拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，同時(shí)是滲透到整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法。“拓?fù)?#8221;一詞是音譯自德文 topologie，最初由高斯的學(xué)生李斯亭引入 （1848年），用來(lái)表示一個(gè)新的研究方向，“位置的幾何”。中國(guó)第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家是江澤涵，他早年在哈佛大學(xué)師從數(shù)學(xué)大師莫爾斯，學(xué)成后為中國(guó)帶來(lái)了這個(gè)新學(xué)科（1931年）。
拓?fù)鋵W(xué)經(jīng)常被描述成 “橡皮泥的幾何”，就是說(shuō)它研究物體在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。比如，所有多邊形和圓周在拓?fù)湟饬x下是一樣的，因?yàn)槎噙呅慰梢酝ㄟ^(guò)連續(xù)變形變成圓周，右邊這個(gè)圖上，一個(gè)茶杯可以連續(xù)地變?yōu)橐粋€(gè)實(shí)心環(huán)，在拓?fù)鋵W(xué)家眼里，它們是同一個(gè)對(duì)象。而圓周和線段在拓?fù)湟饬x下就不一樣，因?yàn)榘褕A周變成線段總會(huì)斷裂（不連續(xù)）。為什么要研究這種性質(zhì)呢？這就要追溯到幾百年以前先賢們的遐想了。好在拓?fù)鋵W(xué)比微積分還是新得多，用不著 “言必稱希臘”，只要從萊布尼茲開(kāi)始就行。
萊布尼茲作為微積分的主要奠基者之一，對(duì)抽象符號(hào)有特殊的偏好。經(jīng)過(guò)他深思熟慮以后的微積分符號(hào)系統(tǒng)，比如微商符號(hào) dy/dx，不久就把牛頓的符號(hào)系統(tǒng)比下去了。在1679年的時(shí)候，萊布尼茲突發(fā)奇想，嘗試用抽象符號(hào)代表物體的幾何性質(zhì)，用以將幾何性質(zhì)代數(shù)化，通過(guò)符號(hào)的代數(shù)運(yùn)算，由已有的幾何性質(zhì)產(chǎn)生新的幾何性質(zhì)。他不滿意笛卡爾的坐標(biāo)系方法，認(rèn)為有些幾何性質(zhì)是跟幾何體的大小無(wú)關(guān)的，從而不能直接在坐標(biāo)系中予以體現(xiàn)?？赡苁怯捎谶@個(gè)想法太超前了，在他自己的腦子里也還只是混沌一片，而當(dāng)年聽(tīng)到他這個(gè)想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。
萊布尼茲在三百多年前想要建立的，是現(xiàn)在稱為“代數(shù)拓?fù)?/a>”的學(xué)問(wèn)，中間經(jīng)過(guò)歐拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比烏斯，克萊因，特別是黎曼和貝迪的思考和嘗試，終于在19，20世紀(jì)之交，由法國(guó)天才數(shù)學(xué)家龐卡萊悟到了。在這些先驅(qū)中，高斯名氣最大，被稱為數(shù)學(xué)王子；大家可能不太熟悉黎曼，其實(shí)他同高斯在數(shù)學(xué)史上的地位是相當(dāng)?shù)?，他?9世紀(jì)中葉的很多想法直到現(xiàn)在還有著巨大的影響；莫比烏斯，他在數(shù)學(xué)上有很多貢獻(xiàn)，不過(guò)他為世人所知還多半是因?yàn)橛盟拿置钠婀智妫耗葹跛箮?。左邊這個(gè)圖就是莫比烏斯帶，它的重要特性是，雖然在每個(gè)局部都可以說(shuō)正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面。這種曲面叫做 “單側(cè)曲面”。在這樣的曲面上散步一定很別扭，哈哈。
這次來(lái)談?wù)勍負(fù)鋵W(xué)中有代表性的一個(gè)課題， 扭結(jié)分類問(wèn)題。所謂扭結(jié)，顧名思義就是一根繩子首尾相接，它可能打了結(jié)。更一般的，可以是幾根繩子，除了自身打結(jié)以外，還互相打結(jié)。對(duì)具體的一個(gè)扭結(jié)，也許可以通過(guò)做實(shí)驗(yàn)的辦法判斷它是否打結(jié)，但是數(shù)學(xué)家希望找一個(gè)普適的，定量的辦法。比如說(shuō)，任意畫(huà)一個(gè)扭結(jié)（它實(shí)際上是一個(gè)空間扭結(jié)的平面投影），比如這個(gè)有點(diǎn)復(fù)雜的，怎樣不動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)就能判斷它到底有沒(méi)有打結(jié)？
這個(gè)問(wèn)題后來(lái)證實(shí)是非常復(fù)雜的問(wèn)題。在有了計(jì)算機(jī)以后，才能找到一種時(shí)間代價(jià)很高的算法讓計(jì)算機(jī)幫助我們判斷一個(gè)扭結(jié)投影到底有沒(méi)有打結(jié)。直到 2006 年，才找到一種真正快速的計(jì)算機(jī)算法來(lái)判斷這件事。
扭結(jié)分類的問(wèn)題比判斷是否打結(jié)更困難。比如，以下兩個(gè)扭結(jié)都打了結(jié)，它們是否本質(zhì)上是同一種結(jié)？
所謂 “分類”， 就是要找一個(gè)（可計(jì)算的）判據(jù)，使得當(dāng)兩個(gè)扭結(jié)滿足這個(gè)判據(jù)時(shí)就是同一種結(jié)；當(dāng)它們不滿足這個(gè)判據(jù)時(shí)就不是同一種結(jié)。到現(xiàn)在為止，也還只能找到一些非常復(fù)雜的判據(jù)，同樣要借助計(jì)算機(jī)才能大致判斷兩個(gè)扭結(jié)是否本質(zhì)上為同一種結(jié)。
扭結(jié)理論有一段很有趣的早期歷史。1867 年，著名物理學(xué)家開(kāi)爾文勛爵，就是那個(gè)號(hào)稱物理學(xué)已經(jīng)接近終結(jié)，只剩 “兩朵烏云”的開(kāi)爾文，突然產(chǎn)生了關(guān)于化學(xué)元素表的新看法（那時(shí)候還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)原子，所以化學(xué)元素表還是一個(gè)謎）。開(kāi)爾文認(rèn)為，不同的化學(xué)元素其實(shí)是 “以太”的渦旋在空間中的扭結(jié)形態(tài)。“以太”是19 世紀(jì)的物理學(xué)家們發(fā)明的概念，它被想象成充滿整個(gè)空間，是電磁波傳播的載體（或媒質(zhì)）。開(kāi)爾文是很?chē)?yán)肅的物理學(xué)家，當(dāng)然不能憑空想象，實(shí)際上他提出了幾個(gè)即使從現(xiàn)在的觀點(diǎn)看來(lái)也很合理的證據(jù)：
（1）元素很穩(wěn)定，這可以用扭結(jié)的拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)解釋，微小的形變不改變扭結(jié)的 “扭法”。
（2）元素很多樣，這可以用扭結(jié)的多樣性來(lái)解釋，不同的 “打結(jié)方式” 實(shí)在太多了。
（3）不同的元素發(fā)出不同的光譜，這可以用 “以太扭結(jié)” 的各種 “振動(dòng)方式” 來(lái)解釋。
有時(shí)候我們不得不佩服一些大師，他們雖然偶爾有點(diǎn)信口開(kāi)河，不過(guò)極富原創(chuàng)力想象力。開(kāi)爾文這個(gè)想法可以算是 “弦論” 的原生態(tài)。雖然后來(lái)化學(xué)周期表更好地被理解為原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但開(kāi)爾文列舉的這幾個(gè)證據(jù)都能在新興的弦論中依稀找到一點(diǎn)影子。
請(qǐng)?jiān)徫也荒茉谶@里具體給出任何判斷兩個(gè)扭結(jié)不同的方法。任何這樣一個(gè)方法，都需要很多圖解和文字說(shuō)明。有興趣的網(wǎng)友可以讀姜伯駒的《繩圈的數(shù)學(xué)》或者英文書(shū) 《An introduction to knot theory》， 作者 Lickorish, 屬于系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再貼幾個(gè)扭結(jié)：
然后是一個(gè)問(wèn)題：下面三個(gè)扭結(jié)中，哪兩個(gè)本質(zhì)上是同一種結(jié)？
龐卡萊是 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家，他與德國(guó)的希爾伯特領(lǐng)銜當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界，分別繼承了黎曼和高斯的衣缽：龐卡萊對(duì)物理世界的深刻洞察給了他天馬行空般的想象力，一如當(dāng)年的黎曼；希爾伯特嚴(yán)謹(jǐn)，博學(xué)，細(xì)致入微地思考，為 20 世紀(jì)前半葉數(shù)論和代數(shù)幾何的發(fā)展指明了方向。龐卡萊的拓?fù)鋵W(xué)和希爾伯特的代數(shù)幾何，就像普朗克的量子論和愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，完全革新了整個(gè)學(xué)科的基本觀念。
這一帖就試試介紹龐卡萊引入的兩個(gè)概念：“同調(diào)群” 與 “基本群”。它們都是幾何體內(nèi)在性質(zhì)的 “代數(shù)體現(xiàn)”。
龐卡萊意識(shí)到，描述一個(gè)幾何體抽象性質(zhì)的關(guān)鍵在于這個(gè)幾何體本身有沒(méi)有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界。比如，一個(gè)圓盤(pán)和一個(gè)球面為什么不同，就是因?yàn)閳A盤(pán)有邊界而球面沒(méi)有邊界；球面為什么跟輪胎面不同，就是因?yàn)榍蛎嫔系娜魏我粋€(gè)圈都是球面某一部分的邊界，比如赤道就是北半球面的邊界，而輪胎面上有的圈并不是輪胎面任何一部分的邊界。
在第一篇里說(shuō)過(guò)，萊布尼茲夢(mèng)想用符號(hào)來(lái)表述一些抽象的幾何性質(zhì)。200多年后龐卡萊終于實(shí)現(xiàn)了這個(gè)夢(mèng)，他把跟邊界有關(guān)的性質(zhì)數(shù)量化。先把幾何體剖分成基本組成部分（點(diǎn)，邊，三邊形，四面體，…)，比如，一個(gè)球面上可以畫(huà)四個(gè)點(diǎn)，然后把它們兩兩相連 （不允許連線相交），有六條邊，這些邊把球面分成四個(gè)三邊形，這就是球面的一個(gè) “剖分”（見(jiàn)左圖）。剖分的基本組成成份叫做 “單形”，“點(diǎn)” 是 0 維單形，“邊” 是 1 維單形，“三邊形”（包括內(nèi)部）是 2 維單形，等等 （ 試想一下 3 維單形是什么 ）。
拿之前已經(jīng)剖分的球面做例子，頂點(diǎn) A, B, C, D 是 0 維單形，邊 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 維單形，三邊形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 維單形 （如果 ABC, ACD 是東半球的區(qū)域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因?yàn)榭疾斓氖乔蛎?，而不是球體，所以沒(méi)有三維以上的單形。
龐卡萊在單形前面放上系數(shù)（整數(shù)），假設(shè)它們能夠相加，以及做同類項(xiàng)合并。這種表達(dá)式稱為一個(gè) “鏈”， 比如
(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.
單形前面的加號(hào)減號(hào)具有幾何意義，“定向”。在 1維的時(shí)候就是邊的方向，比如，AB 是從 A 到 B 的邊，-AB 就是從 B 到 A 的邊，也就是 BA，所以 BA = - AB. 三邊形的定向復(fù)雜一些，不過(guò)本質(zhì)上就是跟頂點(diǎn)的排列順序有關(guān)，對(duì)換兩個(gè)頂點(diǎn)就會(huì)改變定向，
ACB = - ABC.
由于每一個(gè) n 維單形的邊界由若干 n-1 維單形組成，所以 “求邊界” 可以作為一種運(yùn)算，作用在 “鏈” 上，得到另一個(gè) “鏈”，其每一項(xiàng)都比原來(lái)鏈里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的維數(shù)低一維。在求邊界的過(guò)程中，定向也是一個(gè)重要因素，雖然 AB 的邊界是兩個(gè)點(diǎn) A 和 B, 但為了體現(xiàn)定向性質(zhì)，規(guī)定 AB 的邊界是 ( B – A ). 這種約定可以推廣到高維的鏈，大家不妨自己試試。
如果用 d記求邊界運(yùn)算，在跟定向相容的約定下，它在球面剖分的各單形上作用如下
d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0;
d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, ……
d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……
在 “鏈” 上的作用，
d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.
邊界運(yùn)算有一個(gè)很好的性質(zhì)。直觀上容易看到，“物體的邊界沒(méi)有邊界”。比如，三邊形的邊界是三條邊組成的閉合鏈。生活中我們說(shuō) “閉合” 的意思就是沒(méi)有邊界。代數(shù)上體現(xiàn)為，連續(xù)兩次求邊界一定是零，
d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(CD) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (C-B) = 0
現(xiàn)在把剖分后的幾何體的所有這樣的 “鏈” 放在一起，它們之間有加減法（合并同類項(xiàng)），可以用系數(shù)乘，還可以 “求邊界”。這就得到了一個(gè)代數(shù)對(duì)象，叫做這個(gè)剖分后的幾何體的 “鏈群”。這個(gè)代數(shù)對(duì)象跟我們開(kāi)始的剖分方法有關(guān)。
在鏈群中，可以由求邊界運(yùn)算得到的鏈叫做 “邊緣鏈”，比如，
2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )
說(shuō)明等式左邊這個(gè)鏈?zhǔn)且粋€(gè)邊緣鏈。沒(méi)有邊界的鏈叫做 “閉鏈”。邊緣鏈一定是閉鏈，而閉鏈不一定是邊緣鏈。龐卡萊發(fā)現(xiàn)，“有多少閉鏈不是邊緣鏈” 這個(gè)性質(zhì)與剖分無(wú)關(guān)，從而是幾何體某種本性的代數(shù)體現(xiàn)。怎樣代數(shù)地描述這個(gè)性質(zhì)？ 考慮所有閉鏈，它們之間的加減，數(shù)乘，結(jié)果還是閉鏈，在其中把邊緣鏈等同于0，這樣得到的代數(shù)對(duì)象將不依賴于剖分幾何體的方法，龐卡萊叫它 “同調(diào)群”。
現(xiàn)在來(lái)算球面的同調(diào)群。頂點(diǎn)都沒(méi)有邊界，但是兩個(gè)頂點(diǎn)的差一定是一條邊的邊界，
A-B = d (BA)
按照龐卡萊的語(yǔ)言，A-B 是邊緣鏈，將被等同于 0, 也就是說(shuō)，在同調(diào)群中 A-B = 0, 或者說(shuō) A = B. 這樣，本質(zhì)上只有一個(gè) 0 維對(duì)象，
A = B = C = D,
它可以被整數(shù)乘，這樣我們得到球面的 0 維同調(diào)群
{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}
這個(gè)代數(shù)對(duì)象的加法，數(shù)乘，跟全體整數(shù)的加法，數(shù)乘是一樣的，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，球面的 0 維同調(diào)群 “同構(gòu)于” 整數(shù)集。
1 維的鏈?zhǔn)橇鶙l邊的組合，用代數(shù)運(yùn)算（解線性方程組）或者幾何直觀都可以看到，沒(méi)有邊界的 1 維鏈總是由三邊形的邊界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 組成，按照龐卡萊的語(yǔ)言，球面上所有的 1 維閉鏈都是邊緣鏈，都應(yīng)該在同調(diào)群中等同于 0，所以1 維同調(diào)群是 0.
2 維的鏈?zhǔn)撬膫€(gè)面的組合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是閉鏈的條件
d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.
有興趣的朋友可以動(dòng)手算一算上面這個(gè)方程，比如第一項(xiàng)
d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,
然后合并每條邊的系數(shù)，令它等于零，就得到 6 個(gè)關(guān)于 x, y, z, w 的線性方程。這個(gè)方程組的解是 x = z = -y = -w. 這個(gè)結(jié)果說(shuō)明球面上的每個(gè)二維閉鏈都可以寫(xiě)成
w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),
也就是說(shuō)，總是括號(hào)中閉鏈的整數(shù)倍。如果把括號(hào)里的閉鏈叫做 s, 那么球面的二維同調(diào)群就是
{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }，
同構(gòu)于整數(shù)集。
綜上所述，球面的 0 維同調(diào)群和 2 維同調(diào)群都同構(gòu)于整數(shù)集，1 維同調(diào)群為 0. 再引入一個(gè)概念，同調(diào)群內(nèi)含有多少個(gè)整數(shù)集，就說(shuō)同調(diào)群的 “秩” 是多少。把不同維同調(diào)群的 “秩” 交錯(cuò)加減，即，0 維同調(diào)群的秩減去 1 維同調(diào)群的秩再加上 2 維同調(diào)群的秩再減去 3 維同調(diào)群的秩……, 得到一個(gè)整數(shù)。在簡(jiǎn)單例子里稍作計(jì)算，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)整數(shù)實(shí)際上是 0 維單形個(gè)數(shù)減去 1 維單形個(gè)數(shù)再加上 2 維單形個(gè)數(shù)再減去 3 維單形個(gè)數(shù)……，即，各維數(shù)單形個(gè)數(shù)的交錯(cuò)和。這個(gè)數(shù)大家其實(shí)頗為熟悉，在高中立體幾何最后應(yīng)該提到過(guò)，叫做 “歐拉示性數(shù)”，對(duì)凸多面體的表面，它就是 V – E + F, 而且總是等于 2. 實(shí)際上，所有凸多面體的表面在拓?fù)渖隙际乔蛎?，這個(gè) “2” 就是球面的各維數(shù)同調(diào)群的 “秩” 的交錯(cuò)和，1 – 0 + 1 = 2.
顯然，歐拉示性數(shù)是最容易計(jì)算的拓?fù)洳蛔兞浚恍枰乙粋€(gè)剖分，然后數(shù)數(shù)幾個(gè)頂點(diǎn)幾條邊幾個(gè)面……，再加加減減就行了。
同調(diào)群告訴我們哪些閉鏈不是邊緣鏈，通俗一點(diǎn)說(shuō)，告訴我們幾何體里面哪些封閉的對(duì)象是 “中空” 的。它顯然是比歐拉示性數(shù)更精細(xì)的拓?fù)洳蛔兞俊Ｓ信d趣的朋友可以自己算算兩個(gè)幾何體的同調(diào)群：圓圈，輪胎面。（提示：先把它們剖分成單形。）
龐卡萊發(fā)現(xiàn)了同調(diào)群以后，拿它來(lái)區(qū)分了一些三維的對(duì)象。后來(lái)他發(fā)現(xiàn)，同調(diào)群不夠精細(xì)。比如，跟三維球面（二維球面的高一維推廣）具有相同同調(diào)群的幾何對(duì)象不一定就是三維球面。這促使他尋找更精細(xì)的拓?fù)湫再|(zhì)。這次他想到幾何體里頭還有東西是可以運(yùn)算的，就是道路。兩條道路如果首尾相接，就組成一條新的道路，這就是道路的乘法。這里有兩個(gè)問(wèn)題需要處理，首先，不是任何兩條道路都能相乘 （必須首尾相接才可以），然后，即使能相乘，乘法也不滿足結(jié)合律，運(yùn)算起來(lái)不方便。龐卡萊想到了辦法解決這兩個(gè)問(wèn)題。他在幾何體內(nèi)取一個(gè)基點(diǎn)，只考慮那些從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)再回到這個(gè)點(diǎn)的道路，這些道路當(dāng)然互相首尾相連；然后他規(guī)定，如果一條道路能在幾何體內(nèi)經(jīng)過(guò)連續(xù)變形到另一條道路 （見(jiàn)下圖），這兩條道路就被看作在同一個(gè) “道路類” 中，這樣規(guī)定后，“道路類” 之間的乘法就滿足結(jié)合律了。這些 “道路類” 也組成一個(gè)代數(shù)對(duì)象，有乘法運(yùn)算，這個(gè)對(duì)象叫做幾何體的 “基本群”，或者 “1 維同倫群”。
來(lái)點(diǎn)感性認(rèn)識(shí)。線段的基本群只有一個(gè)元素，就是靜止在基點(diǎn)的道路。線段里的其他任何從基點(diǎn)出發(fā)回到基點(diǎn)的道路都可以在線段內(nèi)連續(xù)變形到靜止在基點(diǎn)的道路。我們把只包含一個(gè)元素的基本群稱為“平凡的”。再看圓周，它的基本群是所有整數(shù)組成的。繞圓周 n 圈的道路不能在圓周上連續(xù)變形到繞圓周 m 圈的道路，而把它們首尾相接的結(jié)果就是繞圓周 n+m 圈的道路，這里道路類之間的乘法體現(xiàn)為整數(shù)間的加法。第三個(gè)例子，球面，它的基本群是平凡的，因?yàn)榍蛎嫔纤杏苫c(diǎn)出發(fā)的回路都可以在球面上連續(xù)變形（滑縮）為靜止在基點(diǎn)的道路 （見(jiàn)左圖）。具有平凡基本群的幾何體稱為 “單連通的”。
基本群的計(jì)算涉及到更深入的細(xì)節(jié)，比如拓?fù)涞木唧w定義，拓?fù)淇臻g之間的映射，等等，無(wú)法在這里詳加解釋。有興趣進(jìn)一步了解的朋友請(qǐng)參閱 《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》，阿姆斯特朗（M.A.Armstrong）著；孫以豐譯。
發(fā)明了基本群以后，龐卡萊覺(jué)得這個(gè)更加精確的拓?fù)湫再|(zhì)應(yīng)該足以把三維球面從其它三維幾何體中區(qū)分出來(lái)，但他自己無(wú)法證明。這就是舉世聞名的龐卡萊猜想：?jiǎn)芜B通的三維封閉幾何體一定是三維球面。這個(gè)猜想及其推廣主導(dǎo)了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)一百年的發(fā)展，最終在2004年由俄羅斯數(shù)學(xué)家裴若曼給出證明。裴若曼因此在 2006 年獲得數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù) —— 菲爾茲獎(jiǎng)。
