數(shù)是可以用來進(jìn)行運(yùn)算并且能同客觀事物相聯(lián)系的一些記號，它是量的抽象，可以脫離量而形式地加以研究。
一、數(shù)的概念的發(fā)展歷史的簡述
數(shù)產(chǎn)生于數(shù)數(shù)和測量，人類最初為了實(shí)際上的需要，要對某種物體的集合作出量的估計(jì)，只能運(yùn)用最原始的方式。在我國有"結(jié)繩"計(jì)數(shù)的說法，外國原始氏族用"堆石子"的方法來計(jì)數(shù)，如把牛羊頭數(shù)與石子個(gè)數(shù)建立一一對應(yīng)，以檢查牛羊頭數(shù)是否減少或增多，這樣在經(jīng)驗(yàn)的積累中，逐漸形成了"多少"的概念。
在這個(gè)歷史時(shí)期里，數(shù)還沒有被人們從具體事物中分離出來，但已經(jīng)被人們直接理解為事物集合不可缺少的性質(zhì)。
在更高的發(fā)展階段中，人們明確了數(shù)是事物集合的性質(zhì)，但還沒有抽象的數(shù)的概念。例如在某些民族給予數(shù)的名稱里，數(shù)"五"是用"手"來表達(dá)的，數(shù)"二十"是用"整個(gè)人"來表達(dá)的。這就是說，他們把"五"理解為"象手掌上指頭那樣多"，把"二十"理解為"象一個(gè)人身上所有手指和腳指那樣多"。
人們在世世代代里、千百萬次重復(fù)地進(jìn)行比較和計(jì)算，最后才把數(shù)與具體事物集合相分離，引進(jìn)數(shù)字符號。正是數(shù)字符號使人們對自然數(shù)的認(rèn)識起了重要作用。數(shù)字符號不僅是抽象的數(shù)的具體化身，而且給出了運(yùn)用大數(shù)的可能性。人們認(rèn)識到自然數(shù)列可以無限延續(xù)下去這一事實(shí)，并建立和證明了數(shù)的普遍定理，這時(shí)，關(guān)于自然數(shù)的概念才形成了。
人們由數(shù)數(shù)逐漸認(rèn)識了自然數(shù)，并用十進(jìn)位的位值記數(shù)法把它表示出來。最初，某一數(shù)位上的數(shù)不存在，就在該位留一個(gè)空白，例如八百零五就用8 5表示，把十位空著表示"無"；后來為了避免誤解，就用在兩數(shù)之間加上一點(diǎn)來表示，寫成8·5；逐漸地，這個(gè)點(diǎn)又變成圓圈，記為805，這樣，數(shù)"0"才同其他數(shù)字具有同等的地位。由于記數(shù)形式上的需要，引進(jìn)數(shù)零，把自然數(shù)集擴(kuò)充成為擴(kuò)大的自然數(shù)集，即非負(fù)整數(shù)集，這就是小學(xué)算術(shù)里數(shù)的概念的第一次擴(kuò)充。但是在數(shù)的發(fā)展史中，零作為數(shù)被引進(jìn)數(shù)系是比較遲的，而數(shù)的概念是最先一次擴(kuò)充，則是引進(jìn)正分?jǐn)?shù)。
隨著社會的發(fā)展，需要丈量土地、計(jì)算產(chǎn)量、分配勞動果實(shí)等，對于象長度、時(shí)間、重量等量，僅用自然數(shù)就不能把它們完全表示出來。自然數(shù)的局限性，促進(jìn)人們引用等分整數(shù)的數(shù)即正分?jǐn)?shù)，形成非負(fù)有理數(shù)集，這是小學(xué)算術(shù)里數(shù)的概念的第二次擴(kuò)充。2000多年前，我國的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中一開頭就講了分?jǐn)?shù)，并給出加、減、乘、除四則運(yùn)算的法則，這是世界關(guān)于分?jǐn)?shù)的最早文獻(xiàn)。
由于表示具有相反意義的量和需要，在算術(shù)數(shù)(非負(fù)有理數(shù))的基礎(chǔ)上，引進(jìn)負(fù)數(shù)形成有理數(shù)集。這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充。我國使用負(fù)數(shù)比任何國家都早，在《九章算術(shù)》第八章"方程"里，提出"正負(fù)術(shù)"，完整地?cái)⑹隽苏?fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則。
數(shù)的擴(kuò)張的另一個(gè)進(jìn)展發(fā)生在古希臘。早在公元前五世紀(jì)，比德哥拉斯在研究用一個(gè)正方形的邊長作為單位長，去度量這個(gè)正方形的對角線時(shí)，發(fā)現(xiàn)二者是不可通約的，不能用分?jǐn)?shù) 表示，這就是無理數(shù)的萌芽。由于無理數(shù)的存在，使無 窮逼近概念及極限概念等得到發(fā)展，但實(shí)數(shù)理論卻是直到19世紀(jì)因微積分奠基的需要才建立起來。在有理數(shù)集的基礎(chǔ)上引進(jìn)無理數(shù)，形成實(shí)數(shù)集，這是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)充。
15世紀(jì)中葉，歐洲工商業(yè)十分繁榮，航海、測量、天文、建筑等方面都提出了大量新的數(shù)學(xué)問題。1545年意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔里亞在解三次方程中引用了負(fù)數(shù)開平方的運(yùn)算，于是產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想，但許多數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)這種新數(shù)。直至1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才建立了復(fù)數(shù)的系統(tǒng)理論。在實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上 ，引進(jìn)虛數(shù)，形成復(fù)數(shù)集，這是數(shù)的概念的第五次擴(kuò)充。
從上面簡單短的敘述中可以看到：
1.數(shù)的概念是逐步發(fā)展的，新數(shù)的產(chǎn)生是交錯(cuò)的。例如在人們沒有認(rèn)識負(fù)數(shù)之前，早已有了無理數(shù)概念；在實(shí)數(shù)理論還沒有建立之前，已經(jīng)產(chǎn)生了虛數(shù)概念。但是從大體上看，數(shù)的概念的歷史發(fā)展是按照以下的順序：
2.數(shù)的概念產(chǎn)生于實(shí)際需要。數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都是由于舊數(shù)集與解決具體問題間的矛盾而引起的。這些問題有的是從實(shí)際問題提出的(例如從自然數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集)，有的則是從數(shù)學(xué)本身首先提出的(例如虛數(shù)的引進(jìn))，然后取得實(shí)際解釋。在關(guān)于數(shù)的概念的教學(xué)中，必須注意解決實(shí)際問題和解決數(shù)學(xué)本身的矛盾，兩個(gè)方面不可偏廢。
數(shù)的概念的每次擴(kuò)充，都能解決數(shù)的運(yùn)算的矛盾，這主要是解決"逆運(yùn)算"的施行問題。在自然數(shù)集中，加、乘是可以施行逆運(yùn)算的，但乘法的逆運(yùn)算--除法不能永遠(yuǎn)施行，例如2除以3，商就不是自然數(shù)。引進(jìn)分?jǐn)?shù)后，除法(除數(shù)不為零)在算術(shù)數(shù)集就可實(shí)施。在自然數(shù)集和算術(shù)數(shù)集里，加法的逆運(yùn)算——減法不能永遠(yuǎn)實(shí)施，例如2減去3，差就不是自然數(shù)或算術(shù)數(shù)，引進(jìn)負(fù)數(shù)后，減法就可在整數(shù)集和有理數(shù)集里永遠(yuǎn)施行。要使正有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算——開方能夠?qū)嵤?，就須引進(jìn)無理數(shù)，把數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。要使負(fù)實(shí)數(shù)的開方能夠?qū)嵤晚氁M(jìn)虛數(shù)，把數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)。
