［學(xué)習(xí)目標(biāo)］
1. 了解總體、個體、樣本及樣本容量的含義，在此基礎(chǔ)上會用三種方法計算n個數(shù)的平均數(shù)，理解樣本的某種特性用來估計總體的某種特性是必要的，并會用樣本的平均數(shù)去估計總體的平均數(shù)。
（1）平均數(shù)：平均數(shù)是度量一組數(shù)據(jù)波動大小的基準(zhǔn)，在描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢方面尤為重要。
（2）三種計算方法：
①如果有n個數(shù)
；
②當(dāng)一組數(shù)據(jù)
各數(shù)較大時，將各數(shù)同時減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到另一組數(shù)據(jù)
；
③加權(quán)平均數(shù)：在n個數(shù)據(jù)中，如果
出現(xiàn)
次，
出現(xiàn)
次，…，
出現(xiàn)
次
，則這n個數(shù)的平均數(shù)為
，在計算
時以上三種方法靈活選擇，以便減小計算量。
2. 理解眾數(shù)、中位數(shù)的意義，并且會求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)。
（1）眾數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
（2）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)一樣，均是從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)。
（3）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)是惟一的，而眾數(shù)不一定唯一，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)可能是同一個數(shù)據(jù)。
3. 理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握求法，會對數(shù)據(jù)波動情況進行比較。
（1）方差、標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本、總體的波動大小的特征數(shù)，明確對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小，方差大的波動大。
（2）靈活應(yīng)用方差的三個計算公式。
【典型例題】
例1. 一個球隊所有隊員身高如下（單位：cm）
178，179，181，182，176，183，176，180，183，175，181，185，180，184，問這個球隊隊員平均身高是多少（精確到1cm）？
解法1：利用平均數(shù)的公式計算：
解法2：建立新數(shù)據(jù)，再利用平均數(shù)簡化公式計算。
取a＝180，將上面各數(shù)據(jù)同時減去180，得到一組新數(shù)據(jù)：
－2，－1，1，2，－4，3，－4，0，3，－5，1，＋5，0，4
∴
解法3：利用加權(quán)平均數(shù)公式計算：
解法4：建立新數(shù)據(jù)，再利用加權(quán)平均數(shù)公式計算：
∴
答：這個球隊的平均身高是180厘米。
點撥：（1）平均數(shù)公式是一個計算平均數(shù)的基本公式，在一般情況下，要計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可使用這個公式。
（2）當(dāng)數(shù)據(jù)較大，且大部分?jǐn)?shù)據(jù)在某一常數(shù)左、右波動，“解法2”可以減輕運算量，故此法比較簡便，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)（大約估計）平均數(shù)的較“整”的數(shù)，以達到簡化計算過程的目的。常數(shù)a的取法并不惟一，比如本例中取a＝181也可以作。
（3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時，可用加權(quán)平均數(shù)公式來計算平均數(shù)。
例2. 為了讓人們感受丟棄塑料袋對環(huán)境造成的影響，某班環(huán)保小組的六名同學(xué)記錄了自己家中一周內(nèi)丟棄的塑料袋的數(shù)量，結(jié)果如下（單位：個）：33，25，28，26，25，31。如果該班有45名學(xué)生，那么根據(jù)提供的數(shù)據(jù)估計本周全班同學(xué)各家總共丟棄塑料袋的數(shù)量約為（ ）
A. 900個 B. 1080個
C. 1260個 D. 1800個
（2002年北京海淀區(qū)）
解：
（個）
故選C。
點撥：此題系求平均數(shù)的應(yīng)用題，只有求出了平均數(shù)才能求出45家總袋數(shù)。
例3. 為了了解一次初三數(shù)學(xué)升學(xué)成績，從5000名學(xué)生的成績中抽取的部分中，有1人得100分，2人得95分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。
（1）指出這個問題中的總體，個體，樣本和樣本容量；
（2）求樣本的平均數(shù)。
解：（1）總體 5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)升學(xué)成績的全體；
樣本 抽取的36名學(xué)生的數(shù)學(xué)升學(xué)成績；
個體 每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)升學(xué)成績；
樣本容量 36；
（2）
≈79（分）
即樣本平均數(shù)約為79分。
點撥：在回答（1）中的總體、個體和樣本時要注意完整。例如，總體不可敘述為5000名學(xué)生，其余類似；而回答樣本容量時不要加入單位，而是純的自然數(shù)。
例4. 某魚塘放養(yǎng)魚苗10萬條，根據(jù)這幾年經(jīng)驗知道，魚苗成活率95%，一段時間后準(zhǔn)備打撈出售，第一次網(wǎng)出40條，稱得平均每條重2.5kg；第二次網(wǎng)出25條，稱得平均每條重2.2kg；第三次網(wǎng)出35條，稱得平均每條魚重2.8kg，請估計魚塘中的魚總重量約是多少。
解：三次稱魚的平均數(shù)為
總重量為
答：魚塘中魚的總重量約為24萬千克。
點撥：這是一道與“市場經(jīng)濟”相聯(lián)系的應(yīng)用題，它體現(xiàn)了數(shù)理統(tǒng)計初步知識的應(yīng)用價值。對于這類聯(lián)系生活實際的應(yīng)用題的解題方法，要注意重點掌握。
例5. 已知：
的平均數(shù)為4，求
的平均數(shù)。
解：∵
，
，
∴
，
∴
＝5
點撥：應(yīng)注意平均數(shù)的相對值：當(dāng)數(shù)據(jù)不同時，其平均數(shù)也不相同。
例6. 已知數(shù)據(jù)
的平均數(shù)是10，求數(shù)據(jù)
的平均數(shù)。
解：∵
，
點撥：本例從一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，進一步來求另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅體現(xiàn)了計算的技巧，而且也深化了平均數(shù)的概念。
例7. 已知
的平均數(shù)是
。
證：∵
，
∴
點撥：此題系平均數(shù)運算為主體的證明題，在解此類題時，要注意運算的整體性。
例8. 已知兩組數(shù)
的平均數(shù)分別是
，求
（1）一組新數(shù)據(jù)
的平均數(shù)；
（2）一組新數(shù)據(jù)
的平均數(shù)。
解：（1）由題意，得
∴
的平均數(shù)為
（2）
的平均數(shù)為
點撥：此例與例6一樣，也是整體運算一類題目，通過此類題目的練習(xí)可以提高應(yīng)用“整體思想”求解的能力。
例9. 算得一次體育測驗的初三全年級四個班的平均成績分別是
，于是一位同學(xué)斷言：這一次測驗全年級的平均成績是
，你同意這種說法嗎？
解：不能這么立即斷言，如果各班參加體育測驗的學(xué)生數(shù)相等，即都是n，那么全年級的平均成績是
但如果各班參加體育測驗的學(xué)生數(shù)不都相等，那么上述等式不一定成立，很容易舉出說明這一點的具體例子。
點撥：此例屬探索性問題一類題目。要注意對此類問題的討論與練習(xí)。
例10. 10名初中畢業(yè)生的中招體育考試成績?nèi)缦拢?div style="height:15px;">
25 26 26 27 26 30 29 26 28 29
這些成績的中位數(shù)是（ ）
A. 25 B. 26
C. 26.5 D. 30
（2000年河南）
解：上述數(shù)中中間兩個數(shù)為26，27。
∴中位數(shù)為
。故選C。
常見錯誤：概念不清楚，將中位數(shù)錯認(rèn)為眾數(shù)而得出26，錯選B是常見錯誤。
例11. 隨機抽取某城市一年（以365天計）中的30天的日平均氣溫狀況統(tǒng)計如下：
溫度（x℃）
10
14
18
22
26
30
32
天數(shù) t
3
5
5
7
6
2
2
請根據(jù)上述數(shù)據(jù)填空：
（1）該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____________℃；
（2）該市一年中日平均氣溫為26℃的約有_____________天；
（3）某日平均氣溫在17℃～23℃為市民“滿意溫度”，則該城市一年中達到市民“滿意溫度”的約有_____________天。
（2002年福州）
解：（1）中位數(shù)是22℃。
（2）一年中日平均氣溫為26℃的約有73天。
（3）一年中市民“滿意溫度”約有146天。
常見錯誤：（2）、（3）最容易產(chǎn)生錯誤。這是把一年365天錯認(rèn)為360天造成的。
例12. 已知一組數(shù)據(jù)－3，－2，1，3，6，x的中位數(shù)是1，求方差及標(biāo)準(zhǔn)差。
點悟：關(guān)鍵是求出x的值。因為偶數(shù)個數(shù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)按由小到大順序排列后最中間兩數(shù)的平均數(shù)，不論x取何值，1是最中間兩數(shù)之一，而中位數(shù)又是1，故只能取x＝1。
解：由題意知x＝1，這組數(shù)據(jù)是－3，－2，1，3，6，1
，
∴
例13. 若樣本
的平均數(shù)為10，方差為2，則對于樣本
，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 平均數(shù)為10，方差為2
B. 平均數(shù)為11，方差為3
C. 平均數(shù)為11，方差為2
D. 平均數(shù)為12，方差為4
解：由已知條件，得
故選C。
點撥：此題充分應(yīng)用了已知條件來進行整體計算，使運算十分簡捷。
例14. 已知樣本
的方差為
，求樣本
的方差
。
解：∵
∴
點撥：我們將例14推廣，易得如下定理。
定理1：如果樣本
的方差
。
證明：∵
，
∴
∴
下面運用上述定理解決實際問題。
例. 15已知樣本
的方差
，求樣本
的方差
。
解：由定理1，易得
點撥：由此可見，應(yīng)用定理解決問題十分方便。
例16. 已知樣本
的方差為3，求樣本
的方差。
解法1：設(shè)樣本
的方差為p，根據(jù)已知
的方差為
。由定理1，得
∴樣本
的方差
為：
解法2：∵樣本
可表示為：
，
∴
。
點撥：將上述例6的解法2推廣，我們又可得到一個定理。
定理2：如果樣本
的方差為p，那么樣本
的方差為
。
證明：因為樣本
可表示為：
，
所以由定理1得其方差為
例17. 一組數(shù)據(jù)－1，－2，x，1，2，其中x是小于10的非負(fù)整數(shù)，且數(shù)據(jù)的方差是整數(shù)，求數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。
解：
又∵
，
∴x＝0或5。
當(dāng)
，
當(dāng)
點撥：本題充分利用整數(shù)的性質(zhì)和方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系，進行溝通與解決問題。
例18. 某單位為了尋找高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)的油菜品種，選了3個不同品種進行試驗。每一品種在5塊試驗田上試種，每塊試驗田的面積為0.8畝，產(chǎn)量情況如下表，試評定哪一種品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定。
品種
小區(qū)產(chǎn)量（千克）
1
2
3
4
5
1
10.8
10.2
11.0
10.6
9.9
2
10.7
11.8
9.5
10.7
9.9
3
8.9
11.7
10.7
9.6
10.5
解：先分別計算3個品種的樣本平均數(shù)：
，
，
再計算3個品種的樣本方差，由公式得：
，
可以看出
最小，所以油菜品種1的5個偏差的差異不大，也就是5個小區(qū)的產(chǎn)量比較接近，因而它是穩(wěn)定品種。又
，雖然
，但也很接近，所以油菜品種1也是高產(chǎn)品種。因此，油菜品種1是既高產(chǎn)又穩(wěn)定的品種。
點撥：此題體現(xiàn)了平均數(shù)、方差計算在實際生活中的重要應(yīng)用。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 某車間為了估計本月產(chǎn)量，抽查了兩名工人的本月產(chǎn)量，一名老工人的產(chǎn)量為1000件，一名青年工人的產(chǎn)量是950件，這個問題中樣本容量是（ ）
A. 2 B. 1000
C. 950 D. 1950
2. 要了解燈泡的使用壽命，從中隨機抽12個進行試驗，在這個問題中，這12個燈泡的使用壽命是（ ）
A. 總體 B. 個體
C. 總體的一個樣本 D. 樣本容量
3. 某人打保齡球，投球8次得分如下：
8，9，10，8，9，10，6，8
此人得分的中位數(shù)、平均數(shù)分別是（ ）
A. 8.5與8.5 B. 8與8.5
C. 8.5與9 D. 8與9
4. 如果一組數(shù)據(jù)2，a，4，6的平均數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)a為（ ）
A. 8 B. 5 C. 4 D. 3
5. 數(shù)據(jù)70，71，72，73的標(biāo)準(zhǔn)差是（ ）
A.
B. 2
C.
D.
6. 計算樣本12，8，11，9，10的方差得（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空題
7. 數(shù)據(jù)5，3，7，8，12的平均數(shù)是____________。
8. 已知一組數(shù)據(jù)9.87，10.12，10.06，9.93，10.00，10.08。若式子
中，
表示這組數(shù)據(jù)平均數(shù)，則
＝____________。
9. 數(shù)據(jù)－2，－1，0，1，2平均數(shù)為____________，方差為____________，標(biāo)準(zhǔn)差為____________。
三、解答題
10. 某一路口汽車流量調(diào)查中，10天在每天同一時段里通過該路口的汽車輛數(shù)，結(jié)果如下：
167 183 209 195 178 204 215 191 208 197
（1）在這個問題中，總體，個體，樣本，樣本容量各指什么？
（2）求出樣本平均數(shù)。
11. 某體育器材廠生產(chǎn)一批鉛球，
重量（kg）
2.93
2.96
3
3.02
3.03
個數(shù)
4
12
10
8
6
求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)。
12. 從甲、乙兩種棉苗中各抽10株，測得它們的株高分別如下：（單位：cm）
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
問：（1）哪種棉花的苗長得高？
（2）哪種棉花的苗長得整齊？
【試題答案】
一、選擇題：
1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B
二、填空題：
7. 7
8. 0.01
9. 0，2，
三、解答題：
10. 解：（1）總體是汽車在某一路口的流量，個體是每天同一時段里通過該路口的汽車輛數(shù)；樣本是指10天中每天同一時段里通過該路口的汽車輛數(shù)，樣本容量是10。
（2）
11. 解：中位數(shù) 3，眾數(shù) 2.96
平均數(shù)
12. 解：（1）
∴
答：乙種棉花的苗長得高。
（2）
∴
答：甲種棉花長得整齊。
