構(gòu)及其機(jī)能等問題進(jìn)行了深入研究，并提出了著名的認(rèn)知建構(gòu)理論、認(rèn)知發(fā)展理論。
一、認(rèn)知建構(gòu)理論
皮亞杰認(rèn)為認(rèn)知的形成與發(fā)展是一種建構(gòu)過程，是個(gè)體在與環(huán)境的不斷的相互作用中實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)過程涉及圖式、同化、順應(yīng)及平衡四個(gè)方面。
圖式是認(rèn)知或心理結(jié)構(gòu)，個(gè)體正是通過這種結(jié)構(gòu)對環(huán)境進(jìn)行智力的適應(yīng)和組織。圖式與生物適應(yīng)環(huán)境所具有的生物結(jié)構(gòu)一樣，它適應(yīng)心理的發(fā)展并隨心理的發(fā)展而變化。圖式可以被簡單地視為個(gè)體所擁有的概念或類別，它像是索引存儲器一樣，其中每一張索引卡片代表一個(gè)圖式。這些圖式對輸入的刺激進(jìn)行加工和鑒別，進(jìn)而把不同的刺激物加以區(qū)分和概括。
同化是指將外界元素整合到一個(gè)有機(jī)體正在形成或已經(jīng)形成的結(jié)構(gòu)之內(nèi)，即把外部信息直接納入自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。當(dāng)個(gè)體面對一個(gè)新的刺激情境時(shí)，如果能夠利用已有的圖式或認(rèn)知結(jié)構(gòu)把刺激整合到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，這就是同化。也只有通過這一過程，主體才能對新刺激作出反應(yīng)。
順應(yīng)是指主體通過調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以使其與外界信息相適應(yīng)的過程。當(dāng)個(gè)體不能利用原有圖式接受和解釋新刺激時(shí)，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)由于刺激的影響而發(fā)生改變，這就是順應(yīng)。順應(yīng)過程對主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展具有十分重要的意義，通過這個(gè)過程，主體認(rèn)識結(jié)構(gòu)會不斷得到修正。同化和順應(yīng)是相輔相成的兩個(gè)方面。有同化，必然有順應(yīng)。
皮亞杰把同化和順應(yīng)之間的“均衡”稱為平衡。皮亞杰認(rèn)為，同化和順應(yīng)過程對于認(rèn)知的生長與變化是必需的，同化和順應(yīng)所產(chǎn)生的相對量也同樣重要。假如一個(gè)人總是去同化刺激物而不去順應(yīng)刺激物，其智力就難以有質(zhì)的發(fā)展。這樣他最后將會得出少數(shù)幾個(gè)很粗略的圖式而不能發(fā)現(xiàn)事物的差異，許多事物被看成是類似的東西，不能區(qū)分。相反，假如一個(gè)人總是去順應(yīng)刺激物而不去同化，其結(jié)果將導(dǎo)致他具有很細(xì)小、卻很少概括性的圖式。許多事物被看成是獨(dú)立的、不相同的、且難以歸類。這兩個(gè)極端對于個(gè)體都是災(zāi)難性的。因此，皮亞杰指出，同化和順應(yīng)之間需要“均衡”。皮亞杰還認(rèn)為，在個(gè)體認(rèn)知發(fā)展中同化和順應(yīng)之間若出現(xiàn)不平衡，個(gè)體就產(chǎn)生尋求平衡的動機(jī)，去尋求進(jìn)一步的平衡。同化和順應(yīng)的協(xié)調(diào)與整合是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長與發(fā)展的原因。
皮亞杰認(rèn)為心理發(fā)展就是個(gè)體通過同化和順應(yīng)日益復(fù)雜的環(huán)境而達(dá)到平衡的過程。個(gè)體也正是在平衡與不平衡的交替中不斷建構(gòu)和完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的發(fā)展。
（一）個(gè)體認(rèn)知發(fā)展特征
認(rèn)知發(fā)展階段論是皮亞杰對教育心理學(xué)的獨(dú)特貢獻(xiàn)。皮亞杰對認(rèn)知發(fā)展過程進(jìn)行了深入研究，并提出以下個(gè)體認(rèn)知發(fā)展特征：
1 ．階段出現(xiàn)的先后順序固定不變，不能跨越，也不能顛倒。它們經(jīng)歷不變的、恒常的順序，并且所有的兒童都遵循這樣的發(fā)展順序，因而階段具有普通性。任何一個(gè)特定階段的出現(xiàn)不取決于年齡而取決于智力發(fā)展水平。皮亞杰在具體描述階段時(shí)附上了大概的年齡只是為了表示各階段可能出現(xiàn)的年齡范圍。事實(shí)上由于社會文化不同，可文化相同但教育不同，各階段出現(xiàn)的平均年齡有很大差別。
2 ．每一階段都有獨(dú)特的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這些相對穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)決定兒童行為的一般特點(diǎn)。兒童發(fā)展到某一階段，就能從事水平相同的各種性質(zhì)的活動。
3 ．認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是一個(gè)連續(xù)構(gòu)造（建構(gòu)）的過程，每一個(gè)階段都是前一階段的延伸，是在新水平上對前面階段進(jìn)行改組而形成新系統(tǒng)。每階段的結(jié)構(gòu)形成一個(gè)結(jié)構(gòu)整體，它不是無關(guān)特性的并列和混合。前面階段的結(jié)構(gòu)是后面階段結(jié)構(gòu)的先決條件，并為后者取代。
（二）認(rèn)知發(fā)展階段論
“運(yùn)算”（即思維操作）是皮亞杰理論中的關(guān)鍵概念，他據(jù)此將兒童認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)主要階段：
1 ．感知運(yùn)動階段（出生 -2 歲）。
主要是動作、活動并有協(xié)調(diào)感覺、知覺和動作的活動，屬于智慧萌芽時(shí)期。
自出生至 2 歲左右，是智力發(fā)展的感知運(yùn)動階段。在此階段的初期即新生兒時(shí)期，嬰兒所能做的只是為數(shù)不多的反射性動作。通過與周圍環(huán)境的感覺運(yùn)動接觸，即通過他加以客體的行動和這些行動所產(chǎn)生的結(jié)果來認(rèn)識世界。也就是說嬰兒僅靠感覺和知覺動作的手段來適應(yīng)外部環(huán)境。這一階段的嬰兒形成了動作格式的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
感知運(yùn)動階段，兒童智慧的成長突出地表現(xiàn)在三方面，
（ 1 ）逐漸形成物體永久性（不是守恒）的意識，這與嬰兒語言及記憶的發(fā)展有關(guān)，物體永久性具體表現(xiàn)現(xiàn)在：當(dāng)一個(gè)物體（如爸爸媽媽、玩具）在他面前時(shí)，嬰兒知道不這個(gè)人或物，而當(dāng)這個(gè)物體不在眼前時(shí)，他能認(rèn)識到此物盡管當(dāng)前摸不著、看不見也聽不到，但仍然是存在的。爸爸媽媽離開了，但嬰兒相信他們還會出現(xiàn)，被大人藏起的玩具還在什么地方，翻開氈子，打開抽屜，還應(yīng)可找到。這標(biāo)志著穩(wěn)定性客體的認(rèn)知格式已經(jīng)形成。近年的研究表明，兒童形成母親永久性的意識較早，并與母嬰依戀有關(guān)。
（ 2 ）在穩(wěn)定性客體永久性認(rèn)知格式建立的同時(shí)，兒童的空間一時(shí)間組織也達(dá)到一定水平。因?yàn)閮和趯ふ椅矬w時(shí)，他必須在空間上定位來找到它。又由于這種定位總是遵循一定的順序發(fā)生的，故兒童又同時(shí)建構(gòu)了時(shí)間的連續(xù)性。
（ 3 ）出現(xiàn)了因果性認(rèn)識的萌芽，這與物體永久性意識的建立及空間一時(shí)間組織的水平密不可分。兒童最初的因果性認(rèn)識產(chǎn)生于自己的動作與動作結(jié)果的分化，然后擴(kuò)及客體之間的運(yùn)動關(guān)系。當(dāng)兒童能運(yùn)用一系列協(xié)調(diào)的動作實(shí)現(xiàn)某個(gè)目的（如拉枕頭取玩具）時(shí)，就意味著因果性認(rèn)識已經(jīng)產(chǎn)生了。
2 ．前運(yùn)算階段（ 2-7 歲）。
出現(xiàn)了語言、符號，具有表象思維的能力，但缺乏可逆性。
與感知運(yùn)動階段相比，前運(yùn)算階段兒童的智慧在質(zhì)方面有了新的飛躍。在感動運(yùn)動階段，兒童只能對當(dāng)前感覺到的事物施以實(shí)際的動作進(jìn)行思維，在階段中、晚期，形成物體永久性意識，并有了最早期的內(nèi)化動作。到前運(yùn)算階段，物體永久性的意識鞏固了，動作大量內(nèi)化。隨著語言的快速發(fā)展及初步完善，兒童頻繁地借助表象符號（語言符號與象征符號）來代替外界事物，重視外部活動，兒童開始從具體動作中擺脫出來，憑借象征格式在頭腦里進(jìn)行“表象性思維”，故這一階段又稱為表象思維階段。前運(yùn)算階段，兒童動作內(nèi)化具有重要意義。
在表象思維的過程中，兒童主要運(yùn)用符號（包括語言符號和象征符號）的象征功能和替代作用，在頭腦中將事物和動作內(nèi)化。而內(nèi)化事物和動作并不是把事物和動作簡單地全部接受下來而形成一個(gè)攝影或副本。內(nèi)化事實(shí)上是把感覺運(yùn)動所經(jīng)歷的東西在自己大腦中再建構(gòu)，舍棄無關(guān)的細(xì)節(jié)，形成表象。內(nèi)化的動作是思想上的動作而不是具體的軀體動作。內(nèi)化的產(chǎn)生是兒童智力的重大進(jìn)步。
總結(jié)起來，前運(yùn)算階段的兒童認(rèn)識活動有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
（ 1 ）相對的具體性，借助于表象進(jìn)行思維，還不能進(jìn)行運(yùn)算思維。
（ 2 ）思維的不可逆性，缺乏守恒結(jié)構(gòu)。
（ 3 ）自我中心性，兒童站在自己經(jīng)驗(yàn)的中心，只有參照他自己才能理解事物，他認(rèn)識不到他的思維過程，缺乏一般性。他的談話多半以自我為中心。
（ 4 ）刻板性，表現(xiàn)為在思考眼前問題時(shí)，其注意力還不能轉(zhuǎn)移，還不善于分配；在概括事物性質(zhì)時(shí)缺乏等級的觀念。
皮亞杰將此階段的思維稱為半邏輯思維，與感知運(yùn)動階段的無邏輯、無思維相比，這是一大進(jìn)步。
3 ．具體運(yùn)算階段（ 7-11 歲， 12 歲）。
出現(xiàn)了邏輯思維和零散的可逆性，但一般還只能對具體事物或形象進(jìn)行運(yùn)算。
以兒童出現(xiàn)了內(nèi)化了的、可逆的、有守恒前提的、有邏輯結(jié)構(gòu)的動作為標(biāo)志，兒童智力進(jìn)入運(yùn)算階段，首先是具體運(yùn)算階段。具體的運(yùn)算意指兒童的思維運(yùn)算必須有具體的事物支持，有些問題在具體事物幫助下可以順利獲得解決。
具體運(yùn)算階段兒童所獲得的智慧成就有以下幾個(gè)方面：
（ 1 ）、在可逆性（互反可逆性）形成的基礎(chǔ)上，借助傳遞性，夠按照事物的某種性質(zhì)如長短、大小、出現(xiàn)的時(shí)間先后進(jìn)行順序排列。
（ 2 ）、產(chǎn)生了類的認(rèn)識，獲得了分類和包括的智慧動作。
（ 3 ）、把不同類的事物（互補(bǔ)的或非互補(bǔ)的）進(jìn)行序列的對應(yīng)。簡單的對應(yīng)形式為一一對應(yīng)。
（ 4 ）、自我中心觀進(jìn)一步削弱，即去中心的，在感知運(yùn)動階段和前運(yùn)算階段，兒童是以自我為中心的，他以自己為參照系來看待每件事物，他的心理世界是唯一存在的心理世界，這妨礙了兒童客觀地看待外部事物。在具體運(yùn)算階段，隨著與外部世界的長期相互作用，自我中心逐漸克服。
概括起來，進(jìn)入具體運(yùn)算階段的兒童獲得了較系統(tǒng)的邏輯思維能力，包括思維的可逆性與守恒性；分類、順序排列及對應(yīng)能力，數(shù)的概念在運(yùn)算水平上掌握（這使空間和時(shí)間的測量活動成為可能）；自我中心觀削弱等。
4 ．形式運(yùn)算階段（ 11 ， 12-14 ， 15 歲）。
能在頭腦中把形式和內(nèi)容分開，使思維超出所感知的具體事物或形象，進(jìn)行抽象的邏輯思維和命題運(yùn)算。
在具體運(yùn)算階段，兒童只能利用具體的事物、物體或過程來進(jìn)行思維或運(yùn)算，不能利用語言、文字陳述的事物和過程為基礎(chǔ)來運(yùn)算。而當(dāng)兒童智力進(jìn)入形式運(yùn)算階段，思維不必從具體事物和過程開始，可以利用語言文字，在頭腦中想象和思維，重建事物和過程來解決問題。這種擺脫了具體事物束縛，利用語言文字在頭腦中重建事物和過程來解決問題的運(yùn)算就叫做形式運(yùn)算。
除了利用語言文字外，形式運(yùn)算階段的兒童甚至可以根據(jù)概念、假設(shè)等為前提，進(jìn)行假設(shè)演繹推理，得出結(jié)論。因此，形式運(yùn)算也往往稱為假設(shè)演繹運(yùn)算。由于假設(shè)演澤思維是一切形式運(yùn)算的基礎(chǔ)，包括邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和社會科學(xué)在內(nèi)。因此兒童是否具有假設(shè)演繹運(yùn)算能力是判斷他智力高低的極其重要的尺度。
當(dāng)然，處于形式運(yùn)算階段的兒童，不僅能進(jìn)行假設(shè)演繹思維，皮亞杰認(rèn)為他們還能夠進(jìn)行一切科學(xué)技術(shù)所需要的一些最基本運(yùn)算。這些基本運(yùn)算，除具體運(yùn)算階段的那些運(yùn)算外，還包括這樣的一些基本運(yùn)算：考慮一切可能性；分離和控制變量，排除一切無關(guān)因素；觀察變量之間的函數(shù)關(guān)系，將有關(guān)原理組織成有機(jī)整體等。
形式運(yùn)算思維是兒童智力發(fā)展的最高階段。在此有兩個(gè)問題應(yīng)加以說明：（ 1 ）并非兒童成長到 12 歲以后就都具備形式運(yùn)算思維水平，近些年在美國的研究發(fā)現(xiàn)，在美國大學(xué)生中（一般 18-22 歲），有約半數(shù)或更多的學(xué)生，其智力水平或仍處于具體運(yùn)算階段，或者處于具體運(yùn)算和形式運(yùn)算兩個(gè)階段之間的過渡埋藏。（ 2 ） 15 歲以后人的智力還將繼續(xù)發(fā)展，但總的來說屬于形式運(yùn)算水平，可以認(rèn)為，形式運(yùn)算階段還可分出若干個(gè)階段，有待進(jìn)一步研究。皮亞杰認(rèn)為智力的發(fā)展是受若干因素影響的，與年齡沒有必然的聯(lián)系。所以達(dá)到某一具體階段的年齡即使有很大的差異并不構(gòu)成皮亞杰理論的重大問題。
三、皮亞杰理論對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟示
皮亞杰關(guān)于結(jié)構(gòu)的概念或多或少與數(shù)學(xué)上關(guān)于結(jié)構(gòu)的定義是相一致的。在皮亞杰的定義中，結(jié)構(gòu)是一組狀態(tài)（數(shù)學(xué)家稱之為狀態(tài)空間），一套變換（運(yùn)算）和一套控制運(yùn)算如何應(yīng)用的總的規(guī)則。由于皮亞杰以邏輯的或者說以數(shù)學(xué)的方式定義了結(jié)構(gòu)這一概念，因此他選擇用于深入研究的課題涉及的也主要是基本的邏輯結(jié)構(gòu)，包括數(shù)、幾何、時(shí)間、空間、速度和運(yùn)動等方面的問題。
他尤其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的心理特征給予關(guān)注，他甚至運(yùn)用數(shù)學(xué)方式定義了其認(rèn)知理論中的一些概念（如思維結(jié)構(gòu)，自反抽象等）。
20 世紀(jì) 70 年代以后，皮亞杰對數(shù)學(xué)教育，尤其是對于兒童在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中使用的方法給予了極大的關(guān)注。他提出，形式運(yùn)算結(jié)構(gòu)發(fā)展的基本過程是與數(shù)學(xué)的思維能力過程相一致的，它們都是邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)思維能力的結(jié)構(gòu)是通過兒童在邏輯數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)中從事反思性的抽象活動而獲得發(fā)展的。即兒童從反思的活動中學(xué)習(xí)。
這一觀點(diǎn)類似于現(xiàn)代心理學(xué)術(shù)語“反省認(rèn)知”，即對自己思維的思維。一個(gè)新的分支——建構(gòu)主義理論，就是最近在皮亞杰的思想上發(fā)展起來的。
皮亞杰的理論是一個(gè)發(fā)生認(rèn)識論，關(guān)注的是兒童知識的發(fā)展。其基本的假設(shè)是：“知識的邏輯組織的過程與相應(yīng)的心理形成的過程是平行的?！辈贿^這一觀點(diǎn)在皮亞杰理論的早期應(yīng)用中并沒有得到體現(xiàn)。
關(guān)注的焦點(diǎn)集中在發(fā)展階段和促進(jìn)階段之間過渡的環(huán)境組織方式上。不少早期關(guān)于兒童的研究項(xiàng)目用皮亞杰的任務(wù)，如守恒任務(wù)來訓(xùn)練兒童，把促進(jìn)兒童階段上的發(fā)展作為教育目標(biāo)。
由于皮亞杰的任務(wù)和學(xué)校數(shù)學(xué)的任務(wù)之間存在差異，也由于從一個(gè)階段過渡到另一個(gè)階段的年齡是其理論中最重要的成分，因此研究中關(guān)注更多的是方法。
皮亞杰理論并沒有提供一個(gè)介于皮亞杰任務(wù)和學(xué)校數(shù)學(xué)任務(wù)之間的橋梁，即使他的階段可以被看作是提供了建構(gòu)這一橋梁的手段。也就是說，兒童在學(xué)校數(shù)學(xué)上的行為不太可能通過清楚地訓(xùn)練皮亞杰的這些任務(wù)而得到提高。
