紀志剛[1]
上海交通大學科學史系 上海， 200030
摘 要：數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴張都標志著數(shù)學的進步，但是這種進步并不是按照數(shù)學教科書的邏輯步驟展開的。希臘人關于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)暴露出有理數(shù)系的缺陷，而實數(shù)系的完備性一直要到19世紀才得以完成。負數(shù)早在《九章算術》中就已被中國數(shù)學家所認識，然而，15世紀的歐洲人仍然不愿意承認負數(shù)的意義?！八脑獢?shù)”的發(fā)明，打開了通向抽象代數(shù)的大門，同時也宣告在保持傳統(tǒng)運算定律的意義下，復數(shù)是數(shù)系擴張的終點。人類發(fā)明的記數(shù)法并沒有束縛自己的想象力，中國古代“數(shù)窮則變”的思想對于當代數(shù)學哲學仍具有積極的意義。
關鍵詞：數(shù)系；記數(shù)法；實數(shù)理論；復數(shù)擴張
中圖分類號 文獻標識碼 文章編號
From Numerations to Complex Numbers: The Development of The Theory of Number System
JI Zhi-gang( School of Humanities, Shanghai Jiaotong University, Shanghai, 200030, China )
Abstract: The development of the number system through generation of the number concept is one of the instructive studies in the history of mathematics. The progresses of the number concepts did not match the logical steps that appeared in the textbooks. The irrational numbers, which originated in Greek geometry, exposed the fact that there are many “gaps” in the rational number system, but the perfect of the real number had not been proved until 19th century. In 15th century, the negative numbers were took as the kind absurd number, although its concepts and operation rules were completed by ancient Chinese mathematicians in the Nine Chapters of Arithmetic. From the integers to the complex numbers, the generalization of the number operations, the associative, commutative, and distributive laws of addition and multiplication remained unchanged. Further development of the number concept was brought about through changes in the fundamental postulates of algebra. Weierstrass proved the it is impossible to construct a class of numbers more general than the complex number if all the postulates are retained without change.
Key words: numeral system；numeration；theory of real number；the expansion of complex number
引 言
數(shù)，是數(shù)學中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴充都標志著數(shù)學的巨大飛躍。一個時代人們對于數(shù)的認識與應用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當時數(shù)學發(fā)展的水平。今天，我們所應用的數(shù)系，已經構造的如此完備和縝密，以致于在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。在我們得心應手地享用這份人類文明的共同財富時，是否想到在數(shù)系形成和發(fā)展的歷史過程中，人類的智慧所經歷的曲折和艱辛呢？
一、 記數(shù)法、位置制和零
人類在進化的蒙昧時期，就具有了一種“識數(shù)”的才能，心理學家稱這種才能為“數(shù)覺”（perception of number）。動物行為學家則認為，這種“數(shù)覺”并非為人類所獨有。人類智慧的卓越之處在于他們發(fā)明了種種記數(shù)方法。《周易·系辭下》記載“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”。東漢鄭玄稱：“事大，大結其繩；事小，小結其繩。結之多少，隨物眾寡”。以結繩和書契記數(shù)的方法實際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國家都有文獻記載和實物標本。直到1826年，英國財政部才決定停止采用符契作為法定記數(shù)器。隨著人類社會的進步，數(shù)的語言也在不斷發(fā)展和完善。數(shù)系發(fā)展的第一個里程碑出現(xiàn)了：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學家、數(shù)學史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字系統(tǒng)、埃及象形數(shù)字系統(tǒng)、希臘人字母數(shù)字系統(tǒng)、瑪雅數(shù)字系統(tǒng)、印度—阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)和中國的算籌記數(shù)系統(tǒng)。
最早發(fā)展的一類數(shù)系應該是簡單分群數(shù)系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實例,它是10進的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60進位的定位數(shù)系（positional numeral system），它采用了位置制，卻不是10進的。而最重要和最美妙的記數(shù)法則是10進位位置制記數(shù)法。
法國著名數(shù)學家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾經寫道：
用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。
拉普拉斯的這段評論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項發(fā)明歸之于印度?，F(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進位位置制記數(shù)法最先產生于中國。這一點也為西方的一些數(shù)學史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來所習見的‘印度數(shù)字’的背后，位置制已在中國存在了兩千年?！辈贿^，10進位位置制記數(shù)法的產生不能單純地歸結為天才的智慧。記數(shù)法的進步是與計算工具的改進相聯(lián)系的。研究表明，10進位位置制記數(shù)之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。
“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國籌算記數(shù)法，都是留出空位而沒有符號。印度人起初也是用空位表示零，后來記成點號“· ”，最后發(fā)展為圈號。印度數(shù)碼在公元8世紀傳入阿拉伯國家。13世紀初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）編著《算經》（Liber Abacci,1202），把包括零號在內完整的印度數(shù)碼介紹到了歐洲。印度數(shù)碼和10進位位置制記數(shù)法被歐洲人普遍接受后，在歐洲的科學和文明的進步中扮演了重要的角色。
二、大數(shù)記法
古代希臘人曾經提出一個問題：他們認為世界上的沙子是無窮的，即使不是無窮，也沒有一個可以寫出來的數(shù)超過沙子的數(shù)。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。在《數(shù)沙術》中，阿基米德以萬（myriad）為基礎，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能表示出來。他的做法是：從1起到1億（原文是萬萬，myriad myriads, 這里按照中文的習慣改稱為億）叫做第1級數(shù)；以億（108）為第2 級數(shù)的單位，從億到億億（108）2叫做第2級數(shù)；在以億億為單位，直到億億億（108）3叫做第3級數(shù)。直到第1億級數(shù)的最后一數(shù)億億 。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數(shù)目不過是1051,即使擴充到“恒星宇宙”，即以太陽到恒星的距離為半徑的天球，也不過只能容納1063個沙粒！
同樣的問題也出現(xiàn)在中國古代。漢代以前，數(shù)皆10進，以10萬位億。韋昭解《國語·鄭語》第十六：“計億事，材兆物，收經入，行垓極”。注稱“計，算也；材，裁也。賈唐說皆以萬萬為億，鄭后司農云：十萬曰億，十億曰兆，從古數(shù)也?！薄稊?shù)術記遺》中則詳細記載了對大數(shù)的一整套命名和三種進位方法?！稊?shù)術記遺》稱：
黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者。十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京。上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。
《數(shù)術記遺》中的“大數(shù)之法”的數(shù)學意義并不僅僅在于它構造了三種記數(shù)方法，更為重要的是它揭示了人們對數(shù)的認識從有限走向無限的艱難歷程?？陀^的需要和數(shù)學的發(fā)展都促使人們去認識和把握越來越大的數(shù)。起初，對一些較大的數(shù)，人們還可以理解它，還能夠利用已有的記數(shù)單位去表示它。但是，隨著人們認識的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速的擴張，原有的記數(shù)單位難以為用。人們不禁要問：
數(shù)有窮乎？
這是數(shù)系發(fā)展中的需要回答的重大命題?！稊?shù)術記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對話，精彩的闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：
徐岳問曰：數(shù)有窮乎？
會稽（劉洪）答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號曰天目先生，余亦以此意問之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數(shù)不識三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等?！瓘膬|至載，終于大衍。
會稽問曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？
先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán)。循環(huán)之理，且有窮乎！
天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，以有限來認識無限，而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日，“數(shù)窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊涵的深邃哲理仍值得人們深思。
三、 有理數(shù)系
位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標志著人類掌握的數(shù)的語言，已從少量的文字個體，發(fā)展到了一個具有完善運算規(guī)則的數(shù)系。人類第一個認識的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認識的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數(shù)系是一個離散的、而不是稠密的數(shù)系[2] ，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由于分數(shù)和負數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補。
有趣的是這些分數(shù)也都帶有強烈的地域特征。巴比倫的分數(shù)是60進位的，埃及采用的是單分數(shù)(unit fraction)，阿拉伯的分數(shù)更加復雜：單分數(shù)、主分數(shù)和復合分數(shù)。這種繁復的分數(shù)表示必然導致分數(shù)運算方法的繁雜，所以歐洲分數(shù)理論長期停滯不前，直到15世紀以后才逐步形成現(xiàn)代的分數(shù)算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數(shù)理論上的卓越貢獻。
原始的分數(shù)概念來源于對量的分割。如《說文·八部》對“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也?！钡?，《九章算術》中的分數(shù)是從除法運算引入的。其“合分術”有云：“實如法而一。不滿法者，以法命之?！边@句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個分數(shù)。中國古代分數(shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術”把握住了分數(shù)算法的精髓：通分。劉徽在《九章算術注》中所言：
眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢不可失本數(shù)也。
有了齊同術，就可將分數(shù)化異類為同類，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱：“然則齊同之術要矣。錯綜度數(shù)，動之斯諧，其猶佩觹解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎?！?br> 容易證明，分數(shù)系是一個稠密的數(shù)系，它對于加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數(shù)系內也同行無阻，負數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負數(shù)概念在生活中的實例，教科書在向學生講授負數(shù)是也多循此途。這就產生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進了負數(shù)的。歷史的事實表明：負數(shù)之所以最早為中算家所引進，這是由中國古代傳統(tǒng)數(shù)學中，算法高度發(fā)達和籌算機械化的特點所決定的。負數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在《九章算術》“方程”章，因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時，就必須引入負數(shù)和建立正負數(shù)的運算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點：
今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術。而其并減之勢不得廣通，故使赤黑相消奪之?！食嗪谙嚯s足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之數(shù)，差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之，負無入正之，其率不妄也。
負數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數(shù)數(shù)學家并不承認它們是數(shù)，或者即使承認了也并不認為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂費爾（Stifel ,1486-1567） 都把負數(shù)說成是荒謬的數(shù)，是“無稽之零下”?？ǖ?Cardan,1501- 1576) 把負數(shù)作為方程的根，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號；他把負根稱作是虛有的。韋達(Vieta, 1540- 1630) 完全不要負數(shù)，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 則認為從0減去4純粹是胡說。
負數(shù)是人類第一次越過正數(shù)域的范圍，前此種種的經驗，在負數(shù)面前全然無用。在數(shù)系發(fā)展的歷史進程中，現(xiàn)實經驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。我們將會看到，負數(shù)并不是惟一的例子。
四、 實數(shù)理論的完善
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學派“萬物皆數(shù)”的美夢。同時暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術連續(xù)統(tǒng)的設想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時間內，對數(shù)學的發(fā)展，起到了深遠的影響。不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛紜。兩個不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認為是不可理喻的數(shù)。15世紀達芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是“無理的數(shù)”（irrational number），開普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數(shù)，卻一直是個困擾人的問題。
中國古代數(shù)學在處理開方問題時，也不可避免地碰到無理根數(shù)。對于這種“開之不盡”的數(shù)，《九章算術》直截了當?shù)亍耙悦婷庇枰越邮?，劉徽注釋中的“求其微?shù)”，實際上是用10進小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這本是一條完成實數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠遠超越了他的時代，而未能引起后人的重視。不過，中國傳統(tǒng)數(shù)學關注的是數(shù)量的計算，對數(shù)的本質并沒有太大的興趣。（李）而善于究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學里，都嚴格避免把數(shù)與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論（見《幾何原本》第5卷），使幾何學在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長時期中，形成了幾何與算術的顯著分離。
17、18世紀微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎的關注，使得實數(shù)域的連續(xù)性問題再次突顯出來。因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變量數(shù)學，而極限運算，需要一個封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實數(shù)域連續(xù)性的關鍵。
無理數(shù)是什么？法國數(shù)學家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預先存在一個確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當序列趨于無窮時，可以任意小。但是，這個預先存在的“數(shù)”，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗地存在的。這表明，柯西盡管是那個時代大分析學家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論基礎的傳統(tǒng)觀念的影響。
變量數(shù)學獨立建造完備數(shù)域的歷史任務，終于在19世紀后半葉，由維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。
1872年，是近代數(shù)學史上最值得紀念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領”（Erlanger Programm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論，同時在德國出現(xiàn)了。
努力建立實數(shù)的目的，是為了給出一個形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎，微積分中關于極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環(huán)。導數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認識聯(lián)系的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評價，這是因為，由“戴德金分割”定義的實數(shù)，是完全不依賴于空間與時間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。
實數(shù)的三大派理論本質上是對無理數(shù)給出嚴格定義，從而建立了完備的實數(shù)域。實數(shù)域的構造成功，使得兩千多年來存在于算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術連續(xù)統(tǒng)的設想，也終于在嚴格的科學意義下得以實現(xiàn)。
五、 復數(shù)的擴張
復數(shù)概念的進化是數(shù)學史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒有等待實數(shù)的邏輯基礎建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認識，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經到達了遙遠的前哨陣地。
1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數(shù)、無理數(shù)，然而他們智力又面臨一個新的“怪物”的挑戰(zhàn)。例如卡丹在所著《重要的藝術》（1545）中提出一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是 和 ，然后說“不管會受到多大的良心責備，”把 和 相乘，得到25—（—15）= 40。于是他說，“算術就是這樣神妙地搞下去，它的目標，正如常言所說，是有精致又不中用的?！钡芽枺―escartes,1596-1650）也拋棄復根，并造出了“虛數(shù)”（imaginary number）這個名稱。對復數(shù)的模糊認識，萊布尼茲（Leibniz,1646- 1716）的說法最有代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的—1的平方根?！?br> 直到18世紀，數(shù)學家們對復數(shù)才稍稍建立了一些信心。因為，不管什么地方，在數(shù)學的推理中間步驟中用了復數(shù)，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）關于“代數(shù)基本定理”的證明必須依賴對復數(shù)的承認，從而使復數(shù)的地位得到了近一步的鞏固。當然，這并不是說人們對“復數(shù)”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《論數(shù)學的研究和困難》中依然認為：
已經證明了記號 是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過這些記號，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴于一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數(shù)的一般規(guī)則可以應用于這些式子（復數(shù)）?！?/font>
我們知道，18世紀是數(shù)學史上的“英雄世紀”，人們的熱情是如何發(fā)揮微積分的威力，去擴大數(shù)學的領地，沒有人會對實數(shù)系和復數(shù)系的邏輯基礎而操心。既然復數(shù)至少在運算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？
1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫了一篇論文“關于方向的分析表示”，試圖利用向量來表示復數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達（J. Argand ,1768-1822） 給出復數(shù)的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數(shù)是正數(shù)的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴張實數(shù)系？在使人們接受復數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復平面上的一點 ( a, b)，而且闡述了復數(shù)的幾何加法和乘法。他還說，如果1, —1 和 原來不稱為正、負和虛單位，而稱為直、反和側單位，那么人們對這些數(shù)就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數(shù)真正有一個新的看法，他引進術語“復數(shù)”（complex number）以與虛數(shù)相對立，并用 i 代替 。
在澄清復數(shù)概念的工作中，愛爾蘭數(shù)學家哈米爾頓（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復數(shù)a+ bi 不是 2 ＋ 3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。復數(shù)a+ bi 只不過是實數(shù)的有序數(shù)對（a，b），并給出了有序數(shù)對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，不僅復數(shù)被邏輯地建立在實數(shù)的基礎上，而且至今還有點神秘的 也完全消除了。
回顧數(shù)系的歷史發(fā)展，似乎給人這樣一種印象：數(shù)系的每一次擴充，都是在舊的數(shù)系中添加新的元素。如分數(shù)添加于整數(shù)，負數(shù)添加于正數(shù)，無理數(shù)添加于有理數(shù)，復數(shù)添加于實數(shù)。但是，現(xiàn)代數(shù)學的觀點認為：數(shù)系的擴張，并不是在舊的數(shù)系中添加新元素，而是在舊的數(shù)系之外去構造一個新的代數(shù)系，其元素在形式上與舊的可以完全不同，但是，它包含一個與舊代數(shù)系同構的子集，這種同構必然保持新舊代數(shù)系之間具有完全相同的代數(shù)構造。當人們澄清了復數(shù)的概念后，新的問題是：是否還能在保持復數(shù)基本性質的條件下對復數(shù)進行新的擴張呢？答案是否定的。當哈米爾頓試圖尋找三維空間復數(shù)的類似物時，他發(fā)現(xiàn)自己被迫要做兩個讓步：第一，他的新數(shù)要包含四個分量；第二，他必須犧牲乘法交換率。這兩個特點都是對傳統(tǒng)數(shù)系的革命。他稱這新的數(shù)為“四元數(shù)”?！八脑獢?shù)”的出現(xiàn)昭示著傳統(tǒng)觀念下數(shù)系擴張的結束。1878年，富比尼（F.Frobenius, 1849 – 1917) 證明：具有有限個原始單元的、有乘法單位元素的實系數(shù)先行結合代數(shù)，如果服從結合律，那就只有實數(shù)，復數(shù)和實四元數(shù)的代數(shù)。
數(shù)學的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬，便會產生無可估量的創(chuàng)造力。哈米爾頓的四元數(shù)的發(fā)明，使數(shù)學家們認識到既然可以拋棄實數(shù)和復數(shù)的交換性去構造一個有意義、有作用的新“數(shù)系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數(shù)和復數(shù)的通常性質的代數(shù)構造。數(shù)系的擴張雖然就此終止，但是，通向抽象代數(shù)的大門被打開了。
[1]作者簡介： 紀志剛（1956- ），上海交通大學科學史系教授，科學史與科學傳播研究中心副主任
[2]一個數(shù)系稱為是稠密的，假如任取這數(shù)系中兩個數(shù)，必有第三個數(shù)介于其間。當然，這第三個數(shù)也是屬于這個數(shù)系的。
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2003年8月18日加入
