）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空題
7. AB、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝_____________度。
8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一點P，過P的直線交⊙O于A、B兩點，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長為_____________。
9. 若PA為⊙O的切線，A為切點，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，，則PC的長為_____________。
10. 正△ABC內(nèi)接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交⊙O于點D，連結(jié)BD交AC于P，則_____________。
三、解答題
11. 如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長為8cm，F、K、N是△ABC與內(nèi)切圓的切點，DE切⊙O于點M，且DE∥AC，求DE的長。
圖2
12. 如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長線上一點，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分∠DCP。
圖3
13. 如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。
圖4
【試題答案】
一、選擇題
1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A
二、填空題
7. 90 8. 1 9. 30 10.
三、解答題：
11. 由切線長定理得△BDE周長為4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
12. 證明：連結(jié)AC，則AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
∵PC為⊙O的切線，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
∴BC平分∠DCP
13. 設(shè)BM＝MN＝NC＝xcm
又∵
∴
又∵OA是過切點A的半徑，∴OA⊥AB即AC⊥AB
在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
由割線定理：，又∵
∴
∴半徑為。
