希爾伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。被后人稱為“數(shù)學(xué)世界的亞歷山大”。他對數(shù)學(xué)的貢獻是巨大的和多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式，代數(shù)數(shù)域，幾何基礎(chǔ)，變分法，積分方程，無窮維空間，物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。他在1899年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派”。希爾伯特領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)派是19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無冕之王”，他是天才中的天才。
1900年8月8日，在巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演。他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這23個問題統(tǒng)稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用。
1975年，在美國伊利諾斯大學(xué)召開的一次國際數(shù)學(xué)會議上，數(shù)學(xué)家們回顧了四分之三個世紀(jì)以來希爾伯特23個問題的研究進展情況。當(dāng)時統(tǒng)計，約有一半問題已經(jīng)解決了，其余一半的大多數(shù)也都有重大進展。1976年，在美國數(shù)學(xué)家評選的自1940年以來美國數(shù)學(xué)的十大成就中，有三項就是希爾伯特第1、第5、第10問題的解決。由此可見，能解決希爾伯特問題，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的無上光榮。
下面摘錄的是1987年出版的《數(shù)學(xué)家小辭典》以及其它一些文獻中收集的希爾伯特23個問題及其解決情況：
（1963年由美國數(shù)學(xué)家科亨解決）
1874年，康托猜測在可列集基數(shù)和實數(shù)基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，哥德爾證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和世界公認(rèn)的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科亨證明連續(xù)假設(shè)和策梅洛--弗倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內(nèi)證明其正確性。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。
（未解決，最好成績是1936年德國人根茨創(chuàng)造的）
歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發(fā)表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數(shù)學(xué)家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的相容性。
1988年出版的《中國大百科全書》數(shù)學(xué)卷指出，數(shù)學(xué)相容性問題尚未解決。
（1900年美國數(shù)學(xué)家馬克思·德恩已解決）
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
（未解決，最好成績1973年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫）
此問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
注：《中國大百科全書》說，在希爾伯特之后，數(shù)學(xué)界在構(gòu)造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題并未解決。
（1952年美國數(shù)學(xué)家格利森、蒙哥馬利、齊賓已解決）
一個連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個群的函數(shù)不假定是可微的 這個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經(jīng)馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、龐德里亞金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結(jié)果。
（1921年日本數(shù)學(xué)家高木貞治和1927年德國數(shù)學(xué)家阿廷已解決）
該問題已由日本數(shù)學(xué)家高木貞治（1921）和德國數(shù)學(xué)家E.阿廷（1927）解決。
（1970年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家IO.B.馬季亞謝維奇證明該問題錯誤）
能求出一個整系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯(lián)的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
（1958年日本數(shù)學(xué)家永田雅宜證明錯誤）
這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。1958年，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了反例。
（1927年德國數(shù)學(xué)家阿廷已解決）
一個實系數(shù)n元多項式對一切數(shù)組(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。
（1905年德國人希爾伯特和1957年美國人羅爾已解決）
具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。
實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類,或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)
（解決一半，1934年A.O.蓋爾方德和T.施奈德解決后半部分）
1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數(shù)數(shù)α≠0 ，1，和任意代數(shù)無理數(shù)β證明了α^β 的超越性。
（未完全解決，2018年9月美國人邁克爾·阿蒂亞宣布證明黎曼猜想，實際并未證明。哥德巴赫猜想最好成績屬于1966年的中國數(shù)學(xué)家陳景潤，孿生素數(shù)猜想的最好成績屬于2013年的中國數(shù)學(xué)家張益唐）
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數(shù)問題等。2018年9月，美國人邁克爾·阿蒂亞宣布他證明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤（1966），但離最終解決尚有距離。孿生素數(shù)問題的最佳結(jié)果屬于另一位中國數(shù)學(xué)家張益唐。2013年5月，他證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式，發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素數(shù)對，從而在孿生素數(shù)猜想這個此前沒有數(shù)學(xué)家能實質(zhì)推動的著名問題的道路上邁出了革命性的一大步。這一差值已被縮小至246。
（未解決，最好成績屬于1929年H.哈塞和1936、1951年C.L.西格爾）
H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結(jié)果。
（未解決，最好成績屬于1964年的維士斯金）
七次方程的根依賴于3個參數(shù)a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數(shù)能否用二元函數(shù)表示出來？蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。
12個由全等等邊三角形組成的多面體,包括一些凹面體.
（未解決，最好成績屬于1928年萊因哈特）
由德國數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、萊因哈特（1928）作出部分解決。
（未解決）
對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。
（未解決）
這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論 的極限環(huán)的最大個數(shù)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環(huán)的個數(shù)不超過3，但這一結(jié)論是錯誤的，已由中國數(shù)學(xué)家舉出反例（1979）。
希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)了將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。
（未解決）
將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去 這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。
（未解決）
一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)。已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)不密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。
電磁場邊值問題的解法
（未解決）
這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數(shù)學(xué)分支。還在繼續(xù)研究。
（未解決，最好成績屬于1907年克伯）
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P(guān).克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
變分法的關(guān)鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應(yīng)于泛函的臨界點。在尋找函數(shù)的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它分辨不出找到的是最大值還是最小值（或者兩者都不是）。
歐拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 簡稱E-L方程
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用量原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學(xué)中研究材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學(xué)中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。最優(yōu)控制的理論是變分法的一個推廣。
同樣的材料可以出現(xiàn)在不同的標(biāo)題中，例如希爾伯特空間技術(shù)，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用于所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質(zhì)的領(lǐng)域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為Plateau問題。
變分法是17世紀(jì)末發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支，是處理函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。它最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。變分法起源于一些具體的物理學(xué)問題，最終由數(shù)學(xué)家研究解決。這并不是一個明確的數(shù)學(xué)問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀(jì)以來變分法有了很大的發(fā)展。
由于希爾伯特個人巨大的影響，使得許多數(shù)學(xué)家研究他的問題，很大程度上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展。還有些問題至今沒有解決，最有名的當(dāng)然是黎曼猜想，這都成為了人們殫心竭慮的焦點。二十世紀(jì)依然有很多重要的問題，比如Weil猜想，或多或少它們的提出都受希爾伯特問題的影響，這才是希爾伯特提出問題的最大貢獻。
