平面與空間直線；直線與平面平行；平面與平面平行
二. 本周教學(xué)重、難點：
1. 掌握平面的基本性質(zhì)，兩條直線平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，兩條直線所成的角和距離的概念。
2. 掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；直線和平面的距離；平面和平面間的距離的概念。
【典型例題】
[例1] 有空間不同的五個點。
（1）若有某四點共面，則這五點最多可確定多少個平面？
（2）若任意四點都在同一平面內(nèi)，則這五點共能確定多少個平面？并證明你的結(jié)論。
解：
（1）當(dāng)共面的某四點不共線，另一點不在該平面內(nèi)時，這五點確定的平面最多，如圖，最多可確定7個平面。
（2）若任意四點都在同一平面內(nèi)時，這五點必共面，證明如下：
若A、B、C、D四點在內(nèi)，又 ∵ A、B、C、P在同一平面內(nèi)，可分如下情況證明：
① 若A、B、C三點不共線，則為A、B、C確定的平面，∴ P在內(nèi)，五點共面；
② 若A、B、C三點在直線上，則<1> 當(dāng)D或P也在
上時，五點共面；<2> 若D、P都不在
上，則DP直線與AB直線必在A、B、D、P所在的平面上，∴ C也在這一平面內(nèi)，從而五點也共面。
[例2] 已知長方體中，AB=，求異面直線和AC所成角的余弦。
解析：方法一：平移法。如圖，連結(jié)BD交AC于E，取的中點F，連結(jié)EF，則
∴ 就是和AC所成的角
∵ ∴
∴ 在中，
方法二：補形法。
如圖，在長方體的一旁，補一個全等的長方體。
則（或其補角）是和AC所成的角。
∵
∴ 在中，
故與AC所成角的余弦值為
[例3] 如圖所示，在三棱錐中，平面ABC，，，AC=BC。求異面直線AB與CD所成的角的余弦值。
解：以AB、BC為鄰邊作ABCM，則是異面直線AB、CD所成的角，如圖所示，設(shè)AC=BC=
∵ ∴ AB
∵ DA⊥平面ABC ∴
∵ ∴ 又AM= ∴ DM=DC=
∴
[例4] 如圖，已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分別是AB和BC的中點。
（1）求D點到平面PEF的距離；
（2）求直線AC到平面PEF的距離。
解：（1）方法一：因為EF⊥BD，EF⊥PD，所以EF⊥平面PDB
所以平面PEF⊥平面PDB，交線為PG
所以D點到平面PEF的距離，就是D到PG的距離
在中，，而
，所以就是D到平面PEF的距離。
方法二：因為，即
所以
所以D到平面PEF的距離是
（2）連結(jié)AC交BD于O，則O到平面PEF的距離就為所求，因為平面PDG⊥平面PEF，所以O到PG的距離就是O到平面的距離，如圖所示
在中，OH⊥PG，所以
所以
所以
所以AC到平面PEF的距離是
[例5] 如圖，已知正方體中，面對角線、上分別有兩點E、F且=。
求證：（1）EF//平面ABCD；（2）平面平面
證明：（1）證法一：過E、F分別作AB、BC的垂線EM、FN分別交AB、BC于M、N
連結(jié)MN，∵ 平面ABCD ∴
∴ ∴
∵ ∴ AE=BF
又 ∵ ∴ EM=FN
∴ 四邊形MNFE是平行四邊形 ∴ EF//MN 又 平面ABCD
∴ EF//平面ABCD
證法二：過E作EG//AB交于G，連結(jié)GF
∴ ∵ ∴
∴ 又 ∵
∴ 平面EFG//平面ABCD 又 平面EFG ∴ EF//平面ABCD
（2）證法一：如圖所示，正方體中，
又=
∴ 平面平面
證法二：連結(jié) ∵ 平面，
∴ （三垂線定理）
同理，，又 ∴ 平面
同理，平面
∴ 平面平面
[例6] 如圖所示，是邊長為的正方形紙片，是正三角形，若去掉，分別以BD、CD為棱將面ABD，翻折，使A和重合，構(gòu)成四面體形狀，如圖所示，求四面體ABCD中A點到平面BCD的距離。
解：∵ 為等邊三角形 ∴
∴
∵ AB=AC=BC ∴ 與都是等邊三角形
取BC的中點E，連結(jié)AE、DE，則BC⊥AE，BC⊥DE
∴ BC⊥截面ADE ∴ 底面BCD⊥截面ADE
過A作AF⊥DE于F，則AF⊥底面BCD
在中，
∴
∴
故A到平面BCD的距離為AF=AE
[例7] 如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是邊長為4的菱形，并且，VA=3，VA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交點，OE⊥VC于E。求：
（1）點V到CD的距離；
（2）異面直線VC與BD的距離；
（3）點B到平面VCD的距離。
解：（1）由已知 ∴
∴ 是正三角形，取CD的中點F，連結(jié)AF、VF，則CD⊥AF
又 VA⊥面ABCD ∴ CD⊥VF（三垂線定理）
∴ VF為點V到CD的距離 ∵ AD=4 ∴ AF=
（2）∵ 底面四邊形ABCD是菱形 ∴ BD⊥AC
又VA⊥底面ABCD ∴ VA⊥BD ∴ BD⊥面VAC ∴ BD⊥OE
由已知OE⊥VC ∴ OE是異面直線BD和VC的公垂線段
由（1）可知
∵ ∴
∴
（3）∵ AB//CD ∴ AB//面VCD，點B到平面VCD的距離就等于點A到平面VCD的距離
過A作AH⊥VF于H
由（1）知CD⊥面VAF ∴ CD⊥AH
故AH⊥面VCD ∵ AH是點A到面VCD的距離
在中，VA=3，AF=，VF=，
∴
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 平行或相交或異面
2. 正方體中，P、Q、R分別是AB、AD、的中點，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是（ ）
A. 三角形 B. 四邊形 C. 五邊形 D. 六邊形
3. 在下列關(guān)于直線、與平面的命題中，真命題是（ ）
A. 若且，則
B. 若且，則
C. 若且，則
D. 若且，則
4. 在正四面體P—ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（ ）
A. BC//平面PDF B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC
5. 以下四個命題：
① 一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行；② 一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線平行；③ 過平面外一點和這個平面平行的直線有且只有一條；④ 平行于同一平面的兩條直線互相平行，其中錯誤命題的個數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 以上均有可能
7. 如圖，在棱長為3的正方體中，M、N分別是棱的中點，則點B到平面AMN的距離是（ ）
A. B. C. D. 2
8. 如圖，正方體的棱長為1，E是A1B1的中點，則E到平面ABC1D1的距離是（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題：
1. 已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內(nèi)，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如圖所示。求證：PQ//平面CBE
2. 如圖，正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D為AC的中點。
（1）求證：//平面；
（2）求直線到平面的距離。
3. 已知正四棱柱，AB=1，AA1=2，點E為CC1中點，點F為BD1中點。
（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；
（2）求點D1到面BDE的距離。
【試題答案】
一.
1. D
2. D
解析：過R作RS//QP，交于R，于是R、Q、P三點共面，且RS//QP，所以截面不可能是三角形和五邊形，排除A、C，不難證明BB1和DD1的中點也在平面RSQP上，所以截面不可能是四邊形，故選D。
3. B
4. C
解析：如圖所示，在正四面體P—ABC中
∵ D、F為中點 ∴ BC//DF ∴ BC//面PDF ∴ 選項A成立
∵ AE⊥BC ∴ AE⊥DF 又 BC⊥PE ∴ BC⊥面PAE，DF//BC
∴ DF⊥面PAE ∴ 選項B成立 又 面ABC ∴ 面PAE⊥面ABC
∴ 選項D成立 由上知，不成立的是選項C
5. D
解析：①中的直線可能在平面內(nèi)，②是錯誤的，③可有無數(shù)條直線與平面平行，④顯然是錯誤的，故選D。
6. D
7. D
解析：連結(jié)MB、NB，∵
設(shè)點B到面AMN的距離為，則
8. B
解析：因為在正方體中，平行于平面，所以點E到平面ABC1D1，的距離轉(zhuǎn)化為點B1到平面的距離，即，故選B。
二.
1. 證明：如圖，作PM//AB交BE于點M，作QN//AB交BC于點N，則PM//QN
由 ∴
又 ∵ AB=CD，EA=BD ∴
∴ 四邊形PMNQ是平行四邊形 ∴ PQ//MN
綜上所述，平面CBE，MN平面CBE，PQ//MN ∴ PQ//平面CBE
2.（1）證明：連結(jié)與交于點O，連結(jié)OD，則OD是的中位線
∴ 又 ∵ 平面，平面
∴ 平面
（2）∵ 平面 ∴ AB1與平面C1BD的距離等于A到平面C1BD的距離
∵ D是AC的中點 ∴ A到平面C1BD的距離等于C到平面C1BD的距離
∵ BD⊥AC，平面ABC⊥平面ACC1A1，BD平面ABC
∴ BD⊥平面ACC1A1 ∵ BD平面C1BD
∴ 平面C1BD⊥平面ACC1A1
過C作CH⊥C1D于H ∴ CH⊥平面C1BD
由知
即到平面的距離為
3. 解析：（1）證明：如圖，取BD中點M，連結(jié)MC、FM
∵ F為BD1的中點 ∴ FM//DD1，且
又 EC=且 ∴ 四邊形EFMC為矩形 ∴ EF⊥CC1
又CM⊥平面DBD1 ∴ EF⊥平面DBD1 ∵ 面DBD1
∴ EF⊥BD1 故EF為BD1和CC1的公垂線
（2）連結(jié)ED1，有
由（1）知EF⊥平面DBD1，設(shè)點D1到平面BDE的距離為，則
∵ AA1=2，AB=1 ∴ BD=BE=ED=，EF=
∴ ∴
故點D1到平面DBE的距離為
