各種數(shù)的由來
真是神奇又有趣
數(shù)的進化
回顧從自然數(shù)1，2，3，4，…開始，再加上分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)，直到成為實數(shù)的發(fā)展過程，可以說它很像是許多涓涓細流匯成一條大河。
[注：本文涉及的自然數(shù)不包括0。]
自然數(shù)添上分數(shù)，再添上負數(shù)就成為了有理數(shù)（當然還要添上0）；有理數(shù)再加進無理數(shù)就成為實數(shù)?？墒枪庥袑崝?shù)還不夠，再加上新來的虛數(shù)，這就誕生了更廣泛的數(shù)——復數(shù)。
那么，為什么在數(shù)的世界里，要從自然數(shù)擴大到實數(shù)呢？他細想一想，這里有個一貫的原則。比如說，有一個人只知道10以內(nèi)的數(shù)。
1，2，3，…，10
當然對這個人來說：加法也是不太行的。也就是說，即使取其中任意兩個數(shù)相加，也有可能答不上來。如果是2 3，他知道是5。要是6 7的話，他就只好說“不知道”了。他即使知道10000以內(nèi)的數(shù)也是一樣。因為6000 7000的答案不可能在10000以內(nèi)的數(shù)里找出來。
因此，為了無限制地進行＋運算，就必須有無限多的自然數(shù)。這樣就產(chǎn)生了所謂無限多的自然數(shù)的整體的想法，這就是
1，2，3，…
想象有這樣一個自然數(shù)的整體，就可以自由的進行＋運算了。這時，自然數(shù)的整體對于＋來說叫做閉合。由于乘法也是自然數(shù)的相乘，是加法的重復，因此也能自由地進行。也就說自然數(shù)的整體對于×是閉合的。
所以在只考慮＋或×的時候。只要自然數(shù)就夠用，沒有必要再考慮新的數(shù)。
可是要考慮×的逆運算÷的時候，自然數(shù)就不再閉合。因為任意取兩個自然數(shù)作除法結果卻不一定是自然數(shù)。例如2÷3的結果就不是自然數(shù)。
自然數(shù)的范圍太狹窄了，要想自由地進行除法運算，就必須增加新的數(shù)，這就是分數(shù)。在自然數(shù)與分數(shù)合起來的更寬廣的數(shù)的范圍內(nèi)，＋，×，÷就可以自由地進行。
然而，想到＋的逆運算－的時候，這個范圍又窄了。因為不能從小數(shù)減去大數(shù)，例如2－5，即使寫出這個式子，也得不出答案。
為了讓這個式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個新數(shù)。也就是說要自由地做－運算，需要有一種新的數(shù)——負數(shù)。
把數(shù)的范圍擴大到正的自然數(shù)、負的自然數(shù)及分數(shù)，即有理數(shù)時，＋，－，×，÷四則運算可以自由的無限制地進行。換句話說有理數(shù)對于四則運算是閉合的。
19世練的天才數(shù)學家伽羅瓦把對于四則運算閉合的數(shù)的集合叫做域。按照這個叫法，也可以說整個有理數(shù)的集合是域。當然，叫域的除了有理數(shù)之外還有許多，對于我們來說最熟悉的首先就是有理數(shù)。
當數(shù)的世界擴展到有理數(shù)時，＋，－，×，÷的計算雖然能自由地進行，但是還不具有連續(xù)性，所以仍然不能表示直線上所有的點。填滿這些空缺就需要無理數(shù)。有理數(shù)與無理數(shù)合起來就是實數(shù)。有了實數(shù)就可以表示直線上所有的點。
總而言之，實數(shù)的集合就是對于＋，－，×，÷閉合的一個域，同時還具有連續(xù)性。到此為止，似乎可以認為數(shù)的世界擴展可以暫時停止了。
可是，如果實數(shù)世界就是終點，數(shù)的交響樂不過是缺少最后樂章的未完成的交響樂而已。隨著實數(shù)而來的最后的樂章就是復數(shù)。
四則逆運算
以前擴大數(shù)的世界時，在很多情況下它的契機是逆運算。例如，由于×的逆運算÷而增加了新的分數(shù)；由＋的逆運算－而產(chǎn)生了新的負數(shù)。從實數(shù)產(chǎn)生復數(shù)的契機也仍然基于逆運算。
假如我們對于x這樣一個實數(shù)任意進行＋，－，×，÷四則運算時，可得到以下的式子：
不管這些式子多么復雜，也只是＋，－，×，÷的組合，所以只要x是實數(shù)，代入計算的值就也是實數(shù)。
比如設下面式子等于y：
假定這個式子是從x算出y的，這就是四則運算。
現(xiàn)在來考慮四則運算的逆運算，也就是從y求出x。例如當y=2時，x等于多少呢？這個計算就是
為此，只要解答下面的式子求出x，
去掉分母
移項得
解滿足這個方程的x，結果呢？所謂
的逆運算不過是解代數(shù)方程，只此而已。
以前也有這樣的事，就是逆運算要比原來順運算難，如－比＋難，÷比×難?，F(xiàn)在的情況也是如此，解代數(shù)方程的運算是比四則運算要難。
那么在實數(shù)的范圍里，能不能自由地進行解這個代數(shù)方程的運算呢？答案是否定的。請看下面的實例。
在四則運算中，要是反過來從y求x的話，就不是任何時候都能行得通的。如果y是正數(shù)
可以求出實數(shù)x。如果y是負數(shù)，例如y=－1就不能在實數(shù)范圍內(nèi)找出與之對應的x。因為（實數(shù)）? 決不會是負數(shù)。
因此我們知道，在實數(shù)的范圍內(nèi)，對于四則運算的逆運算“解代數(shù)方程”來說，不是閉合的。要想自由地解代數(shù)方程，就必須打破實數(shù)的框框，導入新的數(shù)。這個新的數(shù)就是虛數(shù)。
代數(shù)學的基本定理
我們知道，如果把數(shù)的世界擴大到復數(shù)，那么二次方程，三次方程以及zn-1=0形式的n次方程就都是有限的。而且不管什么情況，根的個數(shù)和方程的次數(shù)相同。
這個試試能不能再一般化呢？也就是說所有的n次代數(shù)方程
axn a1xn-1 … an-1x an= 0
是不是一定有復數(shù)根呢？
這件事大約在200年前就曾設想過，但在漫長歲月里誰也不能證明。
高斯：沒錯，又是我
首先證明這個事實的是20歲的青年高斯。他在1797年哥廷根大學的畢業(yè)論文里首先證明了這個事實。這個定理叫做代數(shù)學的基本定理，理由是解代數(shù)方程是代數(shù)學的最大任務。
這個定理就保證了代數(shù)方程不論如何都有根存在，不用擔心為了找出不存在的根而白費勁，可是即便知道有根，要找出它來也決不是容易的事。
首先，解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。
但三次方程就是后來才找到解法。對于這件事，卡爾達諾和塔爾塔利亞還爭論不休呢。
卡爾達諾：貌似我每次出場都是因為這個……
到了四次方程可就難得多了，那是卡爾達諾的弟子費拉里（1522-1563）發(fā)現(xiàn)的。
方程的次數(shù)一高，方程的解法就像加速度一樣變得更難。
征服了四次方程的數(shù)學家們，又著眼于解五次方程。在很長的時期里，這是數(shù)學家進軍的目標。
你問登山家：“為什么要登喜馬拉雅山呢？”登山家回答說：“因為它在那兒?！?/div>
數(shù)學家也像登山家那樣，把阻擋在眼前的五次方程作為目標，不斷地發(fā)起突擊。
然而，所有的突擊都被擋了回來。人們就漸漸知道這五次方程是格外棘手的目標。
于是人們開始重新考慮。雖然根的存在是根據(jù)代數(shù)學的基本定理而得到保證的?？墒墙夥匠痰氖侄稳绾文兀?/div>
仔細推敲解方程的手段，到四次方程為止，根是可以用＋，－，×，÷還有開n次方n√等手段解出來。仍然只用＋，－，×，÷和n√能解五次方程嗎？
就像不帶氧氣，只用冰鎬和繩索已經(jīng)不能登上喜馬拉雅山那樣，數(shù)學家開始懷疑用以前的手段不能解五次方程了。
阿貝爾：（回復樓上）你的感覺我都懂！
挪威數(shù)學家阿貝爾（1802-1829）從這種懷疑出發(fā)，終于證明了只用＋，－，×，÷和n√不能解五次方程。
伽羅瓦：（不理樓上幾位）群論得有我。
接著伽羅瓦（1811-1832）把這個問題一般化，發(fā)現(xiàn)了只用＋，－，×，÷和n√所能解的方程的形式。他因此所創(chuàng)立的群論使后來的數(shù)學發(fā)生了很大的革命。
本文節(jié)選自日本當代著名數(shù)學教育家遠山啟的作品——《數(shù)學與生活（修訂版）》，為廣大讀者著想，該書避開了專用術語，力求結合日常邏輯來介紹數(shù)學。
本文由超級數(shù)學建模編輯整理
文字資料來源于數(shù)學與生活
配圖來源于網(wǎng)絡
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