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1、關(guān)于行列式的含義

??關(guān)于“行列式”的定義，很多人都說(shuō)有點(diǎn)莫名其妙，或者說(shuō)不講道理. 的確，行列式這個(gè)概念，與矩陣不同，有些不符合中國(guó)人的傳統(tǒng)思維方式. 在浩如煙海的中文史料中很難找到與其對(duì)應(yīng)的表述. 就算在相關(guān)的譯文中，行列式最初也只是被稱為“定準(zhǔn)數(shù)”，其展開式更是被寫成

$\begin{vmatrix} \text{甲}&\text{乙}&\text{丙}\ \text{丁}&\text{戊}&\text{己}\ \text{庚}&\text{辛}&\text{壬} \end{vmatrix}= \text{甲戊壬} \bot \text{丁辛丙} \bot \text{庚己乙} \top \text{庚戊丙} \top \text{辛己甲} \top \text{壬丁乙}$

??從歷史來(lái)看，行列式和矩陣都是為解線性方程組而產(chǎn)生的，而且行列式概念的提出甚至早于矩陣，但行列式其實(shí)是方陣的一種的運(yùn)算規(guī)則. 這有點(diǎn)像人們對(duì)“余弦定理”的認(rèn)識(shí)過(guò)程. 遠(yuǎn)古人類已經(jīng)會(huì)用12段等長(zhǎng)的繩子構(gòu)建直角，然后人們確定了勾股定理，再進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)了余弦定理. 從應(yīng)用開始，然后發(fā)展成較完整的理論. 行列式的發(fā)展也是這樣一個(gè)過(guò)程. 在西方，1693年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在解方程組中首先使用了系數(shù)分離表示未知量，得到了行列式的原始概念. 隨后，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默、法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德、拉普拉斯等也對(duì)行列式理論進(jìn)行了相關(guān)的研究并取得了包括：克拉默法則、子式、代數(shù)余子式和拉普拉斯展開定理在內(nèi)的豐富而影響深遠(yuǎn)的成果. 法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在1813年最先使用“determinant”（行列式）一詞，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊于1841年首次使用兩條豎線來(lái)表示行列式. 而在東方，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在1863年著作《解伏題之法》中就對(duì)行列式的概念和展開式進(jìn)行了清楚的敘述. 與“微積分創(chuàng)立之爭(zhēng)”一樣，后世也普遍認(rèn)為，關(guān)孝和與萊布尼茲相互獨(dú)立提出行列式概念的. 可見，行列式也是伴隨解線性方程組產(chǎn)生的. 但由于行列式是對(duì)矩陣這一數(shù)學(xué)對(duì)象的二次抽象，也就導(dǎo)致人們對(duì)行列式的認(rèn)識(shí)非常不直觀.

??關(guān)于行列式的直觀表述：一個(gè)線性變換的“體積”系數(shù). 也就是一個(gè)“單位體（各邊邊長(zhǎng)均為1的）”經(jīng)線性變換 $A$ 后得到的新的“立體”的體積. 從我差2個(gè)月零10天就滿六歲的兒子的視角看（他不讓我說(shuō)五歲半，因?yàn)檎f(shuō)六歲能讓他看上去更成熟些），就是一塊邊長(zhǎng)為1的、正正方方的橡皮泥，在他的“精心”擠壓后，得到的新形狀的體積. 當(dāng)然，這樣的說(shuō)法還是離不開“線性變換”的. 如果有興趣可以去自行百度一下看看.

??其實(shí)最具有直觀性的行列式的含義就出現(xiàn)在“二重積分的換元法”（高等數(shù)學(xué)中選學(xué)部分）. 二重積分的換元法公式為：

其中 $J(u,v)$ 為雅可比式，其定義為：

特別地，當(dāng)我們只考慮線性表變換: $\begin{cases} x=au+bv\\y=cu+dv \end{cases}$ 時(shí)，有 $J(u,v)=\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad-bc$ . 這里有必要說(shuō)明一下：線性變換 $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}$ 習(xí)慣上被稱為：從向量 $\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}$ 到向量 $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ 的線性變換.

而從二重定積分的換元法公式(1)顯然有：

從上式中可以很明確的得出：在 $u,v$ 坐標(biāo)下的面積為“1”的積分微元，經(jīng)線性變換后在 $x,y$ 坐標(biāo)下的面積將變?yōu)?span> $\left|J(u,v)\right|$ ，即 $\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}$ .

2、行列式的另一種定義

設(shè)有 $n^2$ 個(gè)數(shù)字，排成 $n$ 行 $n$ 列的數(shù)表，

作出表中不同行不同列的 $n$ 個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào) $(-1)^t$ ，得到 $n!$ 個(gè)形如

的項(xiàng)，其中 $p_1p_2\cdots p_n$ 為自然數(shù) $1,2,\cdots,n$ 的一個(gè)排列， $t$ 是這個(gè)排列的逆序數(shù). 所有這 $n!$ 的項(xiàng)的代數(shù)和

稱為 $n$ 階行列式. 即：

這個(gè)定義雖然用起來(lái)更麻煩，但它對(duì)行列式的項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)的符號(hào)和各項(xiàng)的一般形式都有較直觀的說(shuō)明，可以用來(lái)處理那些只研究行列式中某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)的情況.

??最后，給大家一個(gè)經(jīng)典的行列式：

$\begin{vmatrix} \text{我}& &\text{生}\ &\text{有} &\ \text{你}& &\text{幸}\\end{vmatrix}=\text{我有幸}-\text{生有你}$

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2、行列式的另一種定義

2、行列式的另一種定義