2020-10-15 18:45:02 來源: 老胡說科學(xué)舉報
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守恒定律說，孤立系統(tǒng)的某些性質(zhì)不會隨著系統(tǒng)的演化而改變。作為諾特定理的結(jié)果，守恒定律“與底層物理中的對稱性有關(guān)”。換句話說，對稱性和守恒定律是緊密相連的。
偉大的理論物理學(xué)家、諾貝爾獲得者理查德·費(fèi)曼在他的物理學(xué)教科書《費(fèi)曼的物理講義》中引用：
"為什么我們要關(guān)注對稱性？ "首先，對稱對人類的大腦來說是迷人的，每個人都喜歡某種程度上對稱的物體或圖案。”——理查德·費(fèi)曼
下面是一個包含幾種對稱類型的例子。該對象包含三種對稱，即反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和自相似性。
圖1：這個形狀有三種對稱：反射對稱、旋轉(zhuǎn)對稱和自相似性。
我們將在這里考慮自然法則本身的對稱性（不僅僅是物體的對稱性），這些法則支配著宇宙的物理系統(tǒng)的行為。
美國理論物理學(xué)家、諾貝爾獎得主史蒂文·溫伯格和美籍華裔物理學(xué)家、作家安東尼·在他們的兩本量子場論著作中給出了這類對稱轉(zhuǎn)換的兩個最佳定義。
澤
·溫伯格定義對稱變換如下：
對稱變換是我們觀點的改變，它不會改變可能實驗的結(jié)果。
澤給出了以下定義：
當(dāng)一個物理定律不因某些而改變時，這個定律就被認(rèn)為是對稱的。
變換
典型的例子包括能量守恒、線性動量和角動量。這些與以下三種時空轉(zhuǎn)換有關(guān)：空間上的平動，時間上的平動，和旋轉(zhuǎn)。
動量和能量守恒可以用一個叫做牛頓架的裝置來觀察，如下圖所示。
圖2：五球牛頓架
上面的轉(zhuǎn)換與時空對稱性有關(guān)。我們將更詳細(xì)地看到，（局部）守恒定律通常在數(shù)學(xué)上表示為連續(xù)性方程。后者是偏微分方程(PDEs)，并給出了“量”和該量的“輸運(yùn)”之間的關(guān)系。前者稱為守恒量，后者稱為密度。更精確地說，連續(xù)性方程表明，守恒量的數(shù)量只能隨流入或流出包含系統(tǒng)的體積的數(shù)量而變化。如前所述，所有物理學(xué)中最重要的結(jié)果之一，稱為諾特定理，指出在底層物理中存在一個守恒電流對應(yīng)于每一種對稱性。
在本文中，我將集中討論拉格朗日場論，它是與通常的拉格朗日力學(xué)（處理粒子）相對應(yīng)的場論。
讓我們用數(shù)學(xué)形式來表示。為此，我們首先需要理解兩個重要的概念：
拉格朗日密度是什么
最小作用量原理是什么
拉格朗日力學(xué)和最小作用量原理
拉格朗日力學(xué)是由數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫-路易斯·拉格朗提出的。它有幾個優(yōu)點。例如：
它是精致的，特別是如果與牛頓的方法相比。
它更加強(qiáng)大，使物理學(xué)家能夠直接解決具有挑戰(zhàn)性的問題。
這是一種全新的方式，為經(jīng)典動力學(xué)提供了一個框架，可以擴(kuò)展到所有的物理定律。
它展示了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間的聯(lián)系。
圖3：意大利數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約瑟夫-路易斯-拉格朗日
經(jīng)典場論中的拉格朗日力學(xué)
事實證明，目前已知的所有基本物理定律的運(yùn)動方程（描述物理系統(tǒng)如何作為時間函數(shù)運(yùn)行的方程）都可以從拉格朗日力學(xué)理論中獲得，即拉格朗日理論。要得到一個系統(tǒng)的運(yùn)動方程，我們首先需要理解“最小作用量原理”，它產(chǎn)生了這樣的方程。
場
考慮一個包含多個標(biāo)量場的系統(tǒng)：
方程1：分量為多個標(biāo)量場集合的向量。
圖4：二次勢理論中一個標(biāo)量場的運(yùn)動
其中x =（t，x，y，z）。在拉格朗日場論中，使用上述最小作用原理獲得了運(yùn)動方程。對于一些場_a，可以寫成：
式2：如何利用最小作用量原理求運(yùn)動方程。
我來解釋一下方程中各項的意思。括號內(nèi)的曲線L是拉格朗日密度，這個函數(shù)依賴于公式1中的場，它們對應(yīng)的空間和時間導(dǎo)數(shù)，以及坐標(biāo)t、x^1，x^2，x^3。大括號“{}”表示系統(tǒng)的n個自變量（包括時間變量），μ = 0, 1, 2, 3。應(yīng)用上述最小作用量原理，得到了運(yùn)動方程：
方程：歐拉-拉格朗日方程
諾特定理
這個強(qiáng)大的定理由相對不為人所知的數(shù)學(xué)家埃米·諾特在1915年證明，并在三年后發(fā)表。
埃米·諾特是誰？
德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家埃米·諾特是有史以來最偉大的無名科學(xué)女英雄之一。盡管她在輝煌的職業(yè)生涯中經(jīng)歷了偏見，她的同事們還是承認(rèn)了她幾乎無與倫比的天賦。
圖5：埃米·諾特的畫像和她證明定理的文章的第一頁
她在抽象代數(shù)和理論物理兩方面的貢獻(xiàn)是巨大的。諾特定理是現(xiàn)代物理學(xué)的基石。此外，她對現(xiàn)代代數(shù)的精通讓數(shù)學(xué)家歐文·卡普蘭斯基稱她為現(xiàn)代代數(shù)之母。
1935年，愛因斯坦在給《紐約時報》的一封信中寫道：
諾特小姐是自女性開始接受高等教育以來所產(chǎn)生的最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才。在代數(shù)領(lǐng)域，最有天賦的數(shù)學(xué)家已經(jīng)忙碌了幾個世紀(jì)，她發(fā)現(xiàn)了一些方法，這些方法已經(jīng)被證明對當(dāng)今一代年輕數(shù)學(xué)家的發(fā)展非常重要。——愛因斯坦
然而，即使在被哥廷根大學(xué)錄用后，由于她的性別，她也很難找到一個帶薪的工作。即使在大學(xué)開始支付她薪水之后，她也沒有成為一名正教授。當(dāng)時最杰出的科學(xué)家之一、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家赫爾曼·韋爾說：
“我很羞愧，因為我知道她在很多方面都是我的老師。”——赫爾曼·韋爾
數(shù)學(xué)家巴爾特·林德特·范德華登在她的中寫道，她的創(chuàng)造力無與倫比。她還被蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家帕維爾·亞歷山德羅夫和偉大的法國數(shù)學(xué)家讓·迪厄多內(nèi)等人稱為她那個時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
訃告
圖6：帕維爾·亞歷山德羅夫，讓·迪烏多內(nèi)，赫爾曼·韋爾，阿爾伯特·愛因斯坦和巴特爾·萊恩特。一群著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家認(rèn)為諾特是一位偉大的數(shù)學(xué)家。
諾特定理的數(shù)學(xué)
讓我們從考慮連續(xù)對稱和無窮小變化開始，拉格朗日密度不變：
方程4：對于連續(xù)對稱，當(dāng)我們對場進(jìn)行無限小的改變時，拉格朗日量不會改變。
接下來，我們需要用到歐拉-拉格朗日方程。兩個方程合起來可以得到：
方程5：兩個方程的組合。
然后我們將括號內(nèi)的對象定義為4-current J：
方程6
前式表示J守恒：
方程7：電流J守恒。
能量和動量的守恒
在本節(jié)中，我們將研究兩種類型的轉(zhuǎn)換。
平移就是空間是一種變換，它使圖形或空間的每一點在給定的方向上移動相同的距離。在這種情況下，連續(xù)平移對稱是物理方程組在任何平移下的不變性。
圖7：平移不變函數(shù)滿足等式f(A)=f(A+t)。
時間上的平移是一種將事物以恒定間隔移動的變換。時間平移對稱性的假設(shè)是這樣的：移動不會改變物理定律。
圖8：2017年，耶魯大學(xué)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了時間晶體的跡象，這種物質(zhì)狀態(tài)打破了時間平移對稱。
我們可以把這兩個變換寫成：
方程8：時空平移
其中，x^0=t，x^1=x，x^2=y，a是描述時空中位移的任意小參數(shù)，現(xiàn)在考慮一個標(biāo)量場(x)。如果我們通過一個小的擾動改變它：
方程9
利用歐拉-拉格朗日方程，經(jīng)過幾行代數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的拉格朗日隨坐標(biāo)t和x的變化：
式10
利用公式9，我們得到：
公式11：公式9和公式10的結(jié)合
現(xiàn)在，我們可以把拉格朗日密度的變化寫成：
式12
對比Eq. 11，a是任意的，我們得到：
方程13：由于平移參數(shù)a是任意選擇的，所以這個等式必須成立。
括號內(nèi)的表達(dá)式稱為能量動量張量，公式13可以寫成：
方程14：能量動量張量守恒。
T的00分量是系統(tǒng)的能量密度，T的i0分量(i=1,2,3)是場動量密度的分量。對整個空間積分，我們得到能量和三個動量分量。方程14表示在不改變拉格朗日密度的情況下進(jìn)行時空平移時的能量和動量守恒。
如前所述，場也可以在“內(nèi)部空間”內(nèi)轉(zhuǎn)換。連續(xù)對稱拉格朗日的一個例子，其中對稱變換是內(nèi)部的：
方程15：拉格朗日對稱對內(nèi)部轉(zhuǎn)換的空間
守恒的電流
讓我們再考慮一個標(biāo)量場的變換。這意味著：
方程16：標(biāo)量場的變換產(chǎn)生拉格朗日變換。
假設(shè)拉格朗日不變。與上一節(jié)完全一樣，我們得到了以下結(jié)果：
式17：在式14中通過變換，得到了守恒電流J。
物理系統(tǒng)的拉格朗日連續(xù)對稱都有相應(yīng)的守恒定律。換句話說，當(dāng)拉格朗日是對稱的，每個守恒電流都有一個守恒電荷。
最明顯的例子就是電荷守恒：
式18：應(yīng)用式17，其中J為電流密度。
圖9：電荷Q通過表面S的通量J。
諾特定理可以在許多不同的系統(tǒng)中使用，包括電磁場、一般的規(guī)范理論和許多其他系統(tǒng)。它可以很容易地擴(kuò)展到量子力學(xué)和量子場論。
