引進(jìn) 0 和負(fù)數(shù)自然有很多歷史的理由，但從抽象的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，可以理解成是為了使 “減法” 對(duì)任意選取的兩個(gè)自然數(shù)有意義。同理，引進(jìn) “分?jǐn)?shù)” 是為了使 “除法” 對(duì)任意選取的兩個(gè)自然數(shù)有意義。負(fù)數(shù)概念和分?jǐn)?shù)概念使我們有了最 “自然” 的所謂 “數(shù)系”，所有 “有理數(shù)”。在這個(gè)數(shù)系里，可以幾乎自由地做 “加、減、乘、除” 運(yùn)算。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)認(rèn)為有理數(shù)就是所有的宇宙奧秘。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，這幾乎是對(duì)的。其它一切 “數(shù)” ，進(jìn)而大多數(shù)數(shù)學(xué)對(duì)象，都可以認(rèn)為是從有理數(shù)系里面衍生出來(lái)的，而且是純粹思維的產(chǎn)物。只有有理數(shù)是現(xiàn)實(shí)中 ”可見(jiàn)“ 的，或者說(shuō)，”可操作“ 的。
發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的過(guò)程大家可能都聽(tīng)說(shuō)過(guò)，最初認(rèn)識(shí)到有理數(shù)之外的數(shù)可能存在的人遭到了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 ”衛(wèi)道士“ 們的血腥屠殺。但是歷史的洪流是任何力量阻擋不了的，無(wú)理數(shù)還是迅速在人類的思維中占有了一席之地。從有理數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)展已經(jīng)是更抽象的數(shù)學(xué)過(guò)程，大學(xué)里只有兩三個(gè)非常依賴數(shù)學(xué)的專業(yè)才要求掌握其嚴(yán)格表述。直觀上看，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)可以看作一個(gè)從有限到無(wú)限的擴(kuò)展。我們小學(xué)就已經(jīng)學(xué)到了 ”循環(huán)小數(shù)“ 和 ”無(wú)限不循環(huán)小數(shù)“。有限長(zhǎng)度的小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以看作某種程度上有限的東西（至少可以用有限的表達(dá)式表示），而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是真正無(wú)限的東西，本質(zhì)上是不可操作的、純思維的對(duì)象。所有的小數(shù)構(gòu)成了實(shí)數(shù)系。
通常大家認(rèn)為，復(fù)數(shù)是比實(shí)數(shù)更復(fù)雜的東西。但事實(shí)并非如此。有些復(fù)數(shù)比有些實(shí)數(shù)要簡(jiǎn)單得多。比如，虛數(shù)單位 i 就比圓周率 π 要簡(jiǎn)單得多。 i 就是二次方程 x2+1 = 0 的一個(gè)解。而這個(gè)方程的系數(shù)特別簡(jiǎn)單。圓周率 π 是某個(gè)多項(xiàng)式方程的解嗎？不是。但要證明這一點(diǎn)卻不容易?？梢钥吹?，像虛數(shù)單位 i 這種數(shù)可以從整數(shù)出發(fā)經(jīng)過(guò)有限的、可操作的步驟擴(kuò)展出來(lái)（列出一個(gè)方程，然后定義 ”新的數(shù)“ 為此方程的解，即，這個(gè)方程就是這個(gè)新定義的數(shù)滿足的全部關(guān)系，從而可以作為這個(gè) ”數(shù)“ 的定義。比如，我們所要知道的關(guān)于虛數(shù)單位 i 的全部信息就是 i2+1=0, 有了這個(gè)關(guān)系，我們就可以自由地使用它了。）顯然，被稱為 ”平方根“、”立方根“ 的那些數(shù)都是如此定義的。就像 √ 2 這個(gè)符號(hào)，它只是個(gè)抽象的符號(hào)而已，其實(shí)我們只知道并且只需要知道它的平方等于 2.
我們現(xiàn)在看到一種可操作的產(chǎn)生新數(shù)的辦法，它不同于以往產(chǎn)生新數(shù)的辦法，以往是為了讓舊有的數(shù)之間直接的 ”運(yùn)算“ （減法、除法）總是有意義而產(chǎn)生的新數(shù)，而現(xiàn)在這種辦法是為了我們總能解出以舊有的數(shù)為系數(shù)的 ”多項(xiàng)式方程“ 而產(chǎn)生的新數(shù)。以有理數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式方程的解稱為 ”代數(shù)數(shù)“。虛數(shù)單位就是一個(gè) ”代數(shù)數(shù)“，整數(shù)的平方根也是 ”代數(shù)數(shù)“。代數(shù)數(shù)之間同樣可以自由進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，同時(shí)，還可以自由進(jìn)行開方、解代數(shù)方程的操作。這種產(chǎn)生新數(shù)的辦法一旦建立，其威力無(wú)窮。古希臘尺規(guī)作圖三大難題馬上就有了結(jié)論。
尺規(guī)作圖，咱們中國(guó)古人從來(lái)不計(jì)較什么規(guī)矩。這里規(guī)矩應(yīng)該加引號(hào)，因?yàn)橐?guī)矩本來(lái)就是指圓規(guī)和兩把互相垂直釘在一起的尺（一把叫勾，一把叫股）。所以按照原意，咱們中國(guó)古人作圖還是有 “規(guī)矩” 的。咱們的 “規(guī)矩” 上面畫滿了刻度，作起圖來(lái)好用得很。當(dāng)時(shí)的西方人，古希臘人，貧富兩極分化太厲害，所以有一部分富人開始瞎想。這又跟如今中國(guó)兩極分化的情況不同，如今好像是窮人才愛(ài)瞎想。再說(shuō)古希臘人，他們喜歡沒(méi)有刻度的尺（沒(méi)有他們這類怪癖就沒(méi)有現(xiàn)代科學(xué)），古希臘人希望用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)做以下這三件事：
1. 倍方：給定一個(gè)立方體，存在一個(gè)大立方體，體積是原來(lái)那個(gè)的兩倍。用尺規(guī)作出大立方體的邊長(zhǎng)。
2. 化圓為方：給定一個(gè)圓，存在一個(gè)正方形，面積等于這個(gè)圓的面積。用尺規(guī)作出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。
3. 三等分角：任給一個(gè)角，用尺規(guī)把它三等分。
這幾個(gè)問(wèn)題合稱 “古希臘三大難題”。其實(shí)比這幾個(gè)更難的作圖題還有很多，因?yàn)檫@幾個(gè)看上去特別簡(jiǎn)單，所以有名。之后大約兩千年都沒(méi)有人能作出來(lái)。到了19世紀(jì)，終于有個(gè)人能夠證明三等分角問(wèn)題是不可解的。值得注意的是, 這個(gè)問(wèn)題不可解, 是指不存在一個(gè)作圖程序來(lái)三等分 “任意” 的角. 有些特殊的角是可以用尺規(guī)三等分的, 比如直角.
后來(lái)不久，經(jīng)過(guò)兩個(gè)英年早逝的天才 Abel 和 Galois 的工作，人們了解到這三個(gè)問(wèn)題有共同的背景——數(shù)域的擴(kuò)張。“ 域”，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是一些可以做加減乘除的東西放在一起組成的集合，條件是，四則運(yùn)算的結(jié)果必須還在這個(gè)集合里。全體自然數(shù)不是一個(gè)域，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)的差就不一定是自然數(shù)了；全體整數(shù)也不是一個(gè)域，因?yàn)槌ǖ慕Y(jié)果不一定是整數(shù)。全體有理數(shù)組成一個(gè)域 Q, 全體實(shí)數(shù)組成一個(gè)域 R, 全體復(fù)數(shù)組成一個(gè)域 C.
還能有些什么域？比如所有這種數(shù)： a+b√3 其中 a, b是有理數(shù)，就組成一個(gè)域，因?yàn)檫@些數(shù)加減乘除以后還是這種形式。這個(gè)域比有理數(shù)域大. 大多少？可以用 “次數(shù)” 來(lái)衡量——每個(gè)這種數(shù)需要兩個(gè)有理數(shù)來(lái)表示，所以擴(kuò)張次數(shù)是2。這是域擴(kuò)張的最簡(jiǎn)單的例子。望文生義，域擴(kuò)張就是把一個(gè)域擴(kuò)大到更大的一個(gè)域。
再看這個(gè)擴(kuò)張：要找一個(gè)域，包含有理數(shù)以及 1 的某個(gè)立方根 w. 現(xiàn)在所有 a + bw就不夠了。要對(duì)乘法封閉，必須包含w2. 所以這個(gè)域的每個(gè)數(shù)都寫成 a + bw + c w2 , 其中 a,b,c 是有理數(shù). 這個(gè)在有理數(shù)域上的擴(kuò)張的次數(shù)是 3 次。
現(xiàn)在來(lái)看尺規(guī)作圖與域的擴(kuò)張之間的關(guān)系。用尺規(guī)可以做兩條互相垂直的直線，然后可以把兩條直線標(biāo)上刻度 (用圓規(guī))，然后把這個(gè)刻度拓展到全平面得到方格點(diǎn)。把這些格點(diǎn)看成坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)。然后所能做的事情是，連接兩個(gè)格點(diǎn)得到一條直線，或者以某個(gè)格點(diǎn)為中心，以到另一格點(diǎn)的距離為半徑畫圓。這些直線和圓的方程的系數(shù)都是整數(shù)(至少是有理數(shù)). 它們之間的交點(diǎn)由解方程組得到。初中數(shù)學(xué)告訴我們，這些交點(diǎn)的坐標(biāo)要么是有理數(shù)，要么是一些二次方根和有理數(shù)做四則運(yùn)算的結(jié)果 (因?yàn)閳A方程是二次的)。比如直線 x=y 和圓 x2+y2 = 1 的交點(diǎn)就是（ √2 /2，√2 /2 ）. 在這些交點(diǎn)的基礎(chǔ)上再用尺規(guī)作圖，交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是一些二次方根里面套二次方根的數(shù)，比如
| _______ | |
| √ | 3+5 √ 7 . |
這個(gè)事實(shí)在代數(shù)上的意義就是，尺規(guī)作圖所得交點(diǎn)的坐標(biāo)，處在有理數(shù)域的某種擴(kuò)張之中。這種擴(kuò)張的性質(zhì)是由圓方程的二次性質(zhì)決定的，即，除去四則運(yùn)算以外只有累次開平方運(yùn)算。更準(zhǔn)確的說(shuō)法是，這些交點(diǎn)的坐標(biāo), 作為一個(gè)數(shù), 滿足很多系數(shù)是有理數(shù)的方程，這些方程中次數(shù)最低的那個(gè), 其次數(shù)一定是2 的乘方，1, 2, 4, 8, 16, … 。比如這個(gè)數(shù)
| _______ | |
| √ | 3+5 √ 7 . |
滿足的有理系數(shù)代數(shù)方程中次數(shù)最低的一個(gè)是 (x2 -3)2 = (5 √ 7 )2 = 175. 其次數(shù)為 4.
現(xiàn)在很快就能解釋倍方問(wèn)題為什么不可解：倍方問(wèn)題相當(dāng)于要作出 2 的 “立方根” 3√ 2 ，它滿足的次數(shù)最低的有理系數(shù)方程是 3 次的（ x3 = 2）. 根據(jù)上面的分析，尺規(guī)作圖不可能做出這樣的數(shù)。
三等分角問(wèn)題還要費(fèi)一番周折。作出一個(gè)角，等價(jià)于作出這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)，比如余弦。一個(gè)角 θ 的余弦和它的三等分角 θ/3 的余弦之間的關(guān)系是一個(gè)三次關(guān)系 cos(θ)=4 cos3(θ/3)-3 cos(θ/3) . 等式左邊是已知的，所以這個(gè)關(guān)系是關(guān)于三等分角余弦的一個(gè)3次有理系數(shù)方程。這里可能需要一點(diǎn)小技巧來(lái)證明對(duì)于一般的角 θ 這個(gè)方程就是要求用尺規(guī)作出來(lái)的那個(gè)數(shù)滿足的次數(shù)最低的有理系數(shù)方程。這樣，根據(jù)以前的分析，這個(gè) cos(θ/3) 不可能用尺規(guī)做出來(lái)。在一些特殊情形, 比如 θ=90度, cos(θ)=0, 兩邊消去 cos(θ/3), 可知現(xiàn)在 cos(θ/3) 滿足一個(gè)二次方程。之前的分析并不能排除用尺規(guī)作出這個(gè)角(30度)的可能。實(shí)際上，直角的確可以用尺規(guī)三等分。
化圓為方問(wèn)題就更復(fù)雜，涉及到圓周率 π 這個(gè)數(shù)到底滿足一個(gè)什么樣的有理系數(shù)方程?？梢宰C明 其實(shí)不滿足任何有理系數(shù)方程。這種數(shù)有個(gè)名字，超越數(shù)。尺規(guī)是作不出超越數(shù)來(lái)的，所以化圓為方是不可能的。
總結(jié)：有理數(shù)系在 “域的擴(kuò)張” 這種有限的代數(shù)操作下產(chǎn)生新的數(shù)，包括一些有理數(shù)構(gòu)成的根式。它們放在一起組成一個(gè)新的數(shù)系（而且是一個(gè) “數(shù)域”，即可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算），稱為 “代數(shù)數(shù)”。有理數(shù)域和代數(shù)數(shù)域之間存在很多中間域，比如所有尺規(guī)作圖能作出來(lái)的數(shù)組成的域。
下一集我們來(lái)看看另一種由有理數(shù)產(chǎn)生新數(shù)的辦法 —— 賦值完備化。實(shí)數(shù)就是這么產(chǎn)生的。還會(huì)看到一些非常奇怪的數(shù) (p-adic 數(shù)) 也是這么產(chǎn)生的。在數(shù)論研究中這些數(shù)尤其重要。
