二、輔助線的應(yīng)用
為了證（解）題的需要，在原圖上所添畫的線叫輔助線。在平面幾何里的輔助線通常要畫成虛線。它的作用是：把題中分散的條件集中起來，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，以便于為應(yīng)用公理、定理或等量轉(zhuǎn)化等創(chuàng)造必要的條件。這樣輔助線便起了一個(gè)牽線搭橋的作用。
1．垂直平分線的輔助線
【典型題1】
2．角平分線的輔助線
【典型題2】
【典型題3】
如圖.在△ABC中.BE是角平分線.AD丄BE.垂足為D.求證：∠2=∠1+∠C.【思路分析】本題從結(jié)論入手逆向分析，要證明∠2=∠1+∠C，需將他們放到能發(fā)生關(guān)聯(lián)的三角形中（本題形如外角定理的形式），因此需做輔助線，將∠1和∠C放到同一三角形中，再通過等代轉(zhuǎn)化證明∠2等于它們之和即可.【答案解析】如圖延長AD交BC于F,∵AD⊥BE, 且∠ABD=∠FBD，∴△ABF是等腰三角形∴ ∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.【規(guī)律總結(jié)】輔助線做法：已知條件中出現(xiàn)如本題BE為角平分線,且BE丄AD時(shí)，輔助線的作法一般為延長AD交BC于點(diǎn)F即可.即有△ABF是等腰三角形、BD是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，AP丄OP于P點(diǎn)，延長AP交ON于點(diǎn).B,則△AOB是等腰三角形.如圖.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, CE丄BD.垂足為E.求證：BD=2CE.【思路分析】從題目結(jié)論入手分析，BD要等于2CE，需將他們放到能發(fā)生關(guān)聯(lián)的三角形中，因此需做輔助線，根據(jù)上題規(guī)律總結(jié)，題目條件中有“BD平分∠ABC, CE丄BD”，因此可構(gòu)造等腰三角形，再通過等代轉(zhuǎn)化證明結(jié)論.【答案解析】如圖，延長CE、BA交于點(diǎn)F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.【規(guī)律總結(jié)】輔助線做法等同上題，本題需延長線段BA.
已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分線，AC＝16,AD＝8,求線段BC的長.【思路分析】正向推導(dǎo)，從題目條件進(jìn)行分析，根據(jù)已知“CD是∠ACB的平分線”，在BC邊上截取CE＝AC，構(gòu)造全等三角形，將BC等代轉(zhuǎn)化為AE+EB，為后續(xù)計(jì)算提供便利條件.【答案解析】如圖在BC邊上截取CE＝AC，連結(jié)DE，易證△ACD≌△ECD(SAS)（證明過程略.）∴AD＝DE ， ∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，可得 ∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED ， ∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24.【規(guī)律總結(jié)】當(dāng)已知條件中出現(xiàn)如本題圖CD為∠ACB的角平分線、AD不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法一般為在BC邊上截取CE＝AC，連結(jié)DE即可構(gòu)造全等三角形，利用全等條件解決問題.
（1）如圖①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由.（2）如圖②所示，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC－PB與AC－AB的大小，并說明理由.
【思路分析】本題從結(jié)論入手分析，證明線段和差的不等式，文章開頭我們就總結(jié)到：“在證明線段和（或差)的不等式時(shí),總是把各有關(guān)線段“等代轉(zhuǎn)化”在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,然后利用三角形三邊關(guān)系定理來解決”因此需要做輔助線進(jìn)行線段的等代轉(zhuǎn)化.輔助線做法如上題：截取線段，構(gòu)造全等三角形.(1)PB+PC＞AB+AC證明：在BA的延長線上取點(diǎn)E, 使AE＝AC,連接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP與△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,
AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC
(2)AC-AB>PC-PB
證明:在△ABC中, 在AC上取一點(diǎn)E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中 ∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中 CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB
【規(guī)律總結(jié)】1.在證明線段和（或差)的不等式時(shí),總是把各有關(guān)線段“等代轉(zhuǎn)化”在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,然后利用三角形三邊關(guān)系定理來解決.
2.輔助線做法：截取線段，構(gòu)造全等三角形.
如圖，P是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB＝OA,連接PB，則△OPB≌△OPA
